Questions du sujet
1. I.1 Vérifier la formule donnant $L(f)$ pour $f$ définie sur $[0, 1]$ par $f (t) = t$. 2. I.2 Calculer $L (f)$ pour $f$ définie sur $[0, 1]$ par $f (t) = \ch (t)$. 3. I.3.1 Calculer $L(f)$ pour $f$ définie sur $\left[0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right]$ par $f (t) = \sqrt{1 – t^2}$. 4. I.3.2 Retrouver le résultat de la question I.3.1 sans calcul, par des considérations géométriques. 5. I.4 Soit $f$ définie sur $[0, 1]$ par $f (t) = t^2$. Calculer $L (f)$, en utilisant une intégration par parties ou en s’inspirant de la question I.2.} 6. II.1.1 Donner une expression intégrale de $L (f)$. 7. II.1.2 Montrer que $L (f)$ est aussi la longueur de l’arc d’hyperbole correspondant à la restriction de $f$ à l’intervalle $[1, 2]$. 8. II.2.1 Soit $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}$. Rappeler le développement en série entière de la fonction $u \mapsto (1 + u)^{\alpha}$, en précisant son domaine de validité. 9. II.2.2 Montrer que, pour tout $t \in~]0, 1[$, on a : $$\frac{\sqrt{1 + t^{4}}}{t^2} = \frac{1}{t^2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} (2n)!}{(2n – 1)\ 2^{2n}\ (n!)^2}\ t^{4n-2}.$$ 10. II.2.3 On note, pour tout entier $n \geq 1$, $a_n = \frac{(2n)!}{(2n-1) 2^{2n} (n!)^2}$. Montrer que la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est décroissante et donner un équivalent de $a_n$ quand $n$ tend vers l’infini.} 11. II.2.4 En déduire une expression de $L(f)$ comme somme d’une série numérique (on vérifiera avec soin les hypothèses du théorème utilisé). 12. II.2.5 Donner une valeur approchée de $L (f)$ en utilisant les 5 premiers termes de la série obtenue à la question précédente et donner une majoration de l’erreur commise. 13. III.1.1 Déterminer $\lambda_1$ et $\lambda_2$. 14. III.1.2 En traçant, sur un même graphe, les courbes représentatives de quelques fonctions $p_n$ avec $n$ de plus en plus grand, conjecturer la convergence de la suite $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ ainsi que la valeur de sa limite éventuelle. 15. III.2.1 Montrer que, pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, on a : $$\lambda_n – n \int_0^1 t^{n-1} dt = \mu_n,$$ où $$\mu_n = \int_0^1 \left(\frac{dt}{\sqrt{1 + n^2 t^{2n-2}}} + n t^{n-1}\right) dt.$$ } 16. III.2.2 Montrer que $\lambda_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 17. III.2.3 Déterminer la limite de la suite $(\mu_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ (on citera avec précision le théorème utilisé). 18. III.2.4 En déduire la convergence de la suite $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$, ainsi que la valeur de sa limite. 19. III.3 Plus généralement, montrer que si $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$, croissante et telle que $f (0) = 0$ et $f (1) = 1$, on a alors $L (f) < 2$. 20. IV.1.1 Montrer que l’intégrale généralisée $\int_0^1 \frac{\sin (t)}{t} dt$ est convergente.} 21. IV.1.2 Montrer que, pour tout $x \geq 1$, on a : $$\int_1^x \frac{\sin (t)}{t} dt = \frac{\cos(1) - \cos(x)}{x} - \int_1^x \frac{\cos(t)}{t^2} dt.$$ En déduire que l’intégrale généralisée $\int_1^{+\infty} \frac{\sin (t)}{t} dt$ est convergente. 22. IV.1.3 Montrer que l’intégrale généralisée $\int_1^{+\infty} \frac{\cos (2t)}{t} dt$ est convergente. 23. IV.1.4 Montrer que l’intégrale généralisée $\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2(t)}{t} dt$ est divergente. En déduire la divergence de l’intégrale généralisée $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin (t)|}{t} dt$. 24. IV.2.1 Montrer que la fonction $f$ se prolonge par continuité en $0$. On notera encore $f$ ce prolongement. 25. IV.2.2 Montrer que $f$ est continue sur $[0, 1]$ et indéfiniment dérivable sur $]0, 1]$.} 26. IV.2.3 Montrer que : $$ \lim_{x \to 0^+} \int_x^1 |g (t)| dt = +\infty. $$ 27. IV.3 Pour tout réel $x \in ]0, 1]$, on désigne par $\lambda (x)$ la longueur de la courbe représentative de la restriction de la fonction $f$ au segment $[x, 1]$. Donner une expression intégrale de $\lambda (x)$, pour tout $x \in ]0, 1]$, puis montrer que $$ \lim_{x \to 0^+} \lambda(x) = +\infty. $$ Donner une interprétation de ce résultat. 