Questions du sujet
1. Montrer que si \( N \) est une norme euclidienne alors elle vérifie l’identité du parallélogramme, c’est-à-dire pour tous vecteurs \( x \) et \( y \) de \( E \), on a \[ N(x+y)^2 + N(x-y)^2 = 2(N(x)^2 + N(y)^2). \] En déduire que la norme \( \|\cdot\|_\infty \) n’est pas euclidienne. 2. Justifier que la norme \( \|\cdot\|_2 \) est euclidienne puis montrer que, pour \( p \neq 2 \), la norme \( \|\cdot\|_p \) n’est pas euclidienne. 3. Soit \( S \in S_n^{++}(\mathbb{R}) \). Si \( x = (x_1, \ldots, x_n) \) et \( y = (y_1, \ldots, y_n) \) sont deux vecteurs de \( E \), on note \[ X = \begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} ,\quad Y= \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix} \] les matrices colonnes associées. Montrer que si on pose \[ \langle x, y\rangle_S = X^T S Y, \] alors \( \langle\cdot,\cdot\rangle_S \) définit un produit scalaire sur \( E \). 4. Soit \( \varphi \) un produit scalaire sur \( E \) et \( S \) la matrice de coefficients \( (\varphi(e_i, e_j)) \). Justifier que pour tous vecteurs \( x \) et \( y \) de \( E \), \[ \varphi(x, y) = X^T S Y \] et que \( S \in S_n^{++}(\mathbb{R}) \). 5. Montrer que \( \mathrm{Isom}(N) \) est un sous-groupe de \( \mathrm{GL}(E) \).} 6. Soit \( \Sigma_N = \{x \in E, N(x) = 1\} \), la sphère unité pour \( N \). Soit \( u \in \mathcal{L}(E) \). Montrer que \( u \) est une \( N \)-isométrie si et seulement si \( u(\Sigma_N) = \Sigma_N \). Le groupe des \( N \)-isométries est donc l’ensemble des endomorphismes laissant stable la \( N \)-sphère unité. 7. Dans cette question uniquement \( n=2 \) et donc \( E = \mathbb{R}^2 \). On note \( s \) la symétrie orthogonale par rapport à la droite \( D = \mathrm{Vect}\{e_1-e_2\} \), où \( (e_1, e_2) \) est la base canonique de \( \mathbb{R}^2 \), et \( r \) la rotation vectorielle d’angle \( \pi/3 \). Les endomorphismes \( s \) et \( r \) sont-ils des \( \|\cdot\|_1 \)-isométries ? 8. Dans cette question uniquement \( n=3 \) et donc \( E = \mathbb{R}^3 \). Si \( (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \), on pose \( q(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 – xz \), ce qui définit une forme quadratique \( q \). 9. On note \[ X = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \] Déterminer une matrice symétrique \( S \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \) telle que \[ q(x, y, z) = X^T S X. \] 10. Déterminer une matrice \( P \in O_3(\mathbb{R}) \) et une matrice diagonale \( D \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \) telles que \[ S = P D P^T. \]} 11. Justifier alors que l’application \[ N_q : (x, y, z) \mapsto \sqrt{q(x, y, z)} \] est une norme euclidienne sur \( \mathbb{R}^3 \). 12. Déterminer la nature géométrique de la quadrique \( \Sigma_{N_q} \), la sphère unité pour la norme \( N_q \), et en donner une équation simple dans une nouvelle base. 13. Justifier que \( \Sigma_{N_q} \) est une surface de révolution, préciser un vecteur qui dirige son axe. 14. Déduire de la question 5, par une considération géométrique, que \( \mathrm{Isom}(N_q) \) a une infinité d’éléments. 15. Caractérisation matricielle des isométries euclidiennes :\\ Soit \( S \in S_n^{++}(\mathbb{R}) \), \( N_S \) la norme euclidienne associée et \( \langle \cdot, \cdot \rangle_S \) le produit scalaire associé. Soit \( u \in \mathcal{L}(E) \).