Questions du sujet
1. I.1.1. Justifier rapidement l’affirmation : $B$ définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}_n[X]$ mais pas sur $C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. 2. I.1.2. Pour $j$ et $k$ entiers de $[0,n]$, calculer $L_k(x_j)$. Montrer que la famille $(L_k)_{k \in [0,n]}$ est une base orthonormale de l’espace euclidien $\mathbb{R}_n[X]$ pour le produit scalaire $B$. 3. I.2.1. Pour tout $k \in [0,n]$, exprimer $B(f, L_k)$ en fonction de $f(x_k)$. En déduire que $P_n(f)$ vérifie $P_n(f)(x_k) = f(x_k)$ pour tout $k \in [0,n]$. 4. I.2.2. Montrer que $P_n(f)$ est l’unique polynôme $P \in \mathbb{R}_n[X]$, vérifiant $P(x_k) = f(x_k)$ pour tout $k \in [0,n]$. 5. I.2.3. Expliciter $P_n(f)$ lorsque $f \in \mathbb{R}_n[X]$. Préciser le polynôme $\sum\limits_{k=0}^n L_k(X)$ et, pour $x$ réel, la valeur de la somme $\sum\limits_{k=0}^n L_k(x)$.} 6. I.3.1. Justifier l’inégalité : $\|\Lambda\| \leq N_{\infty}(\Phi)$. 7. I.3.2. Montrer qu’il existe un nombre réel $\tau \in [a, b]$ tel que $N_{\infty}(\Phi) = \Phi(\tau)$. 8. I.3.3. Soit $\tau \in [a, b]$ tel que $N_{\infty}(\Phi) = \Phi(\tau)$. Pour tout $k \in [0, n]$, on définit $\varepsilon_k$ par $\varepsilon_k = 0$ lorsque $L_k(\tau)=0$ et $\varepsilon_k = \frac{L_k(x)}{L_k(\tau)}$ lorsque $L_k(\tau) \neq 0$. Soit $\psi$ la fonction définie sur $[a, b]$ vérifiant les propriétés suivantes : \begin{itemize} \item $\psi$ est continue sur $[a, b]$, \item pour tout $k \in [0, n]$, $\psi(x_k)=\varepsilon_k$, \item pour tout $k \in [0, n-1]$ la restriction de $\psi$ à chaque intervalle $[x_k, x_{k+1}]$ est de la forme $\psi(t) = a_k t + b_k$ où $a_k$ et $b_k$ sont des réels. Les restrictions de $\psi$ à $[a, x_0]$ et à $[x_n, b]$ sont constantes. \end{itemize} En calculant $\Lambda(\psi)(\tau)$ déterminer $\|\Lambda\|$. 9. I.4.1. Montrer que la fonction dérivée $g’$ s’annule en au moins $p$ points de $[a, b]$. 10. I.4.2. En déduire qu’il existe un point $\alpha\in[a, b]$ tel que $g^{(p)}(\alpha)=0$.} 11. I.5.1. Montrer qu’il existe un réel $r$ tel que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, on ait : \[ P_{n+1}(x) – P_n(x) = r T_{n+1}(x). \] 12. I.5.2. En appliquant à la fonction $g = f – P_{n+1}$ un résultat obtenu en I.4., montrer qu’il existe un réel $\beta \in [a, b]$ tel que : $f^{(n+1)}(\beta) = r(n+1)!$\\ En déduire que pour tout $y \in [a, b]$, il existe $\beta \in [a, b]$ tel que : \[ f(y) – P_n(f)(y) = \frac{1}{(n+1)!} T_{n+1}(y) f^{(n+1)}(\beta). \] 13. I.5.3. Montrer que l’égalité (1) est aussi vérifiée lorsque l’on remplace $y$ par l’un des $x_i$, pour $i \in [0, n]$. 14. II.1.1. Montrer que la fonction $\varphi$ admet un maximum sur l’intervalle $[0, n]$. 15. II.1.2. Soit $t \in [0, n]$ : comparer $\varphi(n-t)$ et $\varphi(t)$.} 16. II.1.3. On suppose $t > 1$ et $t \in \mathbb{N}$. Calculer $\dfrac{\varphi(t-1)}{\varphi(t)}$.\\ En déduire que pour $t \in [1, \frac{n}{2}]$, on a $\varphi(t-1) \geq \varphi(t)$. 17. II.1.4. On suppose $n$ pair et on note $n = 2p$. Montrer que $\varphi$ atteint son maximum en un point de l’intervalle $[0, 1]$ en supposant d’abord que $p = 1$ puis $p \geq 2$.\\ On admettra que pour $n$ impair, $\varphi$ atteint son maximum en un point de $[0, 1]$. 18. II.2.1. Soit $t \in \mathbb{N}$, expliciter $\ln(\varphi(t))$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien ; en déduire $\frac{\varphi'(t)}{\varphi(t)}$ en fonction de $\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{t-k}$. 19. II.2.2. Pour $t \in [\frac{1}{2}, 1[$, déterminer le signe de la somme $\sum\limits_{k=2}^n \frac{1}{t-k}$. En déduire que $\varphi'(t)$ est strictement négatif sur l’intervalle $[\frac{1}{2}, 1[$. 20. II.2.3. Calculer la dérivée de la fonction définie sur $]0,1[$ par : $g(t) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{t-k}$.\\ Déterminer le sens de variation de la fonction $g$. En déduire que la fonction $\varphi’$ s’annule en au plus un point de $]0,1[$.