28. V.1.1 Montrer que l’application $f \mapsto \|f\|$ définit une norme sur l’espace $E_1$. 29. V.1.2 Montrer que : $\forall f \in E_1, \|f\|_\infty \leq \|f\|$. 30. V.1.3 Les normes $\|\cdot\|$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont-elles équivalentes sur $E_1$ ?} 31. V.2.1 Montrer que la suite $(f_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0, 1]$. 32. V.2.2 On désigne, pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, par $I_n = L(f_n)$ la longueur de la courbe représentative de $f_n$. Montrer que : $$ \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad I_n \geq \frac{\sqrt{n}}{\pi^2}. $$ 33. V.2.3 L’application $L : f \mapsto L(f)$ est-elle continue sur $(E_1, \|\cdot\|_\infty)$ ? 34. V.2.4 L’application $L : f \mapsto L(f)$ est-elle continue sur $(E_1, \|\cdot\|)$ ?}FAQ
Pour l’épreuve de mathématiques PSI CCINP 2014, tu dois être à l’aise avec le calcul intégral (intégrales généralisées, intégration par parties), les développements en séries entières, la longueur d’arc d’une courbe, l’étude de suites, la convergence de séries et d’intégrales, ainsi que les normes sur les espaces de fonctions. Ces notions sont transversales et incontournables non seulement pour le sujet 2014, mais pour l’ensemble du programme de PSI.
Commence toujours par identifier l’expression générale de la longueur d’un arc pour une fonction donnée, par exemple via la formule classique $L(f) = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(t))^2} dt$. Réfléchis au domaine de définition, à la régularité de la fonction, et, si la courbe est définie de manière paramétrique ou implicite, adapte la formule. Les exercices du CCINP exploitent souvent ces variantes, alors entraîne-toi à reconnaître rapidement la bonne méthode d’adaptation.
Maîtriser la convergence ou la divergence d’une intégrale généralisée, c’est la base pour traiter aussi bien des problèmes analytiques que des applications en physique ou probabilités. Lors d’un concours comme le CCINP PSI, tu es souvent amené à justifier soigneusement par des critères précis (intégrale de référence, comparaison, parties réelles, etc.) la convergence ou la divergence. Comprendre le comportement aux bornes ou à l’infini te permet de ne jamais tomber dans le piège des résultats non justifiés.
Les séries entières sont très utiles pour approcher ou exprimer certaines fonctions sous forme développée, ce qui peut rendre un calcul d’intégrale ou de longueur d’arc réalisable, là où une forme fermée serait impossible à obtenir. Elles interviennent particulièrement quand l’énoncé demande d’exprimer une intégrale sous forme de série, ou d’étudier la convergence et de majorer l’erreur commise en tronquant la série. Ce genre de manipulations est monnaie courante dans les sujets de concours !
Les normes, en particulier la norme $L^1$ et la norme $\\infty$, sont essentielles dès que l’on aborde la convergence ou la continuité d’applications définies sur des espaces fonctionnels. Comparer ces normes et comprendre la topologie qu’elles induisent permet de justifier la continuité, ou non, d’un opérateur comme $L : f \\mapsto L(f)$. Cette maîtrise est particulièrement testée sur le sujet CCINP PSI 2014, avec des questions pointues sur la convergence (simple, uniforme) et l’équivalence de normes. Pour approfondir ces points ou débloquer des astuces de résolution, tu peux accéder au corrigé détaillé et au dashboard personnalisé de Prépa Booster !
Pour ce type d’intégrale, pense tout de suite à chercher une primitive ‘adaptée’, à utiliser une intégration par parties ou à comparer avec des intégrales de référence. Savoir repérer les situations où l’intégrale converge mais où la fonction totalement intégrée ne possède pas de limite simple est un vrai atout. Enfin, ce sont d’excellents exercices pour t’entraîner à rédiger des justifications propres et solides, indispensables le jour J.