Questions du sujet
1. I.1. Montrer que $a = -(z_1 + z_2)$ et $b = z_1 z_2$. 2. I.2.a. Vérifier que si $P$ est stable, alors $a > 0$ et $b > 0$. 3. I.2.b. Montrer réciproquement que si $a > 0$ et $b > 0$, alors $P$ est stable. 4. I.3. Montrer que $P$ est stable si et seulement si $a > 0$ et $b > 0$. 5. I.4.a. Justifier que $z_2 = \overline{z_1}$.} 6. I.4.b. Montrer que $P$ est stable si et seulement si $a > 0$ et $b > 0$. 7. I.5.a. Exprimer $\chi_A$ en fonction de $\Tr(A)$ et $\det(A)$. 8. I.5.b. Etablir que $A$ est stable si et seulement si $\Tr(A) < 0$ et $(-1)^n\,\det(A) > 0$. 9. I.6.a. Trouver les racines complexes de $Q$. 10. I.6.b. Vérifier que $\Tr(B) < 0$ et que $(-1)^n\det(B) > 0$.} 11. I.6.c. Montrer que ni $Q$ ni $B$ ne sont stables. 12. II.1.a. Rappeler la définition d’une norme sur $K^n$. 13. II.1.b. Vérifier que l’application $x \mapsto \|Ax\|$ est continue sur $K^n$. 14. II.1.c. Montrer l’existence de $x_0 \in \mathcal{B}$ tel que : $\forall x \in \mathcal{B}$, $\|Ax\| \leq \|Ax_0\|$. Cela justifie donc la définition de $\|A\| = \sup_{x \in \mathcal{B}}\|Ax\|$ et on a alors $\|A\| = \|Ax_0\|$. 15. II.1.d. Montrer que $\|I_n\| = 1$.} 16. II.1.e. Etablir que pour tout $x \in K^n$ et $A \in M_n(K)$, on a : $\|Ax\| \leq \|A\|\, \|x\|$. 17. II.1.f. Montrer que, pour tout $A \in M_n(K)$ et $B \in M_n(K)$, on a : \[ \|A-B\| \leq \|A\| + \|B\| \quad \text{et} \quad \|AB\| \leq \|A\| \cdot \|B\|. \] 18. II.2. Montrer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$, on a : $\Re(\lambda) = \lim_{u \to 0^+}\frac{|1 + u\lambda| – 1}{u}$. 19. II.3.a. Montrer que pour tout $u$ et $v$ éléments de $\mathbb{R}^*_+$ : \[ \mu(A,u) – \mu(A,v) = u^{-1}\|I_n + uA\| – v^{-1}\|I_n + vA\| . \] 20. II.3.b. En déduire que si $0 < u < v$, alors : $\mu(A,u) \leq \mu(A,v) \leq 0$.} 21. II.3.c. Vérifier que pour tout $u > 0$, on a : $\|A\| \leq \mu(A,u) \leq \|A\|$. 22. II.3.d. En déduire l’existence du réel $\mu(A) = \lim_{u \to 0^+} \mu(A,u)$. 23. II.4.a. Montrer qu’il existe $x \in \mathbb{C}^n$ tel que $Ax = \lambda x$, $\|x\| = 1$, et puis que, pour tout réel $u$ strictement positif, on a : $\|(I_n + uA)x\| = |1 + u\lambda|$. 24. II.4.b. En déduire que : $\Re(\lambda) \leq \mu(A)$. 25. II.4.c. Donner une condition suffisante sur $\mu(A)$ pour que $A$ soit stable.} 26. III.1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ et pour tout $u > 0$ : \[ \|(I_n + uA)x\|_2^2 = {}^t X X + u\, {}^t X \left({}^t A + A\right)X + u^2\, {}^t X {}^t AA X. \] 27. III.2. Montrer qu’il existe $M \in O_n(\mathbb{R})$ et des réels $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ tels que $\alpha_1 \geq \cdots \geq \alpha_n$ et \[ {}^t A + A = M \begin{pmatrix} \alpha_1 & (0) & \\ (0) & \ddots & \\ & & \alpha_n \end{pmatrix} {}^t M. \] 28. III.3.a. Montrer que $\sum_{i=1}^n y_i^2 = 1$. 29. III.3.b. Vérifier que $\|(I_n + uA)x\|_2^2 = 1 + u \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i^2 + u^2\, {}^t X {}^t AA X$. 30. III.3.c. Montrer l’existence de deux réels $\gamma$ et $\delta$ tels que, pour tout $X \in M_{n,1}(\mathbb{R})$ vérifiant ${}^t X X = 1$, on ait : $\gamma \leq {}^t X {}^t AA X \leq \delta$.