Questions du sujet
1. Montrer que f est diagonalisable. 2. Déterminer une base $(v_1, v_2, v_3)$ de $\mathbb{R}^3$ formée de vecteurs propres de $f$ et donner la matrice $D$ de $f$ dans cette nouvelle base. 3. Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique à la base $(v_1, v_2, v_3)$. Soit un entier $m>1$. Sans calculer l’inverse de $P$, exprimer $A^m$ en fonction de $D$, $P$ et $P^{-1}$. 4. Calculer $P^{-1}$, puis déterminer la matrice de $f^m$ dans la base canonique. 5. Déterminer toutes les matrices de $M_3(\mathbb{R})$ qui commutent avec la matrice $D$ trouvée à la question 2).} 6. Montrer que si $H\in M_3(\mathbb{R})$ vérifie $H^2 = D$ alors $H$ et $D$ commutent. 7. Déduire de ce qui précède toutes les matrices $H$ de $M_3(\mathbb{R})$ vérifiant $H^2 = D$, puis déterminer tous les endomorphismes $h$ de $\mathbb{R}^3$ vérifiant $h^2 = f$ en donnant leur matrice dans la base canonique. 8. Calculer $J^m$ pour tout entier $m>1$. 9. En déduire que pour tout $m\in\mathbb{N}^*$, $f^m = \text{id} + \frac{1}{3}(4^m – 1)j$. Cette relation est-elle encore valable pour $m = 0$ ? 10. Montrer que $f$ admet deux valeurs propres