Questions du sujet
1. I.1 Soient $V$ un vecteur non nul de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ et $\lambda$ un élément de $\mathbb{K}$. Montrer que la matrice $X(t) = e^{\lambda t} V$ est une solution de $(E_0)$ si et seulement si $V$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$. 2. I.2.1 On suppose $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ et on considère l’équation différentielle $(E_0)$. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice $A$. En déduire un système fondamental de solutions, puis la solution générale complexe de $(E_0)$ sur l’intervalle $I = \mathbb{R}$. 3. I.2.2 On suppose $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ et on considère l’équation $(E) : X'(t) = AX(t) + B(t)$. \[ X(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ x_4(t) \end{pmatrix}. \] Écrire le système d’équations différentielles linéaires scalaires vérifié par les quatre fonctions $x_k(t)$. Déterminer la solution générale réelle de $(E)$ sur l’intervalle $I = \mathbb{R}$ (on pourra déterminer successivement $x_2(t)$, puis $x_3(t)$, puis $x_1(t)$ et enfin $x_4(t)$). 4. I.2.3 Préciser la solution $X$ de $(E)$ telle que $X(0) = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$. 5. II.1 Soient $t_0$ et $t$ dans $I$. Soit $V \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ et soit $X$ la solution de $(E_0)$ telle que $X(t_0) = V$. Justifier l’égalité $\Phi_t \circ \Phi_{t_0}^{-1}(V) = X(t)$.} 6. II.2.1 Soit $t_0 \in I$. Prouver que la matrice, dans ce couple de bases, de l’application linéaire $\Phi_{t_0}$ de $S_0$ dans $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ est la matrice wronskienne : \[ W(t_0) = ( X_1(t_0), \ldots, X_n(t_0) ). \] 7. II.2.2 Soient $t_0$ et $t$ dans $I$. On note $R(t, t_0) = W(t)(W(t_0))^{-1}$. Prouver que la matrice $R(t, t_0)$ ne dépend pas du système fondamental $(X_1, \ldots, X_n)$ de solutions choisi. 8. II.3.1 Pour simplifier, on note $R'(t, t_0)$ la dérivée par rapport à $t$ de la matrice $R(t, t_0)$. Montrer que $R'(t, t_0) = A(t)R(t, t_0)$. En déduire que, pour tout $V \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$, la matrice $X(t) = R(t, t_0)V$ est la solution de $(E_0)$ telle que $X(t_0) = V$. 9. II.3.2 Montrer que $R(t_2, t_1)R(t_1, t_0) = R(t_2, t_0)$. En déduire $R(t, t_0)^{-1} = R(t_0, t)$. 10. II.4.1 On suppose que $X(t) = R(t, t_0)V(t)$ est une solution de $(E)$. Montrer que : \[ R(t, t_0)V'(t) = B(t). \]} 11. II.4.2 En déduire que $V(t) = \int_{t_0}^{t} R(t_0,u)B(u)\,du$ est une solution de $(E)$ (la matrice $V(t)$ étant la matrice colonne dont les coefficients sont les intégrales des coefficients de la matrice colonne $R(t_0,u)B(u)$). 12. II.4.3 Montrer que $Y(t) = \int_{t_0}^{t} R(t,u)B(u)\,du$ est une solution particulière de $(E)$. 13. III.1.1 En cherchant les polynômes solutions de $(e_0)$ sous la forme $y(t) = a_m t^m + \cdots + a_0$ avec $a_m \neq 0$, déterminer le degré de ces polynômes puis déterminer tous les polynômes solutions de $(e_0)$ sur $\mathbb{R}$. Préciser le polynôme $P$ solution de $(e_0)$ et vérifiant $P(0) = 1$. 14. III.1.2 Vérifier que la fonction $Q(t) = \frac{1}{1-t^2}$ est solution de $(e_0)$ sur l’intervalle $]-1;1[$. 15. III.1.3 On cherche les solutions non nulles de $(e_0)$ développables en série entière : $y(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k t^k$ pour $|t| < R$, où $R > 0$ est le rayon de convergence de la série.} 16. III.1.3.1 Pour tout entier naturel $k$, écrire, selon les valeurs de $k$, les relations entre $a_k$ et $a_{k+1}$. Déterminer le rayon de convergence $R$. 17. III.1.3.2 Montrer qu’il existe un entier non nul $k_0$ à déterminer, tel que pour $k \geq k_0$, le coefficient $a_k$ s’exprime en fonction de $a_{k_0}$. Donner l’expression de $a_k$ en fonction de $a_{k_0}$. Comment retrouve-t-on les fonctions $P$ et $Q$ parmi ces solutions ? 18. III.2.1 On définit la fonction $z$ par $z(t) = y'(t)$ et on note $X(t) = \begin{pmatrix} y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$. Déterminer une matrice carrée $A(t)$ et une matrice colonne $B(t)$ telles que l’équation différentielle $(\mathcal{E})$ s’écrive matriciellement sous la forme $(E) : X'(t) = A(t)X(t) + B(t)$. 19. III.2.2 On note $(f(t), g(t))$ une base de l’espace vectoriel des solutions sur $I$ de l’équation différentielle $(e_0) : y” + a(t)y’ + b(t)y = 0$. Les matrices $\begin{pmatrix} f(t) \\ f'(t) \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} g(t) \\ g'(t) \end{pmatrix}$ forment ainsi un système fondamental de solutions de l’équation associée $(E_0) : X'(t) = A(t)X(t)$. Soit $W(t) = \begin{pmatrix} f(t) & g(t) \\ f'(t) & g'(t) \end{pmatrix}$ la matrice wronskienne de ce système fondamental de solutions. Pour $t$ et $t_0$ dans $I$, on note en abrégé $f$ pour $f(t)$, $f_0$ pour $f(t_0)$, $g$ pour $g(t)$, $g_0$ pour $g(t_0)$, $f’$ pour $f'(t)$, $f’_0$ pour $f'(t_0)$, $g’$ pour $g'(t)$ et $g’_0$ pour $g'(t_0)$. Exprimer les coefficients de la matrice $(W(t_0))^{-1}$ en fonction de $f, f_0, g, g_0, f’, f’_0, g’, g’_0$, puis ceux de la matrice résolvante $R(t, t_0)$, en fonction de $f, f_0, g, g_0, f’, f’_0, g’, g’_0$. 