Questions du sujet
1. I.1. Montrer que $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. 2. I.2. 3. I.2.a. Montrer que $f_0(a, b) = b^2 – b + \frac{1}{2}(a\alpha – b + 1)^2$. 4. I.2.b. Vérifier que $f_0(a, b) = (a\alpha – b + 1)^2 + 2(b – 1)^2 + \frac{1}{2}$. 5. I.2.c. En déduire que la fonction $f_0$ admet un minimum sur $\mathbb{R}^2$ et que ce minimum est atteint en un unique couple de réels $(a, b) = (0, \frac{1}{2})$ correspondant à la droite, notée $D_0$, d’équation dans $\mathbb{R}$ : $y = \frac{1}{2}$.} 6. I.3. 7. I.3.a. Déterminer l’expression explicite de $f_1(a, b)$ en fonction de $a$, $b$ et $\alpha$. 8. I.3.b. Montrer que $f_1(a, b) = \frac{3}{4}(a – \frac{2b + \alpha}{3})^2 + \frac{2}{3}a^2 + \frac{2}{3}\alpha^2$. 9. I.3.c. En déduire que la fonction $f_1$ admet un minimum sur $\mathbb{R}^2$ et que ce minimum est atteint en un unique couple de réels, noté $(a_1, b_1)$, à déterminer. On note alors $D_1$ la droite d’équation dans $\mathbb{R}$ : $x = a_1y + b_1$. 10. I.4. Montrer que $D_0$ et $D_1$ sont orthogonales et se coupent en un unique point $M \in P$ qui est l’isobarycentre de $\{A, B, C\}$.} 11. II.1. Donner la définition de $F^{\perp}$. Énoncer (sans démonstration) une propriété vérifiée par $F^{\perp}$ et $F$ valable en général. Dans le cas où $E$ est de dimension finie, que peut-on dire de plus ? Pour $x \in E$, on note $p_F(x)$ la projection orthogonale de $x$ sur $F$. 12. II.2. Démontrer que $\inf_{z \in F} \|x-z\|$ est bien défini et que cette borne inférieure est atteinte en un unique élément $z$ de $F$ défini par $z = p_F(x)$. Cette borne inférieure est notée $d(x,F)$. On a donc $d(x,F)=\|x-p_F(x)\|$. 13. II.3. 14. II.3.a. Montrer que si $(x, y) \mapsto \langle x, y\rangle_F$ est un produit subordonné à $F$, alors :\\ – $\forall x, y \in E^2,\ \langle x, y\rangle_F = \langle x-p_F(x), y-p_F(y)\rangle$;\\ – $\forall x \in E,\ \langle x, x\rangle_F = d(x,F)^2$;\\ – $\forall x \in E,\ \langle x, x\rangle_F \geq 0$;\\ – $\forall x \in E,\ \langle x, x\rangle_F = 0 \Leftrightarrow x \in F$. 15. II.3.b. Vérifier qu’il existe un unique produit subordonné à $F$.} 16. II.4. Montrer que pour tout $x, y \in E^2$, $\langle x, y \rangle_F \leq \|x\|_F \|y\|_F$; à quelle condition sur $x$ et $y$ peut-on dire que : $\langle x, y \rangle_F = \|x\|_F \|y\|_F$ ? 17. II.5. 18. II.5.a. Montrer l’existence d’un élément de $E$, noté $u$, tel que $\|u\|=1$. On note alors $D=\text{Vect}(u)$ la droite vectorielle engendrée par $u$ et $p_D$ la projection orthogonale sur $D$. 19. II.5.b. Vérifier que pour tout $x \in E$, $p_D(x)=\langle x, u\rangle u$. Pour tout élément $x\in E$, on pose $m_x = \langle x, u\rangle$, $\sigma_x = \|x – D\|$.\\ Pour tout couple $(x, y) \in E^2$, on pose $\operatorname{cov}(x, y) = \langle x,y\rangle_D$. 20. II.5.c. Montrer que $\sigma_x^2 = \langle x, x\rangle – m_x^2$ et que $\operatorname{cov}(x, y) = \langle x, y \rangle – m_x m_y$.} 21. II.6. Montrer que $\sigma_x$ et $\sigma_y$ sont deux réels strictement positifs.\\ On pose alors $\tilde{x} = \dfrac{x-m_x u}{\sigma_x}$, $\tilde{y} = \dfrac{y-m_y u}{\sigma_y}$ et $\rho = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x \sigma_y}$. 22. II.7. 23. II.7.a. Montrer que $m_{\tilde{x}} = 0$, que $\sigma_{\tilde{x}} = 1$ et que $\rho \in ]-1,1[$. 24. II.7.b. Vérifier alors que $(u, \tilde{x})$ est une base orthonormale de $F = \text{Vect}(u, x)$. 25. II.7.c. Montrer que $\inf_{a, b\in \mathbb{R}^2} \|y – (a x + b u)\|$ est bien défini et vaut $d(y,F)$. 26. II.7.d. Établir que $\inf_{a, b\in \mathbb{R}^2} \|y – (a x + b u)\| = \|y – m_y u – \rho \sigma_y \tilde{x}\|$.} 27. II.7.e. Vérifier que $\inf_{a, b\in \mathbb{R}^2} \|y – (a x + b u)\| = \sigma_y \sqrt{1 – \rho^2}$. 28. II.7.f. Déterminer, en fonction de $x$, $y$ et $u$, l’unique couple de réels $(a_0, b_0)$ tel que :$$\inf_{a, b\in \mathbb{R}^2} \|y – (a x + b u)\| = \|y – a_0 x – b_0 u\|.