Questions du sujet
1. I.1.1/ Étudier la fonction $d$ ; en déduire qu’il existe un nombre réel $\alpha$ tel que, pour tout nombre réel $t$ strictement positif, on ait l’inégalité : $0 \leq \frac{1 – \cos t}{t} \leq \alpha$. 2. I.1.2/ Étudier la fonction $\delta$ ; en déduire qu’il existe un nombre réel $\beta$ tel que, pour tout nombre réel $t$ strictement positif, on ait l’inégalité : $0 \leq \frac{1 – \cos t}{t^2} \leq \beta$. 3. I.2/ Existence de la fonction $\varphi$ sur $[0; +\infty[$. \\ Établir la convergence de l’intégrale généralisée $\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos t}{t^2} e^{-xt}\,dt$. En déduire que $\varphi(x)$ existe pour tout $x$ appartenant à $[0; +\infty[$. 4. I.3.1/ Préciser le signe de $\varphi(x_1) – \varphi(x_2)$ pour $0 \leq x_1 \leq x_2$. En déduire que la fonction $\varphi$ admet une limite finie $\lambda$ en $+\infty$. 5. I.3.2/ Déterminer la valeur de $\lambda$ (on pourra utiliser I.1.2).} 6. I.4.1/ Montrer que la fonction $\varphi$ est continue sur $[0; +\infty[$. 7. I.4.2/ Montrer que la fonction $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $]0; +\infty[$ (on pourra utiliser I.1.1). 8. I.4.3/ Montrer que la fonction $\varphi$ admet une limite finie (que l’on précisera) en $+0$. 9. I.4.4/ Montrer que la fonction $\varphi$ est de classe $C^2$ sur $]0;+\infty[$. 10. I.4.5/ Expliciter $\varphi'(x)$ pour $x$ appartenant à $]0;+\infty[$.} 11. I.4.6/ Expliciter $\varphi”(x)$ pour $x$ appartenant à $]0;+\infty[$. La fonction $\varphi$ est-elle dérivable en $0$ ? 12. I.5.1/ Déterminer la limite de $x \ln \left( \frac{x^2}{x^2+1} \right)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. 13. I.5.2/ Expliciter une primitive de la fonction : $x \mapsto \ln(x^2+1)$ (on pourra utiliser une intégration par parties). 14. I.5.3/ Expliciter $\varphi(x)$ pour $x$ appartenant à $]0;+\infty[$. 15. I.5.4/ Déterminer $\varphi(0)$.} 16. II.1/ Étude de $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin t)^m}{t}\,dt$. \\ Justifier la convergence de l’intégrale généralisée $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\sin t)^m}{t}\,dt$ pour tout entier naturel non nul $m$. 17. II.2/ Étude de $J_1$. \\ Justifier l’existence de $J_1$ et établir une relation entre $J_1$ et $\varphi(0)$ (on pourra utiliser une intégration par parties, en remarquant que $(1-\cos)’ = \sin$). 18. II.3/ Étude de l’existence de $I_k$. \\ Préciser la nature de l’intégrale généralisée $I_k$ selon la valeur de l’entier relatif $k$ (on pourra utiliser une intégration par parties). 19. II.4.1/ Exprimer, pour tout entier naturel non nul $m$ et pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[\frac{\pi}{2};+\infty[$, l’intégrale $\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty} \frac{(\sin t)^m}{t} dt$ à l’aide des intégrales $I_k(x)$. 20. II.4.2/ En déduire l’existence de $J_{2p+1}$ pour tout entier naturel $p$.} 21. II.4.3/ Quelle est la nature de l’intégrale généralisée $\int_0^{+\infty} \frac{(\sin t)^{2p}}{t} dt$ pour $p$ entier naturel non nul ? 22. III.1.1/ Calculer les coefficients de Fourier réels $a_n(h_x)$ et $b_n(h_x)$ de la fonction $h_x$. \\ On rappelle que pour tout entier naturel $n$: \\ $a_n(h_x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} h_x(t) \cos (nt)\,dt$ et $b_n(h_x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} h_x(t)\sin(nt)\,dt$. 23. III.1.2/ Justifier la convergence de la série $\sum_{n \geq 1} \frac{2x\sin x}{x^2-n^2\pi^2}$ et la valeur de la somme : \\ $\frac{\sin x}{x} + \sum_{n \geq 1} (-1)^n \frac{2x\sin x}{x^2-n^2\pi^2}$. 24. III.2.1/ Déterminer la limite de $\gamma_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 25. III.2.2/ Établir (pour tout entier naturel non nul $n$) une relation entre $\gamma_n$ et $\mu_n$.} 26. III.2.3/ Établir la convergence, pour tout $t$ appartenant à $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ de la série $\sum_{n\geq 1} u_n(t)$. \\ Désormais on note $S(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(t)$ pour tout $t$ appartenant à $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$. 27. III.2.4/ Montrer que la fonction $S$ est continue sur $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$. 28. III.2.5/ Justifier la convergence de la série $\sum_{n\geq 1} \gamma_n$ et l’égalité $\int_0^{\frac{\pi}{2}} S(t)dt = \sum_{n\geq 1} \gamma_n$. 29. III.2.6/ Justifier la convergence de l’intégrale généralisée $\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty} \frac{f(\sin t)}{t} dt$ et l’égalité \\ $\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty} S(t)dt = \int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty} \frac{f(\sin t)}{t} dt$. 