} 31. III.3.d. Montrer que pour $\gamma$ et $\delta$ choisis comme en III.3.c, on a, pour tout $u > 0$ : \[ \sqrt{1 + \alpha_1 u + \gamma u^2} \leq \|(I_n + uA)\|_2 \leq \sqrt{1 + \alpha_1 u + \delta u^2}. \] 32. III.3.e. En déduire que $\mu_2(A) = \frac{\alpha_1}{2} = \max\left\{ \lambda \in \mathbb{R}\mid \lambda \in Sp_{\mathbb{R}}\left(\frac{{}^t A+A}{2}\right) \right\}$. 33. III.4.a. Montrer que, pour tout $A \in M_n(\mathbb{R})$, $\|A\|_H = \|HAH^{-1}\|_2$. 34. III.4.b. En déduire que, pour tout $A \in M_n(\mathbb{R})$, on a : $\mu_H(A) = \mu_2(HAH^{-1})$. 35. IV.1. Montrer que : $a = z_1 + z_2 + z_3$, $b = z_1z_2 + z_2z_3 + z_1z_3$, $c = z_1z_2z_3$ et \[ ab-c = z_1^2 z_2 + z_1^2 z_3 + z_2^2 z_1 + z_2^2 z_3 + z_3^2 z_1 + z_3^2 z_2 – 2z_1 z_2 z_3. \] } 36. IV.2. Montrer que l’une des racines de $P$ est un nombre réel. 37. IV.3.a. Montrer que $\beta_3 = 0$. 38. IV.3.b. Montrer que si $P$ est stable, alors $P$ vérifie la propriété $\mathcal{H}$. 39. IV.4.a. Justifier que $\alpha_3 = \alpha_2$ et que $\beta_3 = -\beta_2$. 40. IV.4.b. Vérifier que : $a = \alpha_1 + 2\alpha_2$, $b = 2\alpha_1 \alpha_2 + \alpha_2^2 + \beta_2^2$, $c = \alpha_1(\alpha_2^2 + \beta_2^2)$ et $ab-c = -2\alpha_2 (\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \beta_2^2) – 4 \alpha_1 \alpha_2^2$.} 41. IV.4.c. Montrer que si $P$ est stable, alors $P$ vérifie la propriété $\mathcal{H}$. 42. IV.5. Montrer que si $P$ vérifie la propriété $\mathcal{H}$, alors $\Re(z_1)$, $\Re(z_2)$ et $\Re(z_3)$ sont non nuls. 43. IV.6.a. Montrer que $\chi_A(X) = -P(X)$. 44. IV.6.b. Calculer explicitement $B’$ et vérifier que : \[ \frac{B’ + B}{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -a \end{pmatrix}. \] 45. IV.6.c. En déduire que $\mu_H(A’) = 0$. 46. IV.6.d. En conclure que $P$ est stable.} 47. V.1. Vérifier que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, $-\chi_C(\lambda) = \lambda^3 + 2\lambda^2 + 3\lambda + 4$. 48. V.2. En déduire que $C$ est stable. 49. V.3. Montrer l’existence d’une matrice $U \in M_3(\mathbb{C})$ inversible et de trois réels $\alpha_1 < 0$, $\alpha_2 < 0$ et $\beta_2 \neq 0$, tels que : $C = U D U^{-1}$ avec \[ D = \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & 0\\ 0 & \alpha_2 + i\beta_2 & 0\\ 0 & 0 & \alpha_2 - i\beta_2 \end{pmatrix}. \] 50. V.4.a. Montrer que $X$ est solution de $(S)$ si et seulement si $Y$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ et pour tout $t \in \mathbb{R}_+$, on a : $Y'(t) = D Y(t)$. 51. V.4.b. En déduire l’expression de $Y(t)$ en fonction de $t \in \mathbb{R}_+$ dans ce cas.} 52. V.4.c. Montrer qu’il existe $X_1, X_2$ et $X_3$ dans $M_{3,1}(\mathbb{R})$ tels que, pour tout $t \in \mathbb{R}_+$ : \[ X(t) = e^{\alpha_1 t} X_1 + e^{\alpha_2 t} \cos(\beta_2 t) X_2 + e^{\alpha_2 t} \sin(\beta_2 t) X_3. \] On ne cherchera pas à trouver explicitement les matrices $X_1, X_2$ et $X_3$. 53. V.4.d. Vérifier que le système différentiel $(S)$ est stable.}FAQ
Le sujet de mathématiques PC du concours CCINP 2014 couvre principalement l’étude de la stabilité des polynômes, l’analyse spectrale des matrices, les normes vectorielles et matricielles, ainsi que l’application à l’étude des systèmes différentiels linéaires. Tu travailleras sur des notions de polynômes à coefficients réels, d’endomorphismes, de valeurs propres, d’inégalités matricielles et de critères de stabilité en lien avec ces objets mathématiques.