\\ Montrer que \( u \) est une \( N_S \)-isométrie si et seulement si pour tous vecteurs \( x \) et \( y \) de \( E \),\\ \[ \langle u(x), u(y)\rangle_S = \langle x, y\rangle_S. \]} 16. En déduire que \( u \) est une \( N_S \)-isométrie si et seulement si sa matrice \( A \) dans \( B \) vérifie \( A^T S A = S \). 17. Reconnaître alors \( \mathrm{ISOM}(\|\cdot\|_2) \). Que peut-on dire du nombre d’éléments de \( \mathrm{ISOM}(\|\cdot\|_2) \) ? Justifier votre réponse. 18. Une application des polynômes interpolateurs\\ \( \mathbb{R}[X]_r \) désigne le \( \mathbb{R} \)-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \( r \). On se donne \( r+1 \) réels \( x_0 < \ldots < x_r \).\\ On considère l’application linéaire \( u \) de \( \mathbb{R}[X]_r \) vers \( \mathbb{R}^{r+1} \) définie par \[ u(P) = (P(x_0), \ldots, P(x_r)) \] 19. Déterminer le noyau de \( u \). En déduire que pour tous réels \( y_0,\ldots,y_r \), il existe un unique polynôme \( L \) de \( \mathbb{R}[X]_r \) tel que, pour tout \( i \in \{0,\ldots,r\}, L(x_i) = y_i \) (un tel polynôme est appelé polynôme interpolateur). 20. Application : soit \( n \in \mathbb{N}^* \) et \( u_1,\ldots,u_n \) des réels strictement positifs, on pose \( U = \operatorname{diag}(u_1,\ldots,u_n) \) et \( V = \operatorname{diag}(v_1,\ldots,v_n) \). Montrer qu’il existe un polynôme \( L \), à coefficients réels, tel que \( V = L(U) \).} 21. Racine carrée dans \( S_n^{++}(\mathbb{R}) \) :\\ Soit \( S \in S_n^{++}(\mathbb{R}) \). Déterminer une matrice \( A \in S_n^{++}(\mathbb{R}) \) telle que \( A^2 = S \). On dit que \( A \) est une racine carrée de \( S \). 22. Soit \( B \in S_n^{++}(\mathbb{R}) \) une autre racine carrée de \( S \). Montrer qu’il existe un polynôme \( Q \), à coefficients réels, tel que \( A = Q(B) \). En déduire que \( A \) et \( B \) commutent. 23. Montrer que la somme de deux matrices symétriques définies positives est une matrice inversible. 24. Déduire des questions précédentes que \( A = B \) (on pourra calculer \( (A-B)(A+B) \)).\\ Désormais, on note \( S^{1/2} \) l’unique racine carrée dans \( S_n^{++}(\mathbb{R}) \) de \( S \). 25. Soit \( N \) une norme euclidienne. Il existe donc une matrice \( S \in S_n^{++}(\mathbb{R}) \) telle que, pour tout \( x \in E \), \( N(x) = \sqrt{X^T S X} \), où \( X \) est le vecteur colonne associé à \( x \). Montrer que si \( M \in O_n(\mathbb{R}) \), la matrice \( S^{-\frac{1}{2}} M S^{\frac{1}{2}} \) appartient à \( \mathrm{ISOM}(N_S) \).} 26. Montrer que l’application \( \psi \) de \( O_n(\mathbb{R}) \) dans \( \mathrm{ISOM}(N_S) \) définie par \[ \psi(M) = S^{-\frac{1}{2}} M S^{\frac{1}{2}} \] est une bijection.\\ Le groupe d’isométrie d’une norme euclidienne est-il fini ? 27. Endomorphismes de permutation signée\\ \( \mathfrak{S}_n \) désigne le groupe des permutations de l’ensemble \( \{1,\ldots,n\} \).\\ Soit \( \sigma \in \mathfrak{S}_n \) et \( \varepsilon = (\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n) \in \{-1,+1\}^n \). On note \( u_{\sigma,\varepsilon} \) l’endomorphisme de \( E \) qui vérifie \[ u_{\sigma, \varepsilon}(e_i) = \varepsilon_i e_{\sigma(i)} \text{ pour tout } i \in \{1,\ldots,n\}. \] Montrer que \( u_{\sigma,\varepsilon} \) est une \( p \)-isométrie. 