Questions du sujet
1. I.1.1. Préciser le rayon de convergence de cette série entière, montrer que la fonction $L$ est définie sur l’intervalle $]-1,1[$ et expliciter $L(x)$ pour $x$ appartenant à $]-1,1[$. 2. I.1.2. Montrer, avec soin, que la fonction $L$ est continue sur l’intervalle $[0,1[$. En déduire que $L(1) = \ln(2)$ (où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien). 3. I.2.1. Montrer que :} \[ a_p = \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{k} – \sum_{k=1}^{p} \frac{1}{k+1} \ 4. I.2.2. Déterminer la limite de la somme $\sum_{k=1}^{p} a_k$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$ (on pourra considérer la fonction qui à $t$ associe $1/(1+t)$ sur un intervalle convenable). En déduire la convergence de la série $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k$ et préciser sa somme. 5. I.2.3. En déduire que la série $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos(k)}{k}$ converge et montrer que sa somme est égale à $\ln(2)$.} 6. I.3.1. Montrer que :\\ $(S_n(t) – K(t)) = e^{i(n+1)t} \frac{1-e^{-int}}{1-e^{-it}} – 1 $ (préciser la forme exacte dans l’énoncé qui a été raccourcie ici). 7. I.3.2. Montrer que la fonction $K$ est de classe $C^1$ sur le segment $[B, \pi]$. 8. I.3.3. Montrer que l’intégrale $\int_{B}^{\pi} K(t) e^{int} dt$ tend vers zéro lorsque l’entier $n$ tend vers $+\infty$ (on pourra utiliser une intégration par parties). 9. I.3.4. Expliciter $\int_{B}^{\pi} S_n(t) dt$. Déduire de ce qui précède la convergence de la série $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{ikt}}{k}$. Expliciter la somme $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{e^{ikB}}{k}$ en fonction de $\ln(2)$ et de $\int_{B}^{\pi} K(t) e^{it} dt$. 10. I.3.5. Exprimer $e^{it} K(t)$ en fonction de $\frac{2 e^{it} \sin(t/2)}{e^{it} – 1}$ où $t$ appartient à $[B, \pi]$.} 11. I.3.6. En déduire la convergence des séries $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos(kB)}{k}$ et $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin(kB)}{k}$. Expliciter leur somme respective. Le résultat est-il conforme avec celui obtenu en I.2.3.? 12. II.1. Existence de $\tilde{f}_g(x)$\\ On suppose que la fonction $g$ est bornée sur l’intervalle $[0,+\infty[$. Justifier l’existence de $\tilde{f}_g(x)$ pour tout $x$ réel strictement positif. Montrer que la fonction $\tilde{f}_g$ est continue et bornée sur l’intervalle $]0,+\infty[$. 13. II.2.1. Justifier l’affirmation : Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un réel positif $A$ tel que $\int_A^{+\infty} f(t) dt < \varepsilon$. 14. II.2.2. Le nombre réel $A$ étant fixé, montrer que l’intégrale $\int_0^A f(t) e^{ixt} dt$ tend vers zéro lorsque le nombre réel $x$ tend vers $+\infty$ (on pourra utiliser une intégration par parties). 15. II.2.3. En déduire la limite de $\int_0^{+\infty} f(t) e^{ixt} dt$ lorsque le nombre réel $x$ tend vers $+\infty$.} 16. II.3.1. Pour $H \in \mathbb{R}$, calculer l’intégrale $\int_0^{+\infty} e^{-y} \sin(Hy) dy$. 17. II.3.2. Montrer que pour $x \in\, ]0,+\infty[$:\\ $\int_0^{+\infty} e^{-u/x} \sin(u) du = x \int_0^{+\infty} e^{-t} \sin(xt) dt$. 18. II.3.3. Exprimer pour tout $k \in \mathbb{N}$ et pour tout $x > 0$, l’intégrale $\int_0^{+\infty} e^{-u/k} \sin(u) du$ en fonction de $e^{-x/k}$ et de $R(H)$ pour un $H$ convenable. 19. II.3.4. Justifier, pour $x \in\, ]0,+\infty[$, la convergence de la série $\sum_{k=0}^{+\infty} e^{-x/k}$. Préciser sa somme $\sum_{k=0}^{+\infty} e^{-x/k}$. 20. II.3.5. Expliciter $\mathcal{E}(x)$ pour $x \in\, ]0,+\infty[$. Déterminer la limite de $\mathcal{E}(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.} 21. II.4.1. Pour tout $t$ réel tel que la série $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos(2kt)}{4k^2-1}$ converge, on pose $h(t) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos(2kt)}{4k^2-1}$. Montrer que la fonction $h$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. Justifier l’égalité : \[ \forall t \in \mathbb{R}\,,\ \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \sin(t) dt = h(t) \] 22. II.4.2. Limite de $f(x)$ dans le cas $C^1$\\ On suppose de plus que $f$ est une fonction de classe $C^1$ sur l’intervalle $[0,+\infty[$. En utilisant les résultats obtenus en II.2 et II.4.1, déterminer la limite de $f(x)$ lorsque le réel $x$ tend vers $+\infty$. Le résultat est-il conforme avec celui obtenu pour la fonction $\mathcal{E}$? 23. II.4.3.1. Une limite\\ Étant donnés deux nombres réels $C$ et $E$ tels que $0 \leq C < E$, on considère l’intégrale $F(x) = \int_C^E \sin(xt)\, dt$ pour $x \in\, ]0,+\infty[$. Montrer que $F(x) = \frac{1}{x} \int_{Cx}^{Ex} \sin(u) du$.