} 21. II.2.4. Montrer que le maximum de $\varphi$ est atteint en un point et un seul de $]0, \frac{1}{2}[$, noté $t_n$.\\ Quelle est la valeur de la somme $\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{t_n – k}$ ? 22. II.3.1. On suppose $k \in \mathbb{N}^*$, justifier l’inégalité $\frac{1}{k-t_n} > \frac{1}{k}$\\ En déduire une minoration de $\frac{1}{t_n}$. 23. II.3.2. Préciser la nature de la série $\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k}$.\\ En déduire la limite de $\frac{1}{t_n}$ et par suite, celle de $t_n$ lorsque $n \to +\infty$. 24. II.4.1. Montrer l’inégalité $\int_1^{n+1} \frac{dt}{t} < \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}$. 25. II.4.2. En déduire, que pour tout $t \in [0, n]$, on a la majoration $\varphi(t) < \frac{n!}{\ln(n+1)}$.} 26. II.5.1. Pour $x \in [a, b]$, on note $t = \frac{x-a}{h} \in [0, n]$. On note $T_{n+1}$ le polynôme défini en I.5 par $T_{n+1}(x) = \prod\limits_{j=0}^n (x-x_j)$. Exprimer $T_{n+1}(x)$ en fonction de $h$ et de $\varphi(t)$. 27. II.5.2. Soit $f \in C^{n+1}([a, b], \mathbb{R})$ et soit $P_n$ son polynôme d’interpolation, de degré inférieur ou égal à $n$, aux points équirépartis $x_i$, pour $i \in [0, n]$, défini en I.2. Montrer l’inégalité : \[ N_{\infty}(f - P_n) \leq \frac{N_{\infty}(f^{(n+1)})}{(n+1)! \ln(n+1)} N_{\infty}(\varphi). \] 28. III.1. Soit $x$ un réel et soit $k$ un entier de $[0, n]$.\\ Exprimer $T_{n+1}(x)$ en fonction de $L_k(x)$, $x-x_k$ et $w_k$. 29. III.2. Soit $f \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et soit $P_n$ son polynôme d’interpolation, de degré inférieur ou égal à $n$, aux points $x_p$, pour $i \in [0,n]$. On suppose $x$ différent de tous les $x_p$, pour $i \in [0, n]$.\\ Montrer l’égalité : \[ P_n(x) = T_{n+1}(x) \left( \sum_{k=0}^n \frac{w_k f(x_k)}{x - x_k} \right) \] Calculer $T_{n+1}(x) \sum\limits_{k=0}^n \frac{w_k}{x-x_k}$.\\ En déduire la formule barycentrique : \[ P_n(x) = \frac{\sum\limits_{k=0}^n \frac{w_k f(x_k)}{x-x_k}}{\sum\limits_{k=0}^n \frac{w_k}{x-x_k}} \] 30. III.3.1. Exprimer $w_k$ en fonction de $h$, de $n$ et de $k$.\\ Soit $w_k^* = (-1)^k h^n! w_k$. Exprimer $w_k^*$ à l’aide d’un entier de la forme $\binom{m}{p}$, où $m$ et $p$ sont à préciser en fonction de $n$ et $k$.} 31. III.3.2. On suppose $x$ différent de tous les $x_k$, pour $i \in [0, n]$. Montrer la formule : \[ P_n(x) = \frac{\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{f(x_k)}{x-x_k}}{\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \frac{1}{x-x_k}} \] 32. III.4.1. Déterminer $x_k$ pour $k \in [0, 4n]$. 33. III.4.2. Montrer que : \[ P_{4n}(x) = \frac{\sum\limits_{k=-2n}^{2n} (-1)^k \binom{4n}{2n+k} \frac{1}{x-x_k}}{\sum\limits_{k=-2n}^{2n} (-1)^k \binom{4n}{2n+k} \frac{1}{x-x_k}} \] est, pour $x$ différent de tous les $x_k$, la valeur en $x$ d’un polynôme d’interpolation de la fonction $\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)$, en des points équirépartis que l’on précisera. 34. III.4.3. Soit $x \in [-2n, 2n]$ et soit $p$ la partie entière de $x$.\\ Montrer l’inégalité : $\prod\limits_{k=-2n}^{2n} |x-k| \leq (2n+p+1)!(2n-p)!$ 35. III.4.4. Montrer que pour $x$ fixé dans $[-2n, 2n]$ et non entier, on a : \[ |f(x) - P_{4n}(x)| \leq (2n+p+1)!(2n-p)! \left(\frac{\pi}{2}\right)^{4n+1} \bigg/ (4n+1)! = \theta(n, p). \] Quelle est la limite de $\theta(n, p)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?}FAQ
L’interpolation polynomiale consiste à rechercher un polynôme de degré le plus bas possible qui prend des valeurs fixées en certains points donnés. C’est une notion clé en analyse et en algèbre pour les exercices de concours, car elle permet d’estimer une fonction à partir de valeurs discrètes, d’approcher des solutions complexes et de comprendre des propriétés fines des espaces vectoriels de polynômes. Connaître les bases orthogonales, les formules de Lagrange ou barycentriques, et la majoration de l’erreur d’interpolation, t’aidera à cartonner le jour J !