20. III.3.1 Écrire l’équation différentielle $(e)$ sous la forme de l’équation différentielle $(\mathcal{E})$ de la question III.2. En déduire les matrices $A(t)$ et $B(t)$ telles que l’équation différentielle $(e)$ s’écrive matriciellement sous la forme $(E) : X'(t) = A(t)X(t) + B(t)$.} 21. III.3.2 On applique les résultats de la question III.2 avec $f(t) = P(t)$ et $g(t) = Q(t)$, où $P$ et $Q$ sont les fonctions définies dans III.1. Pour $t$ et $u$ dans $]0;1[$, expliciter le déterminant de $W(u)$ et la valeur de $Q(t)P(u) – P(t)Q(u)$. 22. III.3.3 Soient $t$ et $t_0$ dans $]0;1[$. En appliquant les résultats précédents de cette partie et de la partie II, montrer que la fonction : \[ y(t) = \frac{1}{(1-t^2)} \int_{t_0}^t (4t^5 – 5t^4 – 4u^5 + 5u^4) du \] est une solution particulière de l’équation différentielle $(e)$. Montrer que cette solution est encore valable pour $t_0 = 0$. Expliciter la solution générale de $(e)$ sur l’intervalle $[0;1[$. Quelles sont les solutions de $(e)$ sur $[0;1[$ qui vérifient $y(0) = y'(0) = 0$ ?}FAQ
Pour résoudre un système différentiel comme $X'(t) = AX(t) + B(t)$, commence par déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice $A$. Cela te permet de trouver un système fondamental de solutions de la partie homogène $X'(t) = AX(t)$. Ensuite, utilise la méthode de la variation de la constante ou la technique de la résolvante pour obtenir une solution particulière du système complet. N’hésite pas à bien écrire le système scalaire associé pour clarifier les dépendances entre les différentes composantes. Débloque les corrigés sur Prépa Booster pour voir des rédactions typiques et t’entraîner sur des méthodes qui tombent souvent en PSI !
La matrice wronskienne permet de vérifier que tu as bien un système fondamental de solutions pour une équation vectorielle linéaire comme $X'(t) = A(t)X(t)$. Elle te permet aussi de construire la résolvante, qui intervient dans la formule générale de la solution, en particulier grâce à sa propriété d’inversibilité sur l’intervalle d’existence des solutions. En somme, c’est l’outil central pour passer de la théorie à la résolution pratique et pour manipuler les changements de base dans l’espace des solutions.
En général, une équation différentielle linéaire avec coefficients polynomiaux admet parfois des solutions polynomiales. Pour trouver ces solutions, suppose $y(t) = \sum_{k=0}^m a_k t^k$, puis injecte dans l’équation, identifie les degrés, et écris les relations de récurrence sur les $a_k$. Pour les séries entières, procède de même mais sans bornes finies sur les sommes, et interroge-toi sur le rayon de convergence et la nature des singularités. C’est un excellent exercice pour différencier solutions polynomiales et analytiques en CPGE scientifique !
La résolvante $R(t, t_0)$ incarne la solution fondamentale du système homogène associée à une condition initiale. Elle fait le lien entre la donnée initiale et la solution à tout instant, même dans le cas d’un coefficient $A(t)$ dépendant du temps. C’est sur la résolvante que repose l’expression intégrale de la solution pour les systèmes non homogènes, donc c’est un outil incontournable en CPGE pour la PSI. Maîtriser la résolvante, c’est se donner toutes les cartes pour réussir aux concours.
Pour bien réussir ta copie au concours de maths CCINP en PSI, structure ta rédaction avec des titres clairs, aère entre les différentes parties et commence chaque question par un rappel du contexte. Sois précis sur les notations (vectorielles, matricielles…), justifie chaque étape surtout lors de la manipulation d’équations différentielles ou matricielles, cite les théorèmes utilisés et conclus chaque question par une phrase qui interprète mathématiquement le résultat. Pour t’entraîner, pense à débloquer les corrigés Prépa Booster, tu y trouveras des exemples de rédactions et des conseils pour chaque type de question !
Les valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice $A$ permettent, dans le cas des coefficients constants, de diagonaliser (ou trigonaliser) le système, ce qui simplifie considérablement la recherche de solutions. Si tu peux écrire $A = PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors le système se découple de façon élémentaire. Même si $A$ n’est pas diagonalisable, connaître sa structure spectrale permet d’écrire la forme générale des solutions et d’exploiter $e^{At}$. D’où l’importance de bien maîtriser ce chapitre pour la PSI et le concours CCINP !