28. Écrire la matrice de \( u_{\sigma,\varepsilon} \) dans la base canonique dans le cas où \( n = 4 \), \( \sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix} \) et \( \varepsilon = (1,1,-1,1) \). 29. Inégalité de Hölder\\ Montrer que pour tous réels \( a \) et \( b \) positifs ou nuls, \[ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \] où \( p \), \( q \) sont des réels conjugués. On pourra utiliser la fonction logarithme népérien. 30. En déduire que pour tous vecteurs \( x \) et \( y \) de \( E \), \( |\langle x, y \rangle| \leq \|x\|_p \|y\|_q \). Ce résultat s’appelle l’inégalité de Hölder (on pourra d’abord démontrer l’inégalité lorsque \( x \), \( y \) sont tous nuls sauf en une coordonnée).} 31. Que devient l’inégalité si \( p = 2 \) ?\\ Dans toute la suite, \( u \) désigne une \( p \)-isométrie. On note \( (a_{ij}) \) les coefficients de la matrice \( A = [u]_B \). 32. Montrer que pour tout \( j \in \{1, \ldots, n\} \), \( \sum_{i=1}^n |a_{ij}|^p = 1 \). En déduire la valeur de \( \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |a_{ij}|^p \). 33. Une formule clé de dualité\\ Soit \( x \in E \). On note \( \Sigma_q = \{ z \in E, \|z\|_q = 1 \} \). \begin{itemize} \item Justifier l’existence du réel \( \max_{y \in \Sigma_q} \langle x, y \rangle \). \item Justifier que \( \max_{y \in \Sigma_q} \langle x, y \rangle \leq \|x\|_p \). \item Soit \( i \in \{1,\ldots,n\} \); si \( x_i \neq 0 \), on pose \( y_i = \operatorname{sgn}(x_i) |x_i|^{p-1} / \|x\|_p^{p-1} \), et si \( x_i = 0 \), \( y_i = 0 \). On définit ainsi un vecteur \( y = (y_1, \ldots, y_n) \). Montrer que \( \langle x, y \rangle = \|x\|_p \) puis montrer l’égalité suivante : \[ \max_{y \in \Sigma_q} \langle x, y \rangle = \|x\|_p. \] \end{itemize} 34. En déduire que si \( u \) est une \( p \)-isométrie, \( u^* \) est une \( q \)-isométrie. Donner alors, en justifiant, la valeur de \( \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n |a_{ji}|^q \). 35. On suppose de plus que \( p \neq 2 \). \begin{itemize} \item Soient \( \alpha_1, \ldots, \alpha_r \) des réels dans \([0, 1]\) vérifiant \( \sum_{k=1}^r \alpha_k^p = \sum_{k=1}^r \alpha_k^q = 1 \). Montrer avec soin que pour tout \( k \in \{1,\ldots, r\} \), \( \alpha_k \) ne prend qu’un nombre fini de valeurs à déterminer. \end{itemize}} 36. En déduire que pour tout \( i \) et \( j \) dans \( \{1, \ldots, n\} \), \( a_{ij} \) ne peut prendre que 2 valeurs différentes que l’on précisera (on rappelle que les \( a_{ij} \) sont les coefficients de la matrice d’une \( p \)-isométrie). 37. Montrer alors que lorsque \( p \neq 2 \), \( \mathrm{Isom}(p) \) est un groupe fini dont on déterminera le cardinal. On remarquera en particulier que ce cardinal est indépendant de \( p \).}FAQ
Une norme euclidienne sur un espace vectoriel réel de dimension finie est une norme qui provient d’un produit scalaire via la relation N(x) = sqrt(⟨x, x⟩). Par exemple, la norme usuelle sur ℝ^n, appelée norme 2 ou norme euclidienne, vérifie typiquement l’identité du parallélogramme. Pour savoir si une norme est euclidienne, il faut justement tester cette identité, qui n’est pas vérifiée par toutes les normes (ex : norme infinie ou norme 1).
