Questions du sujet
1. Montrer que la fonction $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$. 2. Pour tout $p \in \mathbb{N}$, justifier l’existence de $\Gamma_p$ et déterminer une relation entre $\Gamma_{p+1}$ et $\Gamma_p$. 3. En déduire, pour tout $p \in \mathbb{N}$, la valeur de $\Gamma_p$. 4. Montrer que $f$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $p \in \mathbb{N}$, $f^{(p)}(x)$. 5. En déduire le rayon de convergence de la série entière $\sum_{p \geq 0} \frac{f^{(p)}(0)}{p!} x^p$. La fonction $f$ est-elle développable en série entière au voisinage de $0$ ?} 6. Montrer que $g$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminer, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $p \in \mathbb{N}$, $g^{(p)}(x)$. 7. Montrer que pour tout $p \in \mathbb{N}$, $|g^{(p)}(0)| \geq \frac{p^{2p}}{e^p}$. 8. En déduire le rayon de convergence de la série entière $\sum_{p \geq 0} \frac{g^{(p)}(0)}{p!} x^p$. La fonction $g$ est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ? 9. Déterminer deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\frac{1}{1+x^2} = \frac{a}{x-i} + \frac{b}{x+i}$. 10. On considère la fonction $\psi$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\forall x \in \mathbb{R}, \psi(x) = \frac{1}{x-i}$. Montrer par récurrence que pour tout $p \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}$ : $\psi^{(p)}(x) = (-1)^p p! (x-i)^{-p-1}$.} 11. Déterminer, pour tout $p \in \mathbb{N}$, la dérivée $p$-ième de la fonction $\varphi_1$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\forall x \in \mathbb{R}, \varphi_1(x) = \frac{1}{1+x^2}$. 12. Montrer que pour tout $p \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}$, $|(x+i)^{p+1} – (x-i)^{p+1}| \leq 2(1+x^2)^{\frac{p+1}{2}}$. En déduire que pour tout $p \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}^*$, on a $|\varphi_1^{(p)}(x)| \leq \frac{p!}{|x|^{p+1}}$. 13. Pour tout réel $\alpha$, notons $\varphi_\alpha$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\forall x \in \mathbb{R}, \varphi_\alpha(x) = \frac{1}{1 + \alpha^2 x^2}$. Montrer que pour tout $p \in \mathbb{N}$ et tout $x \in \mathbb{R}^*$ : $|\alpha| \cdot |\varphi_\alpha^{(p)}(x)| \leq \frac{p!}{|x|^{p+1}}$. 14. On considère une suite réelle $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et on lui associe la suite de fonctions $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\forall x \in \mathbb{R}, u_n(x) = \frac{a_n x^n}{1+n!a_n^2 x^2}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $\alpha_n = \sqrt{n! a_n}$. Montrer que pour tout entier $p \geq 0$, tout entier $n \geq p$ et tout réel $x$, on a : $u_n^{(p)}(x) = a_n \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} \frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k} \varphi_{\alpha_n}^{(p-k)}(x)$. 15. En déduire que pour tout entier $n \geq 0$ et tout entier $p \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$, $u_n^{(p)}(0) = 0$ et déterminer $u_n^{(n)}(0)$.} 16. Montrer que pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, tout entier $p \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$ et tout réel $x$, on a : $|u_n^{(p)}(x)| \leq \frac{|x|^{n-p-1} \sqrt{n!}}{p! 2^n}$. 17. En déduire que la fonction $U = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ est bien définie et indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$. 18. Montrer que $U(0) = a_0$ et pour tout entier $p \geq 1$, $U^{(p)}(0) = \sum_{n=0}^{p-1} u_n^{(p)}(0) + p! a_p$. 19. Déduire de ce qui précède que pour toute suite réelle $(b_p)_{p \in \mathbb{N}}$, il existe une fonction $f$ indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $p \in \mathbb{N}$, $f^{(p)}(0) = b_p$. 20. Montrer que pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$, on a : $\lambda x_i = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} x_j$.} 21. Soit $i_0 \in \llbracket 1, n \rrbracket$ tel que $|x_{i_0}| = \max_{j \in \llbracket 1, n \rrbracket} |x_j|$. Montrer que : $|\lambda| \leq \sum_{j=1}^{n} |a_{i_0, j}|$. En déduire que : $|\lambda| \leq \max_{i \in \llbracket 1, n \rrbracket} \left\{ \sum_{j=1}^{n} |a_{i, j}| \right\}$. 22. Justifier que les valeurs propres de $A_n(\alpha, \beta)$ sont réelles. 23. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ une valeur propre de $A_n(\alpha, \beta)$. Montrer que : $|\lambda| \leq |\alpha| + 2|\beta|$. 