Sur \(\mathbb{R}_n[X]\), c’est-à-dire l’espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n, tu peux définir un vrai produit scalaire (par exemple, la somme des valeurs prises en points donnés ou via une intégrale définie). En revanche, sur l’espace des fonctions continues \(C(\mathbb{R},\mathbb{R})\), il est impossible de garantir toutes les propriétés requises (positivité, non-dégénérescence, bilinéarité) pour un produit scalaire, vu la structure trop large de cet espace. Ça a des conséquences majeures sur l’existence de bases orthonormales ou le calcul de projections orthogonales dans chaque cas.
Le polynôme d’interpolation de Lagrange te permet de reconstruire une fonction sur un intervalle à partir de quelques valeurs tabulées (les points \(x_k, f(x_k)\)). Dans les sujets du concours CCINP PSI, il intervient souvent dans les questions sur la résolution d’équations, l’approximation, ou encore l’étude de l’erreur d’approximation (reste de Lagrange ou de Cauchy). Bien maîtriser cette notion, c’est gagner un temps précieux sur toutes les questions de construction ou d’estimation d’une fonction à partir de ses valeurs sur un petit ensemble.
Savoir estimer l’erreur d’interpolation (via le polynôme de degré supérieur, la borne utilisant le \(f^{(n+1)}\), ou l’utilisation astucieuse de sommations/logarithmes comme dans ce sujet) est essentiel pour juger si l’approximation obtenue est pertinente ou non. Dans le cadre des concours CPGE scientifiques, ces majorations d’erreur font souvent la différence sur les questions de rédaction et offrent de nombreux points faciles si tu maîtrises bien ces démonstrations.
La formule barycentrique reformule le polynôme interpolateur pour accélérer les calculs et réduire l’impact des erreurs numériques : tu exprimes \(P_n(x)\) comme un rapport de deux sommes, ce qui te fait gagner un temps fou en pratique. Elle est souvent un passage obligé dès qu’un sujet mêle interpolation et calculs explicites, surtout en PSI. Pour la retenir, pense à la structure du rapport somme des poids sur \(x−x_k\), souvent appuyée par une identification astucieuse sur les produits polynomiaux. Entraîne-toi sur des exemples types pour l’avoir bien en tête le jour de l’épreuve !
Les inégalités reliant intégrales, sommes et logarithmes (voir les idées comme \(\int_1^{n+1} \frac{dt}{t} < \sum 1/k\)) sont omniprésentes pour estimer des ordres de grandeur, majorer ou minorer des expressions, justifier une convergence… Ces techniques sont attendues dans quasiment tous les sujets de concours, car elles font le lien entre analyse et calcul effectif. Les entraîner sur de vrais sujets corrigés est un excellent moyen de progresser, donc n’hésite pas à débloquer l’accès complet aux corrigés depuis ton espace personnel Prépa Booster !
Lis d’abord tout le sujet pour repérer les grandes parties (analyse, algèbre, arithmétique) et identifier les questions classiques (produits scalaires, interpolation, estimation d’erreur, calculs avec sommes ou intégrales). Attaque-toi d’abord aux questions directes et de cours, souvent rapides à traiter, et laisse les questions les plus techniques ou calculatoires pour un second temps. Enfin, révise régulièrement les sujets corrigés d’annales, c’est la clé pour gagner en rapidité et en magie des rédactions !