$$\\ Dans le plan $P$, on définit $D_0$ comme étant la droite dont l’équation dans $\mathbb{R}$ est : $y = a_0 x + b_0$. 29. II.8. Montrer que $D_0$ a pour équation dans $\mathbb{R}$ : $y = m_y + \dfrac{\sigma_y}{\sigma_x} \rho (x-m_x)$. 30. II.9. Montrer de même qu’il existe un unique couple de réels $(a_1, b_1)$ tel que : $$\inf_{a, b \in \mathbb{R}^2} \|x – (a y + b u)\| = \|x – a_1 y – b_1 u \|.$$\\ Dans le plan $P$, on définit $D_1$ comme étant la droite dont l’équation dans $\mathbb{R}$ est : $x = a_1 y + b_1$. 31. II.10. Montrer que $D_1$ a pour équation dans $\mathbb{R}$ : $x = m_x + \dfrac{\sigma_x}{\sigma_y} \rho (y-m_y)$ avec le même réel $\rho$ défini précédemment.} 32. II.11. Vérifier que $D_0$ et $D_1$ se coupent en un unique point $M \in P$ de coordonnées dans $\mathbb{R}$ : $(m_x, m_y)$. 33. II.12. Montrer que les droites $D_0$ et $D_1$ sont orthogonales si et seulement si $\langle x, y\rangle = m_x m_y$. 34. III.1. Vérifier que pour tout $x, y \in E_n^2,\ \langle x, y\rangle = X^T S Y$ si $X = M_B(x)$, $Y = M_B(y)$ et $S = (\langle e_i, e_j\rangle)_{i,j=1,…,n}$. On dit alors que $S$ est associée à $B$. 35. III.2. 36. III.2.a. Vérifier que si $S$ est associée à $B$, alors $S$ est une matrice carrée symétrique réelle d’ordre $n$ et que le spectre de $S$ dans $\mathbb{C}$ est inclus dans $\mathbb{R}$.} 37. III.2.b. À quelle condition sur $B$ la matrice $S$ associée à $B$ est-elle diagonale ? 38. III.3. On considère deux matrices $A$ et $B$ carrées d’ordre $n$ telles que pour tout $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ et $Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, $X^TAY = X^TBY$. Montrer que $A = B$. 39. Notons $\mathcal{B} = (e_1, …, e_n)$ une base de $E_n$ et $P$ la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}’$. 40. III.4. 41. III.4.a. Pour $x \in E_n$, on note $X = M_B(x)$ et $X’ = M_{B’}(x)$. Donner la relation entre $X$, $X’$ et $P$.} 42. III.4.b. On note $S = (\langle e_i, e_j\rangle)_{i,j=1,…,n}$. Pour $x, y \in E_n^2$, $X = M_B(x)$ et $Y = M_B(y)$, donner l’expression de $\langle x, y\rangle$ en fonction de $X’$, $Y’$ et $S’$. En déduire que $S’ = P^TSP$. 43. III.4.c. Montrer qu’il existe une base $\mathcal{B}$ de $E_n$ telle que, pour tout $x, y \in E_n^2$, $\langle x, y\rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ si $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i$ et $y = \sum_{i=1}^n y_i e_i$. 44. III.4.d. À quelle condition sur $\mathcal{B}$ la matrice de passage $P$ de $\mathcal{B}$ à la base précédente $\mathcal{B}$ est-elle une matrice orthogonale ? 45. III.5. Étant donné une matrice $M_1 \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonale avec des réels $d_1, …, d_n$ strictement positifs sur la diagonale, $M_1$ est-elle la matrice associée à une base de $E_n$ ? 46. III.6. Soit $M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ une base orthonormale de $E_2$ et $f_2$ l’endomorphisme de $E_2$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est $M_2$.} 47. III.6.a. Déterminer le spectre de $f_2$ et une base orthonormale de chaque sous-espace propre de $f_2$. 48. III.6.b. $M_2$ est-elle la matrice associée à une base de $E_2$ ? 49. III.7. Soit $M_3 = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ et $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ une base orthonormale de $E_3$. On note $f_3$ l’endomorphisme de $E_3$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est $M_3$. 50. III.7.a. Déterminer le spectre de $f_3$ et une base orthonormale de chaque sous-espace propre de $f_3$. 51. III.7.b. $M_3$ est-elle la matrice associée à une base de $E_3$ ?} 52. III.8. $M_4=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ est-elle la matrice associée à une base de $E_4$ ? 