Dans le cadre du concours et, plus généralement en mathématiques, un polynôme est dit stable si toutes ses racines ont une partie réelle strictement négative. Cela correspond à un enjeu fondamental dans l’analyse des systèmes dynamiques, en lien direct avec les systèmes différentiels linéaires étudiés dans l’épreuve. Savoir reconnaître et démontrer la stabilité d’un polynôme ou d’une matrice est indispensable pour l’oral comme pour l’écrit !
L’un des critères majeurs pour la stabilité d’une matrice (ou d’un endomorphisme) consiste à s’assurer que le spectre est strictement dans le demi-plan gauche complexe, autrement dit que toutes les valeurs propres ont une partie réelle négative. L’épreuve te fait manipuler des conditions sur le déterminant, la trace, ou encore sur la structure du polynôme caractéristique pour justifier la stabilité. Ces critères sont essentiels pour tout élève de prépa voulant briller aux oraux comme à l’écrit.
Le sujet t’incite à bien manipuler la notion de norme subordonnée et ses propriétés, notamment dans l’encadrement spectral et la continuité de l’application $x \mapsto ||Ax||$. On utilise aussi la relation entre la norme et le spectre d’une matrice pour formuler des majorations ou minoration importantes en analyse matricielle. Maîtriser ces outils est stratégique pour réussir les exercices du CCINP.
Le polynôme caractéristique permet d’exprimer facilement les valeurs propres d’une matrice et de relier leurs propriétés (par exemple via la trace et le déterminant) à la stabilité d’un système linéaire. Dans ce sujet, tu es amené à manipuler ces expressions pour démontrer des résultats clés : existence de valeurs propres réelles, propriétés des coefficients, et conditions de stabilité. Savoir manier le polynôme caractéristique est absolument incontournable en mathématiques de prépa.
L’analyse spectrale te permet de décrire complètement le comportement à long terme des systèmes linéaires, en particulier lorsqu’on aborde la stabilité ou la résolution de systèmes différentiels. La diagonalisation joue alors un rôle crucial, et ce sujet va jusqu’à détailler la résolution de $X'(t) = AX(t)$. Il est fondamental de maîtriser la réduction des matrices, les valeurs propres, et le passage à la base propre ou à la forme de Jordan pour certaines parties du programme.
Pour t’entraîner efficacement, pense à refaire des exercices sur la manipulation des polynômes, l’étude des racines complexes, la réduction des matrices et la maîtrise des normes. N’hésite pas à t’entraîner aussi sur des résolutions de systèmes différentiels linéaires. Si tu veux accéder aux corrigés détaillés de chaque question, à des exercices similaires corrigés ou à un dashboard de révision 100% personnalisé, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Tu dois comprendre que la continuité et la différentiabilité (classe $\mathcal{C}^1$) jouent un rôle aussi bien dans l’analyse matricielle (norme subordonnée à la norme vectorielle) que dans les résolutions de systèmes différentiels. Montrer la continuité d’une application vectorielle, c’est garantir une bonne maîtrise des arguments d’approximation ou d’existence du maximum, fondamentaux en CPGE scientifique.
Oui, ce sujet est très typique : il mêle l’algèbre linéaire, les polynômes, l’analyse matricielle et les applications aux EDO linéaires. On y retrouve la diversité des techniques et la rigueur exigée au concours. Prendre le temps d’analyser ce sujet corrigé sur Prépa Booster, c’est te donner toutes les chances de réussir le concours, mais aussi de renforcer tes bases pour les oraux.