Le groupe d’isométries d’une norme regroupe les transformations linéaires réelles laissant la norme inchangée. Pour la norme euclidienne (norme 2), c’est le groupe orthogonal O_n(ℝ), constitué des matrices orthogonales. Si la norme n’est pas euclidienne (norme 1 ou infinie, par exemple), le groupe d’isométries est bien plus restreint, constitué seulement des permutations signées. C’est lié à la structure géométrique imposée par chaque norme sur l’espace !
La diagonalisabilité des matrices symétriques définies positives te sert à de multiples endroits : réduction de formes quadratiques, calcul de racines carrées de matrices, optimisation sous contraintes, et compréhension de la géométrie des quadriques. Dans l’épreuve 2007 du CCINP MP, tu vois justement comment passer d’une forme quadratique à une équation simple via une base orthonormale où la matrice devient diagonale. C’est un outil central en algèbre linéaire et géométrie ! Pour approfondir et voir l’application directe à l’épreuve, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
L’inégalité de Hölder intervient partout : en analyse (intégrales, séries), probabilités, et même pour étudier les matrices ou les transformations linéaires. En CPGE, c’est une base pour manipuler les normes et les dualités. Elle joue un rôle clé dans les démonstrations, les estimations et l’étude des groupes d’isométries linéaires. Maîtrise-la œil fermé !
Toute forme quadratique réelle sur un espace vectoriel de dimension finie s’écrit via une matrice symétrique S : q(x) = X^T S X, où X est le vecteur colonne associé à x. Si S est définie positive, tu obtiens un produit scalaire et une norme euclidienne à partir de cette matrice. Cela te permet de traduire équations géométriques en langage matriciel, ou inversement : c’est un atout pour résoudre des questions d’isométries, de changements de bases ou d’optimisation sur les sphères unité.
Une application isométrique dans le cadre de la norme euclidienne (norme 2) est représentée par une matrice orthogonale dans la base canonique. Mais si tu changes de norme ou de produit scalaire (c’est-à-dire si la norme provient d’autre chose que le produit scalaire canonique), alors les matrices représentant les isométries sont bien plus générales : elles vérifient alors une condition de similitude A^T S A = S (avec S la matrice du produit scalaire), ce qui englobe les matrices orthogonales mais ne s’y limite pas.
L’interpolation polynomiale te permet d’associer une famille de valeurs à une unique solution polynomiale, ce qui est une clé pour résoudre des systèmes, des problèmes spectrals ou même coder certaines transformations matricielles. C’est également un prétexte classique pour réinvestir l’étude de la dimension, du noyau et de l’existence/ unicité des solutions en algèbre linéaire. Tu retrouveras cette technique dans de nombreux sujets de maths en MP ou PC.
La sphère unité Σ_N, c’est simplement l’ensemble des points à distance 1 de l’origine pour la norme N. Si tu utilises la norme 2, c’est le cercle (en 2D) ou la boule habituelle (en 3D). Mais pour la norme 1 ou la norme infinie, la ‘sphère’ prend la forme d’un losange ou d’un cube ! Cela influence toutes les propriétés géométriques : isométries, distances minimales/maximales, intersections, etc.
Le groupe des isométries de la norme p (p≠2) ne conserve que les transformations les plus rigides de l’espace, à savoir les permutations signées des coordonnées. Ça vient du fait qu’il existe très peu de transformations linéaires qui préservent la ‘géométrie anguleuse’ des sphères unité en norme 1 ou infinie, par exemple. À l’inverse, la norme 2 a une sphère unité parfaitement ronde, ce qui autorise des rotations infinies ! Tu veux voir le détail du raisonnement ? Débloque les corrigés sur Prépa Booster, tu disposeras aussi d’exos interactifs pour t’entraîner.