24. En utilisant la question Q23, montrer que pour toute valeur propre $\lambda$ de $A_n(0, 1)$, il existe $\theta \in [0, \pi]$ tel que $\lambda = 2 \cos \theta$. On note $U_n$ le polynôme $\chi_{A_n(0,1)}(2X)$. 25. Établir, pour $n \geq 3$, une relation entre $\chi_{A_n(0,1)}$, $\chi_{A_{n-1}(0,1)}$ et $\chi_{A_{n-2}(0,1)}$. En déduire, pour $n \geq 3$, une relation entre $U_n$, $U_{n-1}$ et $U_{n-2}$.} 26. Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout $\theta \in ]0,\pi[$ : $U_n(\cos \theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin(\theta)}$. 27. Déduire de la question précédente que l’ensemble des valeurs propres de $A_n(0,1)$ est $\left\{ 2 \cos \left(\frac{j\pi}{n+1}\right) ;\, j \in \llbracket 1, n \rrbracket \right\}$. Déterminer la multiplicité des valeurs propres et la dimension des espaces propres associés. 28. Considérons $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ et posons $\theta_j = \frac{j\pi}{n+1}$. Montrer que pour tout vecteur propre $x = (x_1, \dots, x_n)^T \in \mathbb{R}^{n,1}$ de $A_n(0,1)$ associé à la valeur propre $2\cos(\theta_j)$, on a : $\left\{ \begin{aligned} -2\cos(\theta_j)x_1 + x_2 &= 0 \\ x_{k-1} – 2\cos(\theta_j)x_k + x_{k+1} &= 0,\quad \forall k \in \llbracket 2, n-1\rrbracket\\ x_{n-1} – 2\cos(\theta_j)x_n &= 0 \end{aligned} \right.$ 29. Soit $E$ l’ensemble des suites réelles $(u_k)_{k \in \mathbb{N}}$ vérifiant la relation de récurrence : $\forall k \in \mathbb{N}^*,\ u_{k-1} – 2 \cos(\theta_j) u_k + u_{k+1} = 0$. Montrer que $E$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ dont on précisera la dimension. 30. Déterminer l’ensemble $E$ des suites $(u_k)_{k \in \mathbb{N}} \in E$ telles que $u_0 = u_{n+1} = 0$.} 31. En déduire l’espace propre de $A_n(0,1)$ associé à la valeur propre $2\cos(\theta_j)$. 32. En déduire, pour tout $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$, l’ensemble des valeurs propres de $A_n(\alpha, \beta)$ et les espaces propres associés. On distinguera le cas $\beta \neq 0$ du cas $\beta = 0$. 33. Calculer $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} D & 0_n \\ -C & I_n \end{pmatrix}$. 34. Montrer l’égalité $\det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD – BC)$ dans le cas où $D$ est inversible. 35. On ne suppose plus $D$ inversible. Montrer qu’il existe $p_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que pour tout entier $p \geq p_0$, $D + \frac{1}{p} I_n$ est inversible.} 36. En déduire que l’égalité précédente est également vraie dans le cas où $D$ n’est pas inversible. 37. Considérons une matrice $M \in M_n(\mathbb{C})$ et formons la matrice : $N = \begin{pmatrix} 0_n & I_n\\ M & 0_n \end{pmatrix}$. Montrer que $Sp(N) = \{\mu \in \mathbb{C} \mid \mu^2 \in Sp(M)\}$. 38. Soient $\mu \in Sp(N)$ et $x \in \mathbb{C}^{n,1}$ un vecteur propre de $M$ associé à la valeur propre $\mu^2$. Montrer que le vecteur $\begin{pmatrix} x \\ \mu x \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{2n,1}$ est vecteur propre de $N$ associé à la valeur propre $\mu$. 39. Montrer que si $M$ est diagonalisable et inversible, alors $N$ est également diagonalisable et inversible. 40. On considère le système différentiel : $(x_1)” = -2 x_1 + x_2$ $(x_2)” = x_1 – 2 x_2$ Déterminer $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ tel que le système soit équivalent au système différentiel du premier ordre $X’ = BX$, où $X$ et $B$ sont définis dans l’énoncé. Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l’ensemble des solutions de ce système ?} 41. En utilisant la question Q37, déterminer les valeurs propres de $B$ et en déduire que $B$ est diagonalisable. 42. On considère la matrice $D$ (voir énoncé). En utilisant la question Q38, déterminer une matrice inversible $P \in M_4(\mathbb{C})$ dont la première ligne ne comporte que des 1 et telle que $B = P D P^{-1}$. 43. Déterminer l’ensemble des solutions du système différentiel $Y’ = D Y$, avec $Y = (y_1, y_2, y_3, y_4)^T$. 44. Déterminer la solution du système différentiel précédent avec conditions initiales $(x_1(0), x_2(0), x_1′(0), x_2′(0)) = (1, 0, 0, 0)$.}FAQ
Les sujets du concours CCINP PSI mobilisent très régulièrement l’analyse (dérivabilité, développement en série entière, séries et suites, convergence), l’algèbre linéaire (valeurs propres, diagonalisation, espaces propres, matrices, déterminants), mais aussi l’étude de systèmes différentiels et les outils de récurrence et de calcul matriciel. Bien comprendre ces notions t’aidera non seulement à cet écrit mais aussi pour toutes les épreuves orales.