30. III.2.7/ Justifier la convergence des intégrales généralisées $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\sin t)}{\sin t}dt$ et $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\sin t)}{t}dt$.} 31. III.2.8/ Exprimer la différence $\int_0^{+\infty} \frac{f(\sin t)}{t}dt – \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(\sin t)}{\sin t}dt$ à l’aide de l’intégrale d’une fonction continue sur le segment $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$. 32. III.3.1/ En utilisant les résultats obtenus en III.1 et III.2 retrouver la valeur de $J_1$ (déjà obtenue en II.2). 33. III.3.2/ Calculer $J_3$. 34. III.3.3/ Plus généralement expliciter $J_{2p+1}$ pour tout entier naturel $p$.}FAQ
Le sujet CCINP PSI 2009 de mathématiques couvre un large spectre de notions de prépa scientifique : études de fonctions (croissance, continuité, dérivabilité), inégalités fonctionnelles, intégrales généralisées et convergence, séries de fonctions, techniques d’intégration par parties, calcul différentiel, séries de Fourier, et applications de l’analyse à la résolution d’intégrales liées aux fonctions trigonométriques. Ces compétences sont incontournables pour réussir les concours d’entrée aux grandes écoles d’ingénieurs.
En PSI, aborder les intégrales généralisées nécessite de maîtriser leur convergence, que ce soit aux bornes finies ou à l’infini. Cela passe souvent par un encadrement précis de l’intégrande, l’application du théorème de convergence dominée, ou la comparaison avec des fonctions de référence. N’oublie pas de bien traiter les cas où l’intégrale dépend de paramètres, comme dans le sujet 2009, et de jongler avec les changements de variables et intégrations par parties pour simplifier l’expression. Pour progresser sur ce type de questions et accéder à des corrigés détaillés, découvre Prépa Booster !
Les séries de Fourier sont un outil central de l’analyse en prépa scientifique. Elles interviennent lorsqu’il s’agit d’exprimer une fonction, souvent périodique, comme somme de fonctions trigonométriques. Dans ce sujet, leur présence permet de relier l’analyse des intégrales à des sommes infinies, facilitant l’étude de certaines propriétés ou la résolution explicite d’intégrales non élémentaires. Savoir manipuler les coefficients de Fourier et exploiter la convergence des séries est une compétence-clé pour les épreuves du concours.
Le changement de variable et l’intégration par parties sont indispensables pour simplifier les intégrales et mettre en évidence des structures cachées. Pour les maîtriser, entraîne-toi à repérer l’objectif de la manipulation (réduire la difficulté, isoler une partie intégrable facilement, créer des annulations). Utilise l’intégration par parties pour abaisser l’ordre de la difficulté (ex : rendre une puissance plus petite) et pense toujours à vérifier la régularité des fonctions manipulées. Prépa Booster te propose des exercices corrigés pour systématiser ces réflexes !
Justifier la continuité ou la dérivabilité d’une fonction définie par une intégrale à paramètre (comme la fonction φ du sujet) demande de bien connaître les critères de régularité : théorèmes de continuité et dérivation sous le signe intégral (conditions de domination, continuité locale de l’intégrande, etc). N’oublie pas de faire attention aux cas limites (valeur nulle du paramètre, comportement à l’infini), et d’écrire clairement chaque justification. Dans Prépa Booster, tu peux accéder au corrigé complet de ce type de questions pour progresser sur ce point clé du programme PSI !
Un sujet comme celui du CCINP 2009 illustre bien l’entrelacement des outils d’analyse : il faut être à l’aise à la fois avec les calculs d’intégrales (et de leurs généralisations), les séries de fonctions, et la manipulation des fonctions (études de variations, limites, dérivées, etc). Mon conseil : travaille des annales variées, analyse chaque erreur pour progresser, et entraîne-toi à rédiger proprement chaque justification. N’oublie pas que le corrigé complet sur Prépa Booster t’aide à comprendre chaque raisonnement étape par étape pour t’améliorer !
Travailler les sujets CCINP PSI précédents, comme celui de 2009, permet de s’imprégner des exigences du concours, de repérer les notions qui reviennent et de s’entraîner sur des questions innovantes ou difficiles. Cela te donne aussi une meilleure gestion du temps et des automatismes de rédaction. Pour aller plus loin, débloque les corrigés et accède à des explications détaillées pour tous les exercices sur Prépa Booster !