Questions du sujet
1. I.1.1/ Expliciter $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ pour $n\in\mathbb{N}$. 2. I.1.2/ Expliciter $a_n^*$ pour $n\in\mathbb{N}$. 3. I.1.3/ La série $\sum_{n\geq 0} a_n$ (resp. $\sum_{n\geq 0} a_n^*$) est –elle convergente ? 4. I.2.1/ Exprimer $a_n^*$ en fonction de $z$ et $n$. 5. I.2.2.1/ On suppose que $|z|<1$. Justifier la convergence de la série $\sum_{n\geq 0} a_n$ et expliciter sa somme $A(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$.} 6. I.2.2.2/ Justifier la convergence de la série $\sum_{n\geq 0} a_n^*$ et expliciter sa somme $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n^*$ en fonction de $A(z)$. 7. I.2.3.1/ On suppose que $|z|\geq1$. Quelle est la nature (convergente ou divergente) de la série $\sum_{n\geq 0} a_n$ ? 8. I.2.3.2/ Quelle est la nature de $\sum_{n\geq 0} a_n^*$ si $z = -2$ ? 9. I.2.3.3/ On suppose que $z=e^{i\theta}$, avec $\theta$ réel tel que $0 < \theta < \pi$. Montrer que la série $\sum_{n\geq 0} a_n^*$ est convergente. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de la somme $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n^*$. 10. II.1.1.1/ Soit $k$ fixé, $k\in\overline{0,n}$. Préciser un équivalent de $\binom{n}{k}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.} 11. II.1.1.2/ En déduire la limite de $\frac{1}{2^n}\binom{n}{k}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 12. II.1.2/ Soient $a$ une suite réelle et $q$ un entier naturel fixé. On considère pour $n>q$ la somme $S_n(a,q)=\sum_{k=0}^q \binom{n}{k} a_k$. Quelle est la limite de $S_n(a,q)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ? 13. II.1.3/ On suppose que $a_n$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ; Montrer que $a_n^*$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 14. II.1.4/ On suppose que $a_n$ tend vers $\ell$ (limite finie) lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Quelle est la limite de $a_n^*$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ? 15. II.1.5/ La convergence de la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est-elle équivalente à la convergence de la suite $(a_n^*)_{n\in\mathbb{N}}$ ?} 16. II.2.1/ Pour $n\in\overline{0,3}$, exprimer $U_n$ comme combinaison linéaire des sommes $S_k$, c’est à dire sous la forme $U_n = \sum_{k=0}^{n} \lambda_{n,k} S_k$. 17. II.2.2.1/ On se propose de déterminer l’expression explicite de $U_n$ comme combinaison linéaire des sommes $S_k$ pour $k\in\overline{0,n}$ : $U_n = \sum_{k=0}^n \lambda_{n,k} S_k$ pour $n\in\mathbb{N}$. À quelle expression des coefficients $\lambda_{n,k}$ (en fonction de $n$ et $k$) peut-on s’attendre compte tenu des résultats obtenus à la question II.2.1 ? 18. II.2.2.2/ Établir la formule $(E)$ par récurrence sur l’entier $n$ (on pourra remarquer que pour tout $k\in\overline{0,n}$ : $S_k = S_{k-1} + a_k$ avec la convention $S_{-1}=0$). 19. II.2.3/ On suppose que la série $\sum_{n\geq0} a_n$ est convergente. Montrer que la série $\sum_{n\geq0} a_n^*$ est convergente et exprimer la somme $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n^*$ en fonction de la somme $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$. 20. II.2.4/ La convergence de la série $\sum_{n\geq0} a_n$ est-elle équivalente à la convergence de la série $\sum_{n\geq0} a_n^*$ ?} 21. III.1.1/ Vérifier que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. 22. III.1.2/ Expliciter $x f(x)$ pour tout $x$ réel. 23. III.1.3/ Expliciter $e^{-x} f(x)$ pour tout $x$ réel. 24. III.2.1/ Montrer que $g$ est définie et de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. 25. III.2.2/ On désigne par $g’$ la dérivée de la fonction $g$ ; exprimer $g – g’$ en fonction de $f$.} 26. III.2.3/ Montrer que pour tout $x$ réel : $g(x) = \int_{0}^{x} e^{x-t} f(t) dt$. 27. III.3.1/ Montrer que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = \int_{0}^{x} e^{x-t} f(t) dt$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$ et expliciter son développement. 28. III.3.2/ Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on note $\gamma_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!