En PSI, il faut savoir identifier une série entière à partir de sa forme : somme de termes $a_n x^n$ (ou encore avec factorielle et dérivées comme dans le sujet 2019), déterminer son rayon de convergence et savoir si la fonction définie est développable en série entière au voisinage d’un point (en général $0$). Cela demande une rigueur sur les critères de convergence et l’utilisation astucieuse des formules issues de la dérivation terme à terme.
Dans ce type d’épreuve, l’algèbre linéaire est omniprésente : tu dois savoir travailler avec les valeurs propres, déterminants, suites récurrentes de matrices, polynômes caractéristiques et comprendre comment passer de la théorie à des questions appliquées, comme la résolution de systèmes différentiels par diagonalisation. C’est souvent aussi l’occasion de croiser des matrices particulières (tridiagonales, blocs), de manipuler des polynômes d’opérateurs et de développer une solide intuition géométrique.
Il te faut bien savoir passer d’un système différentiel du second ordre à un système du premier ordre, interpréter la forme canonique d’un tel système, et utiliser la diagonalisation ou la mise en forme de Jordan pour résoudre explicitement les systèmes. C’est très classique au CCINP et cela suppose de faire le lien entre les notions d’analyse et d’algèbre linéaire, et d’être à l’aise avec l’écriture matricielle finale des solutions.
L’atout clé, c’est la propreté et la clarté : annonce toujours tes hypothèses, détaille les étapes essentielles (calculs de dérivées, justification de la récurrence, identification des espaces propres), fais attention à la cohérence logique de tes arguments. De plus, savoir justifier l’existence, l’unicité ou la convergence quand c’est attendu montre ta maturité mathématique. Un bon plan et des notations rigoureuses font vraiment la différence dans la copie lors de la correction.
Les suites et séries de fonctions sont au cœur de la construction d’exemples intéressants, comme pour donner des fonctions qui ne sont pas analytiques. Cela permet aussi d’illustrer les limites des résultats de convergence ou de dérivabilité, ce qui est très apprécié au niveau concours. Savoir manipuler ces objets (domination, échanges de limites, continuité/dérivabilité terme à terme) est donc fondamental pour traiter efficacement ce genre de question.
Pense à utiliser la dérivation par récurrence, ou la différentiation de fonctions de la forme $g(ax+b)^n$ : il y a souvent un schéma récurrent ou un lien avec les coefficients binomiaux, ou encore la possibilité de transformer la question avec la formule de Taylor généralisée. Surtout, prends le temps d’expliciter l’application de la récurrence pour montrer la solidité de ton raisonnement, c’est rarement du pur calcul brut au concours.
La diagonalisation, c’est transformer une matrice en une forme telle que l’action linéaire devienne facile à étudier (en général, trouver une base dans laquelle la matrice s’écrit diagonale). Cela sert entre autres à simplifier la résolution de systèmes linéaires ou différentiels (les solutions deviennent alors des exponentielles de valeurs propres). Au concours, c’est souvent une étape incontournable pour expliciter la solution générale d’un système ou déterminer le comportement à long terme.
Ces estimations sont cruciales pour déterminer la convergence ou la divergence d’une série ou le développement analytique d’une fonction. Elles permettent aussi de construire des exemples ou contre-exemples et d’illustrer finement quelle propriété (dérivabilité, analytique, etc.) une fonction possède ou non. Maîtriser ces outils et savoir les utiliser à bon escient est indispensable pour obtenir tous les points sur ce type de question.
Pour progresser, entraîne-toi sur des sujets complets corrigés comme ceux de Prépa Booster : les corrigés t’expliquent comment raisonner, comment enchaîner les questions et comment organiser ta rédaction. N’hésite pas à varier les styles de sujets, à refaire des exercices similaires et à utiliser le dashboard personnalisé pour cibler tes points faibles. Les annales corrigées restent la meilleure source pour réviser efficacement les épreuves écrites du concours !