Questions du sujet
1. Justifier que l’intégrale définissant (P | Q) est convergente. 2. Montrer que l’application (·|·) : R_n[X] \times R_n[X] \to \mathbb{R} est un produit scalaire. 3. Soit k \in \llbracket 1, n \rrbracket. À l’aide d’une intégration par parties, établir que : \[\int_{0}^{+\infty} t^{k} e^{-t} dt = k \int_{0}^{+\infty} t^{k-1} e^{-t} dt.\] 4. Conclure que (X^k | 1) = k! pour tout entier \(k \in \llbracket 0, n \rrbracket\). 5. Montrer que \(\alpha\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\).} 6. Écrire la matrice de \(\alpha\) dans la base \((1, X, \ldots, X^n)\). 7. En déduire que \(\alpha\) est diagonalisable et que \(Sp(\alpha) = \{-k \mid k \in \llbracket 0, n \rrbracket\}\). 8. Quelle est la dimension de \(\ker(\alpha + k \, Id_{\mathbb{R}_n[X]})\) ? 9. En déduire qu’il existe un unique polynôme \(P_k \in \mathbb{R}_n[X]\), de coefficient dominant égal à 1, vérifiant \(\alpha(P_k) = -kP_k\). 10. Justifier que \(P_k\) est de degré \(k\).} 11. Déterminer \(P_0\) et \(P_1\). Vérifier que \(P_2 = X^2 – 4X + 2\). 12. Montrer que \((\alpha(P) | Q) = – \int_{0}^{+\infty} t P'(t) Q'(t) e^{-t} dt\). 13. En déduire que \((\alpha(P) | Q) = (P | \alpha(Q))\). 14. Montrer que \((P_0, \ldots, P_n)\) est une base orthogonale de \(\mathbb{R}_n[X]\). On pourra utiliser Q9 et Q13. 15. Montrer qu’un n-uplet \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n\) vérifie (*) si et seulement si \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0! \\ 1! \\ \vdots \\ (n-1)! \end{pmatrix} \] } 16. En déduire qu’il existe un unique n-uplet \((\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n\) vérifiant (*). 17. Déterminer un polynôme \(P \in \mathbb{R}_{2n}[X]\) tel que \[ \int_{0}^{+\infty} P(t) e^{-t} dt \neq \sum_{i=1}^{n} \lambda_i P(x_i). \] 18. Justifier que la fonction \(f\) est de classe \(C^2\) et que les fonctions \(f’\) et \(f”\) sont développables en série entière. Exprimer avec la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) les développements en série entière respectifs des fonctions \(f’\) et \(f”\) en précisant leur rayon de convergence. 19. Montrer qu’il existe une suite \((b_n)_{n\geq 2}\) de nombres réels non nuls telle que pour tout \(x \in ]-r, r[\), on a : \[ x^2(1-x) f”(x) – x(1+x) f'(x) + f(x) = a_0 + \sum_{n=2}^{+\infty} b_n (a_n – a_{n-1}) x^n. \] 20. Montrer que \(f\) est solution de (H) sur l’intervalle \(]-r, r[\) si et seulement si \(a_0 = 0\) et \(a_{n+1} = a_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\).} 21. En déduire que si \(f\) est solution de (H) sur \(]-r, r[\), alors \(r \geq 1\) et il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que : \[ \forall x \in ]-1, 1[, \quad f(x) = \frac{\lambda x}{1-x}. \] 22. Réciproquement, montrer que si \(\lambda \in \mathbb{R}\), alors la fonction \[ g : ]-1, 1[ \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto \frac{\lambda x}{1-x} \] est une solution de (H) sur \(]-1, 1[\) développable en série entière. 23. Justifier que \(z\) est de classe \(C^2\) sur l’intervalle \(I\), puis exprimer \(z’\) et \(z”\) avec \(y\), \(y’\) et \(y”\). 24. Montrer que \(y\) est solution de (E) sur \(I\) si et seulement si \(z\) est solution sur \(I\) de l’équation différentielle : \[ x z” + z’ = 2x. \quad (E_1) \] 25. Montrer que si \(z\) est solution de \((E_1)\) sur \(I\), alors il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que : \[ \forall x \in I,\quad z'(x) = \frac{\lambda}{x} + x. \]} 26. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) sur \(I\). 27. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E) sur \(]0, +\infty[\). 28. Calculer les nombres \(p_n\), \(q_n\) et \(r_n\) pour \(n = 0\) et \(n = 1\). 29. Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a la relation \(V_{n+1} = MV_n\). 30. En déduire que \(V_n = M^n V_0\), puis une expression de \(p_n\), \(q_n\) et \(r_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).} 31. Déterminer les limites respectives des suites \((p_n)_{n\in\mathbb{N}}, (q_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((r_n)_{n\in\mathbb{N}}\). Interpréter le résultat. 