} (\frac{1}{k} – \frac{1}{n+1})$. Exprimer $\gamma_n$ en fonction de $n$ et $\sigma_n$. 29. III.4.1.1/ Soit $w_k = \frac{1}{k} – \frac{\ln(k+1)}{k+1}$ pour $k\in\mathbb{N}^*$. Montrer que la série $\sum_{k\geq1} w_k$ est convergente. 30. III.4.1.2/ En déduire que la suite de terme général $\sigma_n – \ln(n)$ admet une limite finie (que l’on ne demande pas de calculer) lorsque $n$ tend vers $+\infty$.} 31. III.4.2/ Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $\tau_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} – \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}$ ; exprimer $\tau_{2n}$ en fonction de $\sigma_{2n}$ et $\sigma_{n}$. 32. III.4.3/ Montrer en utilisant III.4.1 et III.4.2 que la série $\sum_{k\geq1} \frac{1}{k(k+1)}$ est convergente et déterminer sa somme $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)}$. 33. III.5.1/ Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n\geq1} \sigma_n x^n$. 34. III.5.2/ Préciser l’ensemble de définition $\Delta$ de la fonction $\varphi$, et étudier ses variations sur $[0, R[$. 35. III.5.3/ Valeur de $\varphi\left(\frac{1}{2}\right)$. En utilisant les résultats de la partie II et de la question III.4.3 expliciter la valeur de $\varphi\left(\frac{1}{2}\right)$.} 36. III.5.4/ Expliciter $\varphi(x)$ pour $x$ appartenant à $\Delta$ et retrouver la valeur de $\varphi\left( \frac{1}{2}\right)$.}FAQ
La formule du binôme de Newton te permet de développer (a + b)^n et d’écrire le résultat sous forme d’une somme impliquant les coefficients binomiaux. Elle intervient notamment lors de l’étude des suites définies par des combinaisons ou dans l’analyse de séries entières. Au concours CCINP, elle est régulièrement utilisée pour manipuler des sommes, étudier la convergence de séries ou en déduction d’identités remarquables, donc c’est une notion incontournable à maîtriser !
Pour réussir ces questions, sois rigoureux dans l’analyse : commence par identifier la nature de la série (géométrique, série à termes positifs, alternée, etc) puis applique les critères classiques (comparaison, quotient, racine, etc). Entraîne-toi à appliquer ces méthodes sur des suites récurrentes, des suites définies par des sommes ou des séries de fonctions. Les combinaisons de séries et suites sont très fréquentes dans les sujets CCINP PSI, donc il est fondamental de bien saisir leurs liens. Un conseil : reviens souvent sur les corrections détaillées type Prépa Booster pour consolider ces méthodes !
Les séries entières interviennent dès que tu dois développer une fonction autour d’un point, souvent pour linéariser ou étudier finement une fonction compliquée. Leur rayon de convergence t’indique sur quel intervalle la série (et donc l’expression obtenue) a du sens. Attention, beaucoup d’élèves confondent convergence absolue et simple, ou oublient d’étudier le comportement aux bornes. Maîtriser les tests du rayon de convergence devient donc essentiel pour répondre juste et ne pas s’égarer lors des démonstrations ou applications pratiques fréquentes en PSI.
Ces séries mettent en jeu des outils d’analyse combinatoire et d’asymptotique : il faut non seulement manipuler correctement les coefficients binomiaux (et leurs équivalents pour n grand), mais aussi étudier les comportements limites. Le sujet CCINP 2006 PSI en est un exemple typique. Méfie-toi des pièges sur l’ordre des limites ou la manipulation des rapports de termes successifs. Maîtrise bien les formules d’équivalents et n’hésite pas à t’entraîner sur des corrigés pour prendre de l’aisance ! Pour aller plus loin, débloque les corrigés Prépa Booster et profites-en pour voir des exercices d’application progressifs.
Quand un exercice te demande d’exprimer ou d’étudier une fonction définie par une intégrale (par exemple, F(x) = ∫₀ˣ e^{x-t} f(t) dt), pense à maîtriser intégration par parties, dérivation sous le signe intégrale, et échanges d’ordre des sommes et intégrales. Savoir développer f(t) en série entière et permuter la somme avec l’intégrale est aussi une compétence-clé. Ce type de montage est typique en CCINP : révise bien le passage limites/intégrales et appuie-toi sur des corrigés détaillés pour bien t’en imprégner.