53. On dit qu’une famille $\mathcal{B}= (e_1,…,e_n)$ d’éléments de $E_n$ est adaptée si les conditions suivantes sont remplies :\\ pour tout $i,j\in \{1,…,n\}^2,\ e_i\cdot e_j=0$ si $i\neq j$ ;\\ pour tout $i\in \{1,…,n\},\ e_i\cdot e_i = \frac{1}{n}$. 54. III.9. 55. III.9.a. Montrer qu’une famille adaptée est une base de $E_n$. 56. III.9.b. Montrer l’existence d’une base adaptée.} 57. III.9.c. En admet-il une unique base adaptée ? 58. III.9.d. On suppose que $\mathcal{B}$ est une base adaptée. Pour $x, y \in E_n^2$, déterminer l’expression de $\langle x, y\rangle$ en fonction des coordonnées de $x$ et de $y$ dans la base $\mathcal{B}$. 59. III.9.e. Calculer alors la norme du vecteur $\sum_{i=1}^n e_i$. 60. PARTIE IV : DROITES DES MOINDRES CARRES DANS LE CAS GENERAL\\ Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 3.\\ On considère $A_1, …, A_n$, $n$ points distincts du plan $P$ qui ne sont pas alignés.\\ On note $(x_1, y_1), …, (x_n, y_n)$ leurs coordonnées respectives dans $\mathbb{R}$.\\ On définit deux applications $f_0$ et $f_1$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ en posant : pour tout $(a, b)\in \mathbb{R}^2$, 61. IV.1. Donner un exemple d’espace préhilbertien réel de dimension infinie, puis un exemple d’espace euclidien de dimension $n$ (dans les deux cas, on donnera l’expression du produit scalaire).} 62. On considère dans toute la suite du problème un espace euclidien $E_n$ de dimension $n$, dont le produit scalaire et la norme associée sont notés respectivement $\langle \cdot,\cdot\rangle$ et $\|\cdot\|$. 63. IV.2. Justifier l’existence d’une base $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_n)$ de $E_n$ telle que :\\ $\forall (z,t) \in E_n^2,\ \langle z, t\rangle = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n z_it_i$ si $z = \sum_{i=1}^n z_i e_i$ et $t = \sum_{i=1}^n t_i e_i$.\\ On pose $u = \sum_{i=1}^n e_i$, si bien que $\|u\| = 1$.\\ On définit alors, à partir des points $A_1, …, A_n$, deux éléments $x$ et $y$ dans $E_n$ en posant :\\ $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i$ et $y = \sum_{i=1}^n y_i e_i$. 64. IV.3. Montrer que $(u,x,y)$ est une famille libre de $E_n$. 65. IV.4. Montrer que pour tout $(a, b)\in \mathbb{R}^2$, $f_0(a, b) = \|y – ax – bu\|^2$ et $f_1(a, b) = \|x – ay – bu\|^2$. 66. IV.5.} 67. IV.5.a. En déduire que $f_0$ admet un minimum sur $\mathbb{R}^2$ qui est atteint en un unique couple de réels, noté $(a_0, b_0)$, et qu’il en est de même de $f_1$ avec un unique couple de réels noté $(a_1, b_1)$.\\ Dans le plan $P$, on définit alors les droites $D_0$ et $D_1$ d’équation dans $\mathbb{R}$ : $y = a_0 x + b_0$ et $x = a_1 y + b_1$. On les appelle les droites des moindres carrés associées à $A_1,\ldots,A_n$. 68. IV.5.b. Montrer que les droites $D_0$ et $D_1$ se coupent en un unique point $M \in P$ qui est l’isobarycentre de $\{A_1, …, A_n\}$. 69. IV.5.c. À quelle condition sur les $x_1, …, x_n, y_1, …, y_n$, les droites $D_0$ et $D_1$ sont-elles orthogonales ? Donner dans ce cas les équations dans $\mathbb{R}$ de $D_0$ et $D_1$. 70. IV.5.d. Donner un exemple de quatre points distincts et non alignés $A_1, …, A_4$ de $P$ tels que les droites des moindres carrés $D_0$ et $D_1$ associées à $A_1, …, A_4$ soient orthogonales et donner dans ce cas les équations dans $\mathbb{R}$ de $D_0$ et $D_1$.}FAQ
La méthode des moindres carrés consiste à déterminer la droite (ou plus généralement l’objet mathématique) qui minimise la somme des carrés des distances entre des points donnés et cette droite. En CPGE PC au CCINP, cette technique revient souvent car elle est au croisement de l’algèbre linéaire, des espaces euclidiens, et de l’optimisation. Savoir l’appliquer, c’est l’assurance de valoriser ta copie dans toutes les questions qui touchent à la géométrie euclidienne ou à la modélisation de données.
