Questions du sujet
1. Déterminer les points critiques de $f$. 2. Expliciter des points $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ arbitrairement proches de $(0, 0)$, tels que $f(x, y) < 0$. Expliciter de même des points $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ arbitrairement proches de $(0, 0)$, tels que $f(x, y) > 0$. La fonction $f$ admet-elle en $(0, 0)$ un maximum local, un minimum local ou aucun des deux ? 3. Calculer, pour tout $(u, v) \in \mathbb{R}^2$, $g(u, v)$ puis, pour tout $(r, \theta) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}$, $g(r \cos\theta, r \sin\theta)$. 4. Prouver que pour tout $(r, \theta) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}$, on a : $g(r \cos\theta, r \sin\theta) \geq 3r^2\left(\frac{1}{2} – 2r\right)$. Que peut-on en conclure ? 5. La fonction $f$ possède-t’elle un ou des extremums globaux ?} 6. Déterminer le rayon de convergence $R$ commun aux séries entières définissant les fonctions $f_\alpha$. 7. Déterminer, suivant les valeurs du réel $\alpha$, le domaine de définition $D_\alpha$ de la fonction $f_\alpha$. On distinguera les cas $\alpha \in\ ] – \infty, 0]$, $\alpha \in\ ]0, 1]$ et $\alpha \in\ ]1, +\infty[$. 8. On suppose dans cette question $\alpha > 0$. Déterminer, pour tout $x \in D_\alpha$, le signe de $f_\alpha(x)$. 9. Expliciter $f_0$, $f_{-1}$ et $f_1$. 10. Soit $\alpha > 1$. Prouver que $f_\alpha$ est continue sur $D_\alpha$.} 11. Soit $\alpha \leq 1$. Prouver que $\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f_\alpha(x) = +\infty$. On pourra comparer $f_\alpha$ à $f_1$. 12. On suppose dans les deux prochaines questions qu’il existe un réel $\lambda \geq 0$ et une variable aléatoire $X_\alpha$, définie sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ et à valeurs dans $\mathbb{N}^\ast$, tels que la fonction génératrice $G_\alpha$ de $X_\alpha$ soit : $G_\alpha = \lambda f_\alpha$. Montrer que $\alpha > 1$ et $\lambda = \frac{1}{f_\alpha(1)}$. 13. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la variable aléatoire $X_\alpha$ admette une espérance. Déterminer cette espérance en fonction de $f_\alpha(1)$ et $f_{\alpha-1}(1)$ seulement. 14. Donner sans démonstration le développement en série entière au voisinage de $0$ de la fonction qui à $x \in\ ] – 1, 1[$ associe $\ln(1 + x)$. 15. Pour tout nombre complexe $z$, tel que la série $\sum_{n\geq 1} \frac{(-z)^n}{n}$ est convergente, on note : $S(z) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-z)^n}{n}$. Donner le rayon de convergence $R$ de la série entière définissant $S$. Pour tout $x$ réel élément de $]-R, R[$, déterminer la valeur de $\exp(S(x))$.} 16. Soit $z_0 \in \mathbb{C}$ tel que $|z_0| < R$. On considère la série entière de la variable réelle $t$ suivante : $\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^{n-1} z_0^n}{n} t^n$. En cas de convergence, on note $g(t)$ sa somme. On a donc, pour $t \in \mathbb{R}$ tel que la série est convergente, $g(t) = S(tz_0)$. Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant $g$. 17. Prouver que $g$ est définie et de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $[0, 1]$. Déterminer, pour tout $t \in [0, 1]$, $g'(t)$. 18. On pose $h = \exp \circ g$. Prouver que pour tout $t \in [0, 1]$ : $h'(t) = \frac{z_0}{1 + tz_0} h(t)$. 19. Résoudre l’équation différentielle de la question précédente et en déduire que : $\exp(S(z_0)) = z_0 + 1$. 20. Dans toute cette partie, on suppose que $\alpha \in\ ]0, 1[$. L’objectif est de donner un équivalent de $f_\alpha(x)$ quand $x$ tend vers 1. Pour tout $x \in\ ]0, 1[$, on considère l’intégrale : $I(x) = \int_0^{+\infty} \frac{x^t}{t^\alpha} dt$. Justifier que, pour tout $x \in\ ]0, 1[$, l’intégrale $I(x)$ est convergente.