32. Interpréter la variable aléatoire \(X_1 + \cdots + X_n\) et le nombre \(\mathbb{E}(X_1 + \cdots + X_n)\). 33. Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X_n\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\). 34. En déduire une expression de \(a_n\). 35. Calculer \(P(T_B = 1)\) et \(P(T_B = 2)\).} 36. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Exprimer \(B_n\) en fonction de \(A_n\) et \(C_n\). 37. Établir que \(P(B_3 \cap B_2 \cap B_1) = \frac{1}{4} P(B_2 \cap B_1)\), puis en déduire que \(P(B_3 \mid B_2 \cap B_1) = \frac{1}{4}\). 38. Pour \(k \in \mathbb{N}^*\), calculer \(P(T_B = k)\). Que vaut \(P(T_B = 0)\) ? 39. Justifier que la variable aléatoire \(T_B\) admet une espérance. Quelle est l’espérance de \(T_B\) ?}FAQ
Pour ce sujet, tu dois bien connaître les bases des espaces vectoriels, les propriétés des produits scalaires sur les espaces de polynômes, l’étude des intégrales généralisées, ainsi que les techniques d’intégration par parties. La manipulation des endomorphismes, la diagonalisation de matrices, la résolution d’équations différentielles linéaires (comme les équations de Cauchy), et la probabilité (aspirant aux suites et espérances) sont aussi essentielles. Ces points clés te permettront d’aborder sereinement l’ensemble du sujet.
Pour aborder ce type de question, il est crucial de vérifier en détail les trois propriétés du produit scalaire : bilinéarité, symétrie, et positivité. Sur R_n[X], cela demande de bien manier les intégrales, notamment en présence de fonctions poids comme l’exponentielle décroissante. Pour gagner des points, pense à donner les détails du calcul et à justifier la convergence des intégrales, car c’est souvent attendu au concours.
L’intégration par parties est une technique centrale du programme CPGE car elle permet de relier de nombreuses notions : calcul d’intégrales, analyse de suites ou de séries, produits scalaires, et parfois même des propriétés de polynômes orthogonaux. Dans ce sujet, elle t’aide à montrer des relations de récurrence importantes pour le calcul d’intégrales ou pour caractériser des familles de polynômes comme les familles de base orthogonales.
Dire qu’un endomorphisme est diagonalisable signifie que tu peux trouver une base dans laquelle sa matrice associée est diagonale, c’est-à-dire que l’action de l’endomorphisme se résume à multiplier chaque vecteur de base par un certain nombre, appelé valeur propre. Pour les polynômes, cela revient souvent à trouver une base de polynômes propres, qui joue un rôle essentiel pour les méthodes de résolution d’équations différentielles ou les théorèmes de projection dans les espaces de Hilbert.
Déterminer une base orthogonale dans un espace comme R_n[X] te sert à simplifier énormément les calculs de projections, d’orthogonalité, et l’étude des applications linéaires comme les endomorphismes. En particulier, cela facilite la résolution d’équations, le calcul de coefficients dans des développements de fonctions (type séries de Fourier ou séries orthogonales), et, dans certains cas, la diagonalisation de matrices.
Au concours, quand tu vois une équation différentielle linéaire, commence toujours par vérifier le type (à coefficients constants ou non, homogène ou non). Applique la méthode classique en cherchant d’abord la solution générale de l’équation homogène, puis une solution particulière si besoin. Pense à regarder les changements de variable judicieux qu’on peut te proposer, comme ceux du sujet, qui simplifient souvent drastiquement le problème. Enfin, sois rigoureux sur les domaines de définition et la régularité des solutions.
Savoir jongler avec les probabilités est indispensable : non seulement pour la partie dédiée à la fin du sujet (suites de variables aléatoires, calcul d’espérance…), mais parce que la pensée probabiliste (manipulation d’événements, conditionnements, lois discrètes) affine ta rigueur, ton raisonnement, et ta capacité à interpréter les résultats de modélisation. Pour les concours comme le CCINP, cette compétence peut te faire gagner les points qui font la différence.
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