Un espace euclidien est un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire définissant une norme, parfaitement adapté à la géométrie dans des dimensions finies (comme E₂, E₃, etc.). Un espace préhilbertien est la version plus générale, qui inclut les dimensions infinies (par exemple, l’espace des fonctions continues sur [0,1] avec le produit scalaire usuel). Au CCINP, tu dois maîtriser les propriétés de base, notamment l’orthogonalité, la projection, et la distinction entre dimension finie et infinie. Débloque les corrigés pour des démonstrations claires et des exercices corrigés sur ce point-clé.
Dans tout espace euclidien de dimension finie, pour tout sous-espace F et tout vecteur x, il existe un unique vecteur p_F(x) dans F tel que la distance de x à F soit minimale. Ce point s’appelle la projection orthogonale. La preuve s’appuie sur l’existence d’une base orthonormale de F, mais aussi sur le théorème fondamental liant orthogonalité et minimisation des distances. Cette propriété est fondamentale pour beaucoup de questions d’épreuves type CCINP, notamment sur le calcul d’une droite des moindres carrés.
Pour passer d’une base à une autre dans un espace vectoriel, il te faut manipuler la matrice de passage. En CPGE, beaucoup de questions connectent ce changement de base au produit scalaire : la matrice associée (ou matrice du produit scalaire) se transforme via une congruence par la matrice de passage. Il est indispensable de savoir manipuler S’ = PᵗSP, cette formule étant incontournable aussi bien pour les calculs concrets que pour démontrer des propriétés théoriques. C’est un classique à maîtriser pour tous les candidats PC au CCINP !
La covariance entre deux vecteurs x et y (cov(x, y)) mesure leur dépendance linéaire : c’est le produit scalaire corrigé du barycentre, c’est-à-dire ⟨x, y⟩ – mₓm_y. Le coefficient de corrélation est obtenu en normalisant la covariance, soit : ρ = cov(x, y)/(σₓσ_y), où σₓ et σ_y sont les écarts-types. Au concours, tu peux être amené à interpréter ρ (il est compris entre -1 et 1), ou même à le relier à l’angle entre les vecteurs dans l’espace muni du produit scalaire induit. N’hésite pas à t’entraîner sur ce thème, c’est un favori des épreuves CCINP maths PC.
Non, en général, ces deux droites ne sont pas orthogonales ! Elles le sont seulement dans un cas particulier, qui intervient lorsque le produit scalaire entre x et y est égal au produit de leurs moyennes (soit ⟨x,y⟩ = mₓm_y). Cette propriété fait régulièrement l’objet de questions piège au concours CCINP. Savoir le prouver et donner un exemple est une compétence très appréciée des correcteurs.
Maitriser les bases orthonormales, c’est disposer de la meilleure arme pour passer du calcul pur à l’interprétation géométrique. Dans beaucoup de problèmes CCINP (dont celui de 2011), on te demande soit de reconnaître des bases adaptées, soit de les construire, ou encore de calculer des matrices associées. Cela simplifie considérablement les calculs de produits scalaires et de normes, en rendant les matrices associées diagonales ou simples à traiter. Pour t’entraîner sur ces problématiques et voir la méthodologie étape par étape, débloque les corrigés sur Prépa Booster – c’est un must pour réviser efficacement.
Très souvent, l’épreuve propose d’étudier une géométrie vectorielle (droites, plans, distances) à l’aide de matrices : passage d’une base à l’autre, étude du spectre d’une matrice symétrique réelle (autrement dit, les valeurs propres !), vérification qu’une matrice peut être celle d’un produit scalaire, ou encore transformation d’une matrice sous une base orthonormale. Rien de tel pour mêler rigueur de calcul, intuition géométrique et écriture structurée, comme attendent les correcteurs.