} 21. On rappelle que la fonction $\Gamma$ d’Euler est définie sur $\mathbb{R}_+^\ast$ par : $\forall s \in \mathbb{R}_+^\ast, \Gamma(s) = \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-t} dt$. Pour tout $x \in\ ]0, 1[$, déterminer une expression de $I(x)$ faisant intervenir $\ln(x)$, $\alpha$ et $\Gamma(1 - \alpha)$. 22. Prouver que, pour tout $x \in\ ]0, 1[$, la fonction $t \mapsto \frac{x^t}{t^\alpha}$ définie pour tout $t \in \mathbb{R}_+^\ast$ est décroissante sur $\mathbb{R}_+^\ast$. 23. En déduire, pour tout $x \in\ ]0, 1[$, l’encadrement : $\int_1^{+\infty} \frac{x^t}{t^\alpha} dt \leq f_\alpha(x) \leq \int_0^{+\infty} \frac{x^t}{t^\alpha} dt$. 24. En déduire un équivalent de $f_\alpha(x)$ quand $x$ tend vers 1. 25. On se place dans le cas particulier où $C$ est une matrice de $M_n(\mathbb{C})$ diagonale. Démontrer que $\det\left(I_n + C \overline{C}\right) \in \mathbb{R}$ et que : $\det\left(I_n + C \overline{C}\right) \geq 1$, avec égalité si et seulement si $C = 0_{M_n(\mathbb{C})}$.} 26. On se place dans le cas particulier où $C$ est une matrice de $M_n(\mathbb{R})$ symétrique. Démontrer que : $\det\left(I_n + C^2\right) \geq 1$, avec égalité si et seulement si $C = 0_{M_n(\mathbb{R})}$. 27. Démontrer par récurrence sur $n$ que : $\forall A \in M_n(\mathbb{C}), \det(\overline{A}) = \overline{\det(A)}$. 28. On suppose dans cette question que $C$ est une matrice de $M_n(\mathbb{R})$. Déduire de la question précédente que, dans ce cas, on a : $\det\left(I_n + C^2\right) = |\det(C - i I_n)|^2$. En déduire que $\det\left(I_n + C^2\right) \in \mathbb{R}_+$ et que $\det\left(I_n + C^2\right) = 0$ si et seulement si $i \in Sp(C)$. 29. En considérant le produit matriciel $\begin{pmatrix}I_n & -C\\ C & I_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}I_n & 0\\ -C & I_n\end{pmatrix}$, démontrer que : $\det(I_n + C \overline{C}) = \det\begin{pmatrix}I_n & -C\\ C & I_n\end{pmatrix}$. On notera désormais : $C_0 = \begin{pmatrix}I_n & -C\\ C & I_n\end{pmatrix}$. 30. Soient $(r, s, t, u) \in \mathbb{C}^4$ et $(e_1, e_2)$ la base canonique de $\mathbb{C}^2$. On note $\varphi$ l’endomorphisme de $\mathbb{C}^2$ dont la matrice dans la base $(e_1, e_2)$ est $\begin{pmatrix}r & s\\ t & u\end{pmatrix}$. Exprimer la matrice de $\varphi$ dans la base $(e_2, e_1)$.} 31. Soit $(R, S, T, U) \in (M_n(\mathbb{C}))^4$. En s’inspirant de la question précédente, montrer que la matrice $\begin{pmatrix}R & S\\ T & U\end{pmatrix}$ est semblable dans $M_{2n}(\mathbb{C})$ à la matrice $\begin{pmatrix}U & T\\ S & R\end{pmatrix}$. Montrer de même que $\begin{pmatrix}R & S\\ T & U\end{pmatrix}$ est semblable à la matrice $\begin{pmatrix}R & -S\\ -T & U\end{pmatrix}$. 32. En déduire que le polynôme caractéristique de la matrice $C_0$ est à coefficients réels. 33. Pour la suite, nous écrirons les vecteurs de $M_{2n,1}(\mathbb{C})$ sous la forme $\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}$, où $(X, Y) \in (M_{n,1}(\mathbb{C}))^2$. On considère l’application $\Omega : M_{2n,1}(\mathbb{C}) \to M_{2n,1}(\mathbb{C})$ définie par : $\forall \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} \in M_{2n,1}(\mathbb{C}), \Omega\left(\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}-Y\\X\end{pmatrix}$. Démontrer les propriétés suivantes de l’application $\Omega$ : \begin{itemize} \item[a)] Pour tout $\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} \in M_{2n,1}(\mathbb{C})$, $C_0 \Omega\left(\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\right) = \Omega \left( C_0 \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} \right)$; \item[b)] $\Omega \circ \Omega = -\mathrm{id}_{M_{2n,1}(\mathbb{C})}$ ; \item[c)] Pour tout $\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} \in M_{2n,1}(\mathbb{C})$ et tout $\lambda \in \mathbb{C}$, $\Omega\left(\lambda \begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\right) = \lambda \Omega\left(\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\right)$. \end{itemize} 34. Soit $\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} \in M_{2n,1}(\mathbb{C}) \setminus \{0_{M_{2n,1}(\mathbb{C})}\}$. Montrer que la famille $\left(\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}, \Omega\left(\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\right)\right)$ est libre et que le plan $\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}, \Omega\left(\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\right)\right)$ est stable par $\Omega$. 35. Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $M_{2n,1}(\mathbb{C})$ stable par $\Omega$ et soit $\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix} \in M_{2n,1}(\mathbb{C}) \setminus E$. Montrer que : $E \cap \mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}, \Omega\left(\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}\right)\right) = \{0_{M_{2n,1}(\mathbb{C})}\}$.} 36. Pour tout $\lambda \in Sp(C_0)$, on note $\alpha_\lambda \in \mathbb{N}^\ast$ sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique. On peut donc écrire : $\chi_{C_0} = \prod_{\lambda \in Sp(C_0)}(X - \lambda)^{\alpha_\lambda}$. On note alors, pour tout $\lambda \in Sp(C_0)$ : $F_\lambda = \ker\left( (\lambda I_{2n} - C_0)^{\alpha_\lambda} \right)$. On admet, pour traiter la question suivante, que pour tout $\lambda \in Sp(C_0)$, on a : $\dim F_\lambda = \alpha_\lambda$. Montrer que pour tout $\lambda \in Sp(C_0)$, on a : $\Omega(F_\lambda) = F_\lambda$. 37. Montrer que si $\lambda \in Sp(C_0) \cap \mathbb{R}$, alors $F_\lambda$ est de dimension paire. 38. Conclure que : $\det(C_0) \in \mathbb{R}_+$.}FAQ
Comment aborder une étude de points critiques en analyse pour un problème de concours CPGE scientifique ?
Pour déterminer les points critiques d’une fonction à deux variables comme dans ce sujet, tu dois commencer par calculer les dérivées partielles et résoudre le système obtenu en les annulant. Ensuite, tu analyses la nature de ces points via la matrice hessienne ou un raisonnement sur les variations locales. Ce type de question tombe souvent aux concours, et maîtriser cette méthode te fera gagner beaucoup de temps. Pour accéder au corrigé détaillé de cette épreuve et t’entraîner sur des exercices similaires, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
Pourquoi les séries entières et leur rayon de convergence sont-elles cruciales pour ce type d’épreuve ?
Le rayon de convergence d’une série entière te dit exactement pour quelles valeurs de la variable la série converge. Dans ce sujet, tu devais non seulement calculer ce rayon mais aussi analyser le domaine de définition des fonctions f_α. C’est une compétence clé en analyse complexe et en probabilités génératrices, fréquente aux concours. Savoir manier ces outils, c’est assurer des points précieux et éviter les pièges d’interprétation.
Quel est l’intérêt des questions sur les matrices et les déterminants dans ce sujet ?
Les parties sur les matrices testent à la fois ta rigueur en algèbre linéaire et ta capacité à relier plusieurs notions : déterminants, spectre, similitudes, et propriétés de stabilité d’opérateurs. Ce sont des questions qui demandent un raisonnement structuré et une bonne vision des invariants. Ici, le lien entre la positivité des déterminants et les valeurs propres était central, un classique des épreuves d’oral comme d’écrit.