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CCINP Maths 1 PSI 2017

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Questions du sujet

1. Soit $t$ un réel et soit $A = \begin{pmatrix} 0 & t \\ – t & 0 \end{pmatrix}$. Déterminer les valeurs propres complexes de $A$. 2. Calculer $R = (I_2 + A)(I_2 – A)^{-1}$ et montrer que $R$ est une matrice du groupe spécial orthogonal. 3. Pour tout réel $\theta \in \R \setminus \pi\Z$, on note $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$. Calculer $M = (I_2 + R_\theta)^{-1}(I_2 – R_\theta)$. 4. Soient $B$ et $C$ deux matrices de $M_n(\R)$. Montrer que si $C$ est inversible et $BC = CB$, alors $BC^{-1} = C^{-1}B$. 5. Soit $A \in M_n(\R)$ une matrice antisymétrique. Soit $\lambda$ une valeur propre complexe de $A$ et $X \in \C^n \setminus \{0\}$ un vecteur propre associé. En calculant de deux façons ${}^t (A X)\, X$, montrer que $\lambda$ est un complexe imaginaire pur (éventuellement nul).} 6. Déduire de la question précédente que si $A$ est antisymétrique réelle, alors $I_n + A$ est inversible et : \[ (I_n – A)(I_n + A)^{-1} = (I_n + A)^{-1} (I_n – A). \] Montrer que $R = (I_n + A)^{-1}(I_n – A)$ est une matrice orthogonale. 7. Calculer le déterminant de $R$. 8. Soit $R$ une matrice orthogonale telle que $I_n + R$ soit inversible. Démontrer que la matrice $A = (I_n + R)^{-1}(I_n – R)$ est antisymétrique. 9. On suppose ici que $n = 3$ et que $\R^3$ est muni de sa structure usuelle d’espace euclidien orienté par la base canonique. Soit $r$ une rotation d’angle $\theta \in\,\, ]-\pi, \pi[$ autour d’un axe orienté par un vecteur $u$ de norme $1$ et soit $R \in O_3(\R)$ sa matrice dans la base canonique. \\ Montrer qu’il existe une matrice antisymétrique $A \in M_3(\R)$ telle que : \[ R = (I_3 + A)^{-1}(I_3 – A). \] 10. Si $f : [0, 2\pi] \to \C$ est une fonction de classe $C^1$, montrer que : \[ \lim_{n \to +\infty} \int_0^{2\pi} f(t) \cos (nt) \,dt = 0. \]} 11. Montrer que la primitive de $\varphi$ s’annulant en $0$ est $2\pi$-périodique et bornée sur $\R$.\\ Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a < b$, déduire de ce qui précède que pour toute fonction $f$ de classe $C^1$ sur $[a, b]$ et à valeurs dans $\C$ on a : \[ \lim_{n\to +\infty} \int_a^b f(t)\varphi(nt)dt = 0. \] 12. Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $\alpha<\beta$ et $h :\ [\alpha, \beta] \to \C$ une fonction continue. Soient $\varepsilon$ un réel strictement positif et $g$ une fonction de classe $C^1$ sur $[\alpha, \beta]$ telle que $\sup_{[\alpha, \beta]} |h-g| \leq \varepsilon$, montrer qu’il existe une constante $M$ ne dépendant que de $\varphi$ telle que : \[ \left|\int_\alpha^\beta h(t)\varphi(nt)dt\right| \leq M|\beta-\alpha|\,\varepsilon + \left|\int_\alpha^\beta g(t)\varphi(nt)dt\right|. \] \\ En déduire que pour tout intervalle $[a, b]$ de $\R$ et toute fonction $f : [a, b] \longrightarrow \C$ continue par morceaux : \[ \lim_{n\to+\infty} \int_a^b f(t)\varphi(nt)dt = 0. \] 13. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a0$, les intégrales généralisées $\int_a^{+\infty} \frac{F(t)}{t^2}dt$ puis $\int_a^{+\infty} \frac{f(t)}{t}dt$ sont convergentes et que : \[ \int_a^{+\infty} \frac{f(t)}{t}dt = \int_a^{+\infty} \frac{F(t)}{t^2}dt – F(a)a. \] 15. Montrer que les intégrales généralisées $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ et $\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} dt$ sont convergentes et que : \[ \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} dt. \]} 16. Montrer que la fonction \[ L(f) : x \in \R_+ \mapsto \int_0^{+\infty} f(t) e^{-xt}dt \] est bien définie et continue sur $\R_+$. 17. On suppose de plus que la fonction $f$ est bornée. Montrer que la fonction $L(f)$ est de classe $C^\infty$ sur $]0, +\infty[$ et que $L(f)(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. 18. Soit $f : t \in \R_+ \mapsto \frac{1}{1+t^2}$.\\ 1. Montrer que la fonction $L(f)$ est solution de l’équation différentielle \[ y” + y = \frac{1}{x} \] $(E)$ sur $]0, +\infty[$.\\ 2. On cherche une solution particulière de $(E)$ de la forme $x \mapsto \alpha(x) \cos(x) + \beta(x) \sin(x)$ où les fonctions $\alpha$ et $\beta$ sont de classe $C^2$ et vérifient \[ \forall x \in ]0, +\infty[, \,\,\,\,\,\, \alpha'(x)\cos(x) + \beta'(x)\sin(x) = 0. \] Montrer que l’on peut prendre $\alpha(x) = \int_x^{+\infty} f_1(t) dt$ et $\beta(x) = \int_x^{+\infty} f_2(t)dt$ où $f_1$ et $f_2$ sont des fonctions que l’on déterminera.