Questions du sujet
1. I.1 Qu’affirme le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire quant à la structure de l’ensemble des solutions de (E) ? 2. I.2 Vecteurs propres communs\\ On suppose qu’il existe un vecteur non nul $V \in \mathbb{C}^n$ et une fonction continue $\lambda : I \to \mathbb{C}$ tels que pour tout $t \in I$ on ait~: \[ A(t)V = \lambda(t)V. \] Montrer que la fonction~: \[ X: I \to \mathbb{C}^n,\quad t \mapsto \alpha(t)V \] est solution de (E) si, et seulement si, la fonction $\alpha$ est solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre que l’on précisera et pour laquelle on donnera une expression des solutions. 3. I.3 Un premier exemple\\ On suppose pour cette question que $n=2$. Soient $a$ et $b$ deux complexes tels que $a-1-b \neq 0$. On suppose que, pour tout $t \in I = \mathbb{R}$, on a~: \[ A(t) = \begin{pmatrix} a & 1-a\\ b & 1-b \end{pmatrix}. \] Déterminer une base de l’espace vectoriel des solutions de (E). 4. I.4 Un deuxième exemple\\ On suppose également pour cette question que $n=2$. Soient $\mu$ une constante complexe et $a$, $b$ des fonctions continues de $I$ dans $\mathbb{C}$, la fonction $b$ ne s’annulant jamais sur $I$. On suppose que pour tout réel $t \in I$, on a~: \[ A(t) = \begin{pmatrix} a(t) & \mu b(t) \\ b(t) & a(t) + (\mu – 1) b(t) \end{pmatrix}. \] 5. I.4.1 Traiter le cas particulier où $\mu = 1$.} 6. I.4.2 Montrer qu’il existe deux vecteurs non nuls $V_1$ et $V_2$ dans $\mathbb{C}^2$ et deux fonctions continues $\lambda_1$ et $\lambda_2$ de $I$ dans $\mathbb{C}$ tels que pour tout $t \in I$ on ait~: \[ A(t) V_1 = \lambda_1(t) V_1\quad \text{et}\quad A(t) V_2 = \lambda_2(t) V_2. \] 7. I.4.3 Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $\mu$ pour que l’on ait~: \[ \forall t \in I, \ \lambda_1(t) \neq \lambda_2(t). \] On supposera cette condition vérifiée pour la question suivante. 8. I.4.4 Déterminer une base de l’espace vectoriel des solutions de (E). 9. II.1.1 Montrer que l’application $\mathcal{N}$ définit une norme sur $M_n(\mathbb{C})$. 10. II.1.2 Montrer que, pour toutes matrices $A$ et $B$ dans $M_n(\mathbb{C})$, on a~: \[ \mathcal{N}(AB) \leq \mathcal{N}(A) \mathcal{N}(B).\ ]} 11. II.2.1 On suppose pour cette question, que $I = \mathbb{R}$ et que la fonction $A$ est constante. Montrer que si $X$ est solution de (E), elle est alors de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$ et que pour tout entier naturel $k$, on a~: \[ X^{(k)}(t) = A^k X(t) \] (avec la convention que $X^{(0)} = X$ et $A^0 = I_n$). 12. II.2.2 On note $X_0 = X(0)$. Montrer que pour tout entier naturel $p$ et tout réel $t \in I$, on a~: \[ X(t) = \left( \sum_{k=0}^p \frac{t^k}{k!} A^k \right) X_0 + \int_0^t \frac{(t-u)^p}{p!} A^{p+1} X(u) du. \] 13. II.2.3 Montrer que~: \[ X(t) = \lim_{p \to +\infty} \left( \sum_{k=0}^p \frac{t^k}{k!} A^k \right) X_0 \] et en déduire que les coordonnées de $X$ sont développables en série entière sur $\mathbb{R}$. 14. II.3.1 Calculer le polynôme caractéristique $P_A(X)$ de $A$. 15. II.3.2 Soit $k$ un entier naturel non nul. Montrer que la famille $\left\{ 1, X, X(X-1), X(X-1)^2 \right\}$ est une base de $\mathbb{C}_3[X]$, puis exprimer le reste de la division euclidienne de $X^k$ par $P_A(X)$ dans cette base.} 16. II.3.3 En déduire, pour tout entier $k \geq 1$, une expression de $A^k$ en fonction de $A$, $A(A-I_4)$ et $A(A-I_4)^2$. 17. II.3.4 Calculer $A(A-I_4)$ et $A(A-I_4)^2$. 18. II.3.5 Préciser le rayon de convergence de la série entière~: \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^n}{n!} (n-1) \] ainsi que sa somme. 19. II.3.6 Soit $X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^4$. Déterminer la solution du problème de Cauchy linéaire~: \[ \left\{ \begin{array}{l} X’ = AX \\ X(0) = X_0 \end{array} \right. \] 20. III.1.1 Montrer que l’intégrale de la fonction $f: t \mapsto e^{-t^2}$ est convergente sur $\mathbb{R}_+$.} 21. III.1.2 Montrer que les fonctions $F$ et $G$ définies sur $\mathbb{R}_+$ par~: \[ \forall x \in \mathbb{R}_+, \quad F(x) = \left( \int_0^x e^{-t^2} dt \right)^2, \quad G(x) = \int_0^1 \frac{e^{-x^2 (t^2+1)}}{t^2 + 1} dt \] sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$, puis préciser les dérivées d’ordre $1$ de $F$ et de $G$. 22. III.1.3 Montrer que~: \[ \forall x \in \mathbb{R}_+, \quad F'(x) + G'(x) = 0 \] et en déduire la valeur de $F+G$. 23. III.1.4 Montrer que~: \[ \lim_{x \to +\infty} G(x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} F(x) = \frac{\pi}{4}. \] 24. III.1.5 En déduire que~: \[ \int_0^{+\infty} e^{-t^2}dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \] 25. III.2.1 Montrer que les fonctions~: \[ u(t) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x} \cos(tx)}{\sqrt{x}} dx,\quad v(t) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin(tx)}{\sqrt{x}} dx \] sont bien définies et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.