Questions du sujet
1. Q1. On note $\Delta$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$ défini par :\\ $\forall P \in \mathbb{R}[X], \Delta(P) = XP”$.\\ Calculer, pour tout $k \in \llbracket 0, n\rrbracket$, $\Delta(X^k)$. 2. Q2. Montrer que pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$, $X^2P” = \Delta \circ (\Delta – \mathrm{Id}) (P)$, où $\mathrm{Id}$ désigne l’endomorphisme identité sur $\mathbb{R}[X]$. 3. Q3. Montrer que si $P \in \mathbb{R}_n[X]$, $\Delta(P) \in \mathbb{R}_n[X]$.\\ On notera $\Delta_n$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ induit par $\Delta$. 4. Q4. Déterminer la matrice de $\Delta_n$ dans la base canonique $(1, X, \cdots, X^n)$ de $\mathbb{R}_n[X]$. 5. Q5. On définit l’application $\Phi$ par :\\ $\forall P \in \mathbb{R}[X], \Phi(P) = X^2P” + aXP’$.\\ Montrer que $\Phi=\Delta^2 + (a – 1)\Delta$ et en déduire que $\Phi$ définit un endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$.} 6. Q6. Montrer que $\Phi$ induit un endomorphisme $\Phi_n$ de $\mathbb{R}_n[X]$. 7. Q7. Montrer que $\Phi_n$ est diagonalisable.\\ On considère l’endomorphisme $\varphi$ de $\mathbb{R}[X]$ défini par :\\ $\forall P \in \mathbb{R}[X], \varphi(P) = X^2P” + aXP’ + bP$. 8. Q8. Montrer que $\varphi$ induit un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$, endomorphisme que l’on notera $\varphi_n$.\\ Exprimer $\varphi_n$ en fonction de $\Delta_n$. 9. Q9. Exprimer la matrice de $\varphi_n$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$.\\ On considère l’équation :\\ $s^2 + (a – 1)s + b = 0.$ 10. Q10. Expliciter le noyau de $\varphi_n$ lorsque l’équation admet deux racines entières $m_1, m_2 \in \llbracket 0, n\rrbracket$.} 11. Q11. Expliciter le noyau de $\varphi_n$ lorsque l’équation admet une unique racine entière $m \in \llbracket 0, n\rrbracket$. 12. Q12. Déterminer le noyau de $\varphi$. En déduire qu’il est de dimension finie et déterminer sa dimension. 13. Q13. Que déduit-on du théorème de Cauchy quant à la structure de l’ensemble des solutions de l’équation (2) sur $I =]0, +\infty[$ ? Et sur $J =] -\infty, 0[$ ? 14. Q14. Montrer que si $y$ est une solution de (2) sur $I$, alors $g = y \circ \exp$ est une solution sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle linéaire à coefficients constants :\\ $u” + (a – 1)u’ + bu = 0$. 15. Q15. Réciproquement, soit $t \mapsto g(t)$ une solution de (3) sur $\mathbb{R}$. Montrer que la fonction $g \circ \ln$ est solution de (2) sur $I$.} 16. Q16. Donner les solutions à valeurs réelles de l’équation (3) dans le cas où $a = 3$ et $b = 1$ et dans le cas où $a = 1$ et $b = 4$. En déduire, dans chacun des cas, les solutions à valeurs réelles de l’équation (2) sur l’intervalle $I$. 17. Q17. Montrer que si $y$ est solution de (2) sur $J$, alors $h = y \circ (-\exp)$ est solution de (3) sur $\mathbb{R}$. 18. Q18. Déduire de ce qui précède l’ensemble des solutions de (2) de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$. 19. Q19. Rappeler la définition du rayon de convergence d’une série entière. 20. Q20. Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, on a :\\ $\begin{cases} c_{2k+1} = 0 \\ c_{2k} = \dfrac{(-1)^k}{4^k (k!)^2} \end{cases}$} 21. Q21. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière obtenue : $\sum\limits_{k \geq 0} c_k x^k$. 22. Q22. Soit $r > 0$ et soit $f$ une autre solution de (4) sur $]0,r[$. Montrer que si $(J_0, f)$ est liée dans l’espace vectoriel des fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]0,r[$, alors $f$ est bornée au voisinage de 0. 23. Q23. Montrer que si $\sum\limits_{k \geq 0} \beta_k x^k$ est solution, alors la suite $(\beta_k)_{k \in \mathbb{N}}$ satisfait aux relations suivantes :\\ $\begin{cases} \beta_0 = 1 \\ \forall n \in \mathbb{N}^*, \sum\limits_{k=0}^n \alpha_k \beta_{n-k} = 0 \end{cases}$ 24. Q24. Montrer qu’il existe un réel $M > 0$ tel que pour tout $k \in \mathbb{N}$ :\\ $|\alpha_k| \leq \dfrac{M}{r^k}$. 25. Q25. Montrer que (5) admet une unique solution $(\beta_k)_{k \in \mathbb{N}}$ et que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ :\\ $|\beta_k| \leq \dfrac{M(M+1)^{k-1}}{r^k}$.\\ On pourra raisonner par récurrence.} 26. Q26. Que peut-on dire du rayon de convergence $R_\beta$ de la série entière $\sum\limits_{k \geq 0} \beta_k x^k$ ? 27. Q27. Soit $r > 0$ et soit $\lambda$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]0, r[$.\\ Montrer que la fonction $y: x \mapsto \lambda(x)J_0(x)$ est solution de (4) sur $]0, r[$ si et seulement si la fonction $x \mapsto x J_0^2(x) \lambda'(x)$ est de dérivée nulle sur $]0, r[$. 28. Q28. Montrer que $J_0^2$ est somme d’une série entière dont on donnera le rayon de convergence. Que vaut $J_0^2(0)$ ? 29. Q29. En déduire l’existence d’une fonction $\eta$ somme d’une série entière de rayon de convergence $R_\eta > 0$ telle que\\ $x \mapsto \eta(x) + J_0(x) \ln(x)$\\ soit solution de (4) sur un intervalle $]0, R_\eta[$. 30. Q30. En déduire l’ensemble des solutions de (4) sur $]0, R_\eta[$.} 31. Q31. On ne suppose pas $X$ centrée dans cette question. Montrer que $X$ admet une espérance. 32. Q32. Énoncer et démontrer l’inégalité de Markov pour une variable aléatoire finie $Y$ sur $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$.\\ Montrer que ce résultat est encore vrai lorsque $Y$ est une variable aléatoire discrète non nécessairement finie. 33. Q33. En déduire que pour tout $\alpha > 0$ :\\ $\mathbb{P}(|X| \geq \alpha) \leq \dfrac{\mathbb{E}(|X|)}{\alpha}$. 34. Q34. Montrer que pour tout $t > 0$, pour tout $\varepsilon > 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a :\\ $\mathbb{P}(S_n \geq \varepsilon) = \mathbb{P}\left(e^{t n S_n} \geq e^{t n \varepsilon}\right) \leq \dfrac{\mathbb{E}(e^{t X})^n}{e^{t n \varepsilon}}$. 35. Q35. Soit $a > 1$. On considère la fonction $g_a$ définie par :\\ $\forall x \in \mathbb{R},\quad g_a(x) = \frac{1 – x}{2}a^{-1} + \frac{1 + x}{2}a – a x$.\\ Montrer que la fonction $g_a$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que la fonction $g’_a$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.\\ En déduire, en remarquant que $g_a(-1) = g_a(1) = 0$, que pour tout $x \in [-1, 1]$, $g_a(x) \geq 0$.} 36. Q36. En déduire que pour tout $t > 0$ et pour tout $x \in [-1, 1]$ on a :\\ $e^{t x} \leq \frac{1 – x}{2} e^{-t} + \frac{1 + x}{2} e^{t}$. 37. Q37. En déduire que pour tout $t > 0$ :\\ $\mathbb{E}(e^{t X}) \leq \operatorname{ch}(t)$. 38. Q38. Montrer que pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ et tout $t \in \mathbb{R}$, on a :\\ $\frac{t^{2k}}{(2k)!} \leq \frac{1}{k!}\left(\frac{t^2}{2}\right)^k$.\\ En déduire que pour tout $t > 0$, on a :\\ $\mathbb{E}(e^{t X}) \leq e^{\frac{t^2}{2}}$. 39. Q39. Montrer que la fonction\\ $t \in \mathbb{R} \mapsto e^{-n t \varepsilon + n \frac{t^2}{2}}$\\ atteint un minimum en un point que l’on précisera. 40. Q40. En déduire que $\mathbb{P}(S_n \geq \varepsilon) \leq e^{-n \frac{\varepsilon^2}{2}}$, puis que :\\ $\mathbb{P}(|S_n| \geq \varepsilon) \leq 2e^{-n \frac{\varepsilon^2}{2}}$.} 41. Q41. Montrer que pour tout réel $\varepsilon > 0$, la série de terme général $\mathbb{P}(|S_n| > \varepsilon)$ converge. 42. Q42. On fixe un réel $\varepsilon > 0$. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\\ $B_n = \bigcup_{m \geq n} \left\{ \omega \in \Omega ; |S_m(\omega)| > \varepsilon \right\}$.\\ Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $B_n$ est un événement et que :\\ $\mathbb{P}\left( \bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} B_n \right) = 0$. 43. Q43. Posons, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ :\\ $\Omega_k = \left\{ \omega \in \Omega ; \exists n \in \mathbb{N}^*, \forall m \geq n,\; |S_m(\omega)| \leq \frac{1}{k} \right\}$.\\ Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $\Omega_k$ est un événement.\\ Écrire l’ensemble $A = \left\{ \omega \in \Omega ; \lim_{n \to +\infty} S_n(\omega) = 0 \right\}$ à l’aide des événements $\Omega_k, k \in \mathbb{N}^*$.\\ En déduire que $A$ est un événement. 44. Q44. Déduire des questions précédentes que :\\ $\mathbb{P}(A) = 1$.}FAQ
Ce sujet aborde plusieurs notions fondamentales d’algèbre linéaire, notamment les endomorphismes d’espaces vectoriels (ici, l’espace des polynômes), leur représentation matricielle dans une base canonique, la diagonalisation, la recherche de noyaux et d’images. On travaille aussi sur la compréhension des applications linéaires et leur interprétation à travers des calculs explicites sur les suites de polynômes. Ces compétences sont indispensables pour réussir le concours CCINP et consolider ton socle en maths de prépa.
Le sujet te fait travailler sur des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients variables (type équation sur les polynômes et sur les fonctions de classe \( \mathcal{C}^2 \)), puis sur leur réduction en équations à coefficients constants via changement de variable (comme \( y(x) = g(\ln x) \)). Ces outils sont classiques : ils permettent de relier théorie de l’algèbre et de l’analyse, et constituent des bases solides pour aborder les futurs problèmes en cours ou à l’oral, aussi bien sur les polynômes que sur les fonctions usuelles ou séries entières.
La maîtrise des séries entières est au cœur du programme de maths de PSI, car elles apparaissent naturellement dans les solutions d’équations différentielles (fonction de Bessel, série de Taylor, etc.). On te demande ici de déterminer le rayon de convergence, de manipuler des coefficients définis par récurrence et d’étudier le comportement des solutions au voisinage de 0. Ce type d’exercice est un grand classique des concours, il te prépare aussi bien à l’écrit qu’à l’oral.
On retrouve dans ce sujet un pan important des probabilités axé sur l’espérance, l’inégalité de Markov, les inégalités exponentielles (type Chernoff ou Hoeffding) et la convergence des séries de probabilités. Ces outils sont stratégiques pour démontrer des lois fortes des grands nombres, maîtriser les techniques d’évaluation de probabilités d’écarts et savoir encadrer les fluctuations d’une suite de variables aléatoires (central limit theorem, concentration). Le but est de tester à la fois ta rigueur calculatoire et ta compréhension des fondements de la théorie.
Cette épreuve est typique des sujets de concours bien construits : elle t’amène à jongler avec l’algèbre (matrices, endomorphismes), l’analyse (équations différentielles, séries entières) et les probabilités (espérance, inégalités de concentration). Tu es amené à faire des liens entre méthodes de résolution en polynômes, équations différentielles et comportements de suites aléatoires, ce qui est la marque de fabrique des sujets CCINP, préparant à la polyvalence requise pour les oraux et les filières sélectives d’ingénieur.
Pour réussir ce genre de sujet, soigne ta compréhension des bases : revois les propriétés des endomorphismes et leur diagonalisation, entraîne-toi à résoudre des équations différentielles avec changement de variables, manipule finement les séries entières et leur rayon de convergence, et révise les grandes inégalités probabilistes. N’attends pas le jour J : tu peux t’entraîner sur une banque d’anciens sujets et débloquer les corrigés détaillés sur Prépa Booster pour comparer ta méthode, repérer tes points faibles et progresser toute l’année !