\\ On pose $p$ la partie entière de $Cx/\pi$ et $q$ la partie entière de $Ex/\pi$. Pour $x/(E-C) \gg 1$, donner un encadrement de $F(x)$ en fonction de $p, q$ et $x$. En déduire que $F(x)$ tend vers $0$ lorsque le nombre réel $x$ tend vers $+\infty$. 24. II.4.3.2. Limite de $f(x)$ dans le cas d’une fonction continue par morceaux\\ Si $J$ est un intervalle de $[0,+\infty[$ et si $f$ est une fonction continue par morceaux sur $J$ à valeurs réelles et telle que l’intégrale $\int_J f(t)\, dt$ existe, on note toujours : $f(x) = \int_J f(t)\sin(xt) dt$. Quelle est la limite de $f(x)$ lorsque le réel $x$ tend vers $+\infty$\,: \begin{itemize} \item lorsque $J$ est un segment de $[0,+\infty[$ et $f$ une fonction en escalier\,?\\ \item lorsque $J$ est un segment de $[0,+\infty[$ et $f$ une fonction continue par morceaux\,?\\ \item lorsque $J = [0,+\infty[$ et $f$ est une fonction continue par morceaux\,?\\ \end{itemize}}FAQ
Pour cette épreuve, il faut parfaitement connaître l’analyse réelle et complexe (rayons de convergence, séries entières, intégrales impropres, fonctions continues et différentiables), la manipulation des séries (convergence, calculs de sommes), ainsi que l’utilisation des techniques d’intégration par parties. Il est aussi essentiel d’être à l’aise avec la résolution de limites, la gestion des fonctions à valeurs complexes, et la manipulation des suites et séries de fonctions. C’est un beau condensé du programme de MPSI/PSI !
Pour déterminer le rayon de convergence d’une série entière, utilise la règle d’Abel (ou le critère de Cauchy-Hadamard) en calculant la limite supérieure du terme général. La fonction somme est ensuite définie sur l’intervalle ouvert du rayon de convergence. Pense à réécrire la série sous forme de fonction exploitable pour étudier sa continuité et calculer ses valeurs aux bornes, comme pour montrer que L(1) = ln(2).
Parce qu’une grande partie du sujet repose sur la maîtrise des séries (séries à termes réels, complexes, ou dépendant de paramètres). Cela implique de savoir manipuler les séries de fonctions, montrer leur convergence (absolue ou non), et parfois d’en calculer les sommes à l’aide de propriétés analytiques, de méthodes d’intégrale ou d’astuces de réarrangement. Ces compétences te serviront sur d’autres sujets et dans toute la suite de ta scolarité scientifique.
L’intégration par parties est essentielle pour montrer la convergence d’intégrales impropres ou oscillantes (souvent liées aux fonctions sinus, cosinus, exponentielles complexes). Il s’agit de choisir judicieusement tes fonctions f et g’, d’assurer la décroissance à l’infini, et parfois de relier l’intégrale initiale à une expression récursive ou à une limite élémentaire lorsque x tend vers l’infini. C’est aussi très utile pour estimer la décroissance des transformées de Fourier ou d’intégrales de Laplace.
Une bonne maîtrise des formules d’Euler, de l’écriture complexe du sinus et du cosinus, ainsi que des formules de sommation classique (telles que la somme des 1/k ou des séries géométriques) va grandement t’aider. Penser à changer d’indice dans une série, à déplacer ou à factoriser un terme, ou à utiliser la périodicité des fonctions trigonométriques permet souvent d’obtenir une expression simplifiée ou de détecter un télescopage, ce qui est fréquent dans les exercices de type CCINP.
Parce que, pour passer à la limite ou intervertir intégrale et dérivée ou somme, il faut vérifier la régularité de la fonction (au sens de la convergence uniforme, de la continuité sur l’intervalle étudié, etc.). Sans ça, tu ne peux pas justifier certains passages subtils exigés par le correcteur. C’est un vrai gage de rigueur mathématique, te permettant d’obtenir les points qui font la différence dans ce type d’épreuve.
Dans les problèmes où tu dois calculer la limite d’une intégrale ou d’une série en faisant tendre une variable vers l’infini. Il faut savoir repérer les situations où les termes oscillent mais décroissent (par exemple, avec un sin(xt)/x) et montrer, grâce à une majoration judicieuse ou à une intégration par parties, que la limite est bien nulle. C’est là que tu fais parler ton intuition d’analyseur averti.
Oui, car de nombreux passages exigent de transcrire un problème d’intégrale ou de fonction en une série ou inversement, voire d’utiliser les propriétés de la transformée de Fourier (décroissance, convergence, régularité…). Savoir jongler entre ces outils, c’est ce qui fait la différence entre un bon devoir et un excellent devoir. Pour progresser encore plus vite et avoir un retour détaillé sur ta copie, débloque les corrigés sur Prépa Booster et accède aussi à un dashboard personnalisé !
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