} 26. III.2.2 Montrer que la fonction $w = u + i v$ est solution d’une équation différentielle, puis en déduire que~: \[ X(t) = \begin{pmatrix} u(t) \\ v(t) \end{pmatrix} \] est solution d’un système différentiel du premier ordre \[ X'(t) = A(t) X(t) \ (E_1) \] où la fonction matricielle $A : \mathbb{R} \to M_2(\mathbb{C})$ est à déterminer. 27. III.2.3 Déterminer, pour tout réel $t$, les valeurs propres complexes et les sous-espaces propres de $A(t)$. 28. III.2.4 Déterminer une base de l’espace vectoriel des solutions sur $\mathbb{C}$ du système $(E_1)$ et en déduire la solution générale de $(E_1)$. 29. III.2.5 Calculer $u(0)$, $v(0)$ et en déduire l’expression réelle de $u$ et de $v$.}FAQ
Le sujet de mathématiques CCINP PSI 2015 couvre plusieurs grands thèmes des programmes de CPGE scientifiques : équations différentielles linéaires, matrices et espaces vectoriels, recherche de solutions particulières, diagonalisation, propriétés des normes de matrices, développement en séries entières, intégration de fonctions spéciales, et analyse des systèmes différentiels. C’est un condensé des notions fondamentales attendues en PSI pour le concours.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz, parfois appelé théorème d’existence et d’unicité, garantit l’existence d’une solution unique à une équation différentielle linéaire sous certaines conditions de régularité. Il est central en CPGE car il structure une grande partie de la résolution des systèmes différentiels, intervenant aussi bien dans l’analyse que dans l’algèbre linéaire appliquée aux systèmes d’équations. C’est une brique incontournable à maîtriser pour tout concours scientifique.
L’analyse des vecteurs propres et valeurs propres d’une matrice permet de simplifier la résolution des systèmes différentiels, de diagonaliser les matrices, et donc de mieux comprendre la dynamique d’un système linéaire. En concours, ces notions reviennent très souvent car elles sont au cœur tant des applications numériques que des preuves théoriques, notamment dans les questions liées à l’évolution temporelle des systèmes et à l’étude des comportements asymptotiques.
Pour une équation différentielle linéaire de premier ordre à coefficients variables, la méthode générale consiste à chercher une solution particulière, puis à utiliser l’intégration factorisante. La combinaison de la recherche d’une base de solutions et l’utilisation de conditions initiales permettent de construire la solution générale. Ces méthodes doivent être connues sur le bout des doigts pour le concours, car elles sont incontournables.
La norme matricielle intervient dans l’évaluation de la convergence des suites et séries de matrices, comme dans la justification de passage à la limite lors de développements en série entière. Elle sert aussi à contrôler la croissance des puissances de matrices, un point crucial pour l’analyse de la stabilité des systèmes et le développement des matrices exponentielles en série de Taylor.
Développer une solution de système différentiel linéaire en série entière permet de se ramener à une étude terme à terme, utile pour obtenir des expressions explicites, estimer le rayon de convergence et effectuer des approximations numériques. Cela ouvre la voie à l’étude de systèmes où la matrice n’est pas diagonalisable par exemple, et au calcul des matrices exponentielles.
Les intégrales de fonctions de type $e^{-t^2}$ ou mélangeant exponentielle et trigonométrie exigent souvent des changements de variables astucieux, l’utilisation d’intégration par parties, ou l’appel à des résultats de référence comme la fameuse intégrale de Gauss. Reconnaître ces formes et savoir jongler avec les propriétés de ces fonctions spéciales fait la différence pour gagner du temps en épreuve.
La matrice exponentielle est l’outil central pour résoudre les systèmes linéaires autonomes. Sa maîtrise permet notamment d’exprimer la solution comme $X(t) = \exp(tA)X_0$, d’interpréter les comportements asymptotiques et d’aller vite lors des calculs. Savoir diagonaliser, trigonaliser ou utiliser la décomposition de Jordan rend cette technique incontournable pour tout problème d’équations différentielles linéaires en concours.
Entraîne-toi à reconnaître rapidement la structure d’un système ou d’une intégrale : observe les invariants, simplifie au maximum, et révise systématiquement les méthodes de résolution (changement de base, calcul des valeurs propres, intégration par parties, etc.). L’essentiel est de s’exercer sur les sujets de concours corrigés : pour progresser plus vite, n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster et accéder au tableau de bord interactif qui t’aide à cibler tes révisions.