\\ 3. En déduire que $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{x + t}dt$ est une solution de l’équation $(E)$ sur $]0, +\infty[$.\\ 4. Montrer qu’il existe $(a, b) \in \R^2$ tel que : \[ \forall x \in\,\,]0,+\infty[ ,\quad L(f)(x) = a\cos x + b\sin x + \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{x + t}dt. \] 19. Montrer que $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{x+t} dt$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et en déduire que pour tout $x>0$, on a : \[ L(f)(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{x + t} dt. \] 20. Montrer que $\int_1^{+\infty} \left(\frac{\sin t}{x+t} – \frac{\sin t}{t}\right) dt$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0^+$. En déduire que : \[ \lim_{x \to 0^+} \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{x + t} dt = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt. \]} 21. Déduire des questions précédentes que \[ \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}. \] 22. Soit $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction $2\pi$-périodique et impaire définie par : \[ f(x) = \begin{cases} 1 &\text{si } x \in\,\, ]0, \pi[\\ 0 &\text{si } x = 0\text{ ou }x = \pi \end{cases} \tag{E.1} \] On désigne par $(S_n)_{n\in \N}$ la suite de fonctions définie par : \[ \forall n \in \N,\,\, \forall x \in \mathbb{R},\,\, S_n(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^n \frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}. \] En calculant la dérivée de $S_n$, montrer que : \[ \forall n \in \N,\,\, \forall x \in [0,\pi],\,\, S_n(x) = \frac{2}{\pi} \int_0^x \frac{\sin(2(n+1)t)}{\sin t}\,dt. \] 23. Montrer que, pour tout entier $n \in \N$, on a \[ \frac{\pi}{4} – \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{2k+1} = (-1)^{n+1} \int_0^1 \frac{t^{2n+2}}{1 + t^2}dt. \] \\ En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$. 24. En déduire que $S_n\left(\frac{\pi}{2}\right)$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers l’infini. 25. Calculer $S_n(\pi – x)$ en fonction de $S_n(x)$. En utilisant le résultat de la question Q12, montrer que, pour tout $x \in\,\, ]0, \frac{\pi}{2}]$, on a : \[ \lim_{n\to\infty} S_n(x) = 1. \]} 26. Déduire de ce qui précède que la suite $(S_n)_{n\in \N}$ converge simplement vers la fonction $f$ définie par (E.1) sur $\R$. 27. Montrer que la suite de fonctions $(\varphi_n)_{n\ge 1}$ définie sur $[0, \pi]$ par \[ \varphi_n(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2n} \dfrac{\sin x}{\sin \frac{x}{2n}} & \text{si } x \in\,\,]0, \pi]\\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases} \] converge simplement sur $[0, \pi]$ vers la fonction $\varphi$ définie sur $[0, \pi]$ par : \[ \varphi(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{si } x \in\,\,]0, \pi]\\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases} \] 28. Montrer que $\varphi$ est continue sur $[0, \pi/2]$ et en déduire que \[ \lim_{n\to+\infty} S_n\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right) = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin x}{x} dx \] puis que : \[ \lim_{n\to+\infty} \left|f\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right) – S_n\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right) \right| = \frac{2}{\pi} \int_\pi^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx. \] 29. Montrer que \[ \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{x} dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!} \] puis que : \[ \lim_{n\to+\infty} \left| S_n\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right) – f\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right) \right| = 2\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2n}}{(2n+1)(2n+1)!} – 1. \] 30. Comparer \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n \pi^{2n}}{(2n+1)(2n+1)!} \] et \[ \sum_{n=0}^3 \frac{(-1)^n \pi^{2n}}{(2n+1)(2n+1)!}, \] et montrer que : \[ \lim_{n\to+\infty} \left| S_n\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right) – f\left(\frac{\pi}{2(n+1)}\right)\right| > 0.17. \] En déduire que la suite de fonctions $(S_n)_{n\in \N}$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $]0, \frac{\pi}{2}[$.}

FAQ

Quelles notions de matrices retrouve-t-on dans le sujet CCINP PSI Maths 2017 ?

Le sujet aborde en profondeur l’étude des matrices antisymétriques, les matrices de rotation (notamment dans SO(n)), les propriétés de l’inversibilité, l’orthogonalité, et le lien entre matrices et applications linéaires. Ce sont des thèmes incontournables pour la filière PSI, et comprendre comment manipuler ces outils t’aidera dans la plupart des écrits du concours. Débloque les corrigés pour voir en détail toutes les méthodes propres à ces questions !

Comment réviser efficacement l’analyse réelle et complexe pour le concours CCINP PSI ?

L’analyse occupe une place centrale dans le sujet, notamment avec les intégrales généralisées, les propriétés des fonctions périodiques, la convergence d’intégrales, et la manipulation des fonctions continues par morceaux. Je te recommande de bien retravailler les techniques d’intégration, l’utilisation des séries, l’approche des équivalents, et la maîtrise du passage à la limite, particulièrement dans le contexte des séries de Fourier et des théorèmes d’analyse classique. Sur Prépa Booster, tu pourras approfondir ces techniques à travers des corrigés détaillés et des exercices ciblés.

À quoi servent les matrices antisymétriques dans la compréhension des rotations en dimension 2 et 3 ?

En mathématiques et en physique, les matrices antisymétriques sont fondamentales pour décrire les rotations, que ce soit dans le plan ou dans l’espace. Elles permettent de lier la géométrie aux applications linéaires et d’établir le lien avec les groupes orthogonaux. Le sujet 2017 du CCINP l’illustre parfaitement : tu y retrouveras comment traduire une rotation sous la forme matricielle et comment exploiter les propriétés de ces matrices pour aboutir à des résultats sur les groupes de rotation. N’hésite pas à débloquer les corrigés pour voir toutes les astuces et démonstrations à connaître sur ce thème !

Comment aborder les questions sur les séries de Fourier dans ce type d’épreuve ?

La série de Fourier est omniprésente dans le sujet, notamment pour étudier la convergence vers des fonctions périodiques, les approximations par sommes partielles, et la compréhension fine du passage de la convergence simple à la convergence uniforme. Pour bien les aborder, révise les propriétés de développement en série trigonométrique, l’orthogonalité des fonctions, et les méthodes pour majorer ou calculer des sommes ou des restes. Les corrigés de Prépa Booster te montrent comment structurer une rédaction scientifique attendue au concours, étape par étape.

Pourquoi le calcul d’intégrales généralisées revient-il souvent au concours CCINP PSI maths ?

Le calcul d’intégrales généralisées permet d’aborder l’analyse sous son aspect le plus riche, avec notamment l’étude de la convergence, le lien avec les séries et la manipulation des bornes infinies ou des points singuliers. Dans le sujet 2017, on te demande non seulement de montrer la convergence, mais aussi de relier plusieurs concepts comme la transformation de Laplace, les propriétés de bornitude de primitives, ou encore la comparaison à des fonctions usuelles. Un entraînement solide sur Prépa Booster t’aidera à reconnaître le bon outil à mobiliser à chaque étape.

Le sujet CCINP PSI 2017 exige-t-il des connaissances en résolution d’équations différentielles ?

Oui, tu devras absolument savoir résoudre des équations différentielles et reconnaître des méthodes de résolution originales, notamment par variation des constantes, identification d’une solution particulière, ou utilisation d’intégrales dépendantes d’un paramètre. Ce savoir-faire est transversal en prépa et incontournable en maths PSI pour ce type d’épreuve. Les corrigés sur Prépa Booster te guident sur la rédaction et la présentation attendues !

Quel est l’intérêt de maîtriser les propriétés des fonctions trigonométriques périodiques pour ce type de concours ?

Les fonctions trigonométriques et leurs propriétés, comme la périodicité, la parité/imparité et la structure de leurs séries, sont la base de l’étude des séries de Fourier, des transformations linéaires, et des phénomènes d’approximation ou de convergence. Elles apparaissent tout au long du sujet, que ce soit dans le calcul d’intégrales, l’étude de la convergence des séries, ou encore la décomposition de fonctions. Une bonne maîtrise de ces notions te fera gagner du temps et des points lors des concours !

Comment utiliser efficacement les corrigés et le dashboard de Prépa Booster pour progresser en maths PSI ?

En débloquant les corrigés sur Prépa Booster, tu accèdes à des solutions rédigées comme attendu le jour J, des explications de chaque étape, et des conseils méthodologiques pour chaque grand type de question du sujet. Le dashboard personnalisé te permet de cibler tes lacunes, de suivre ta progression et d’organiser tes révisions plus intelligemment. Profite-en pour retravailler des exercices de difficulté similaire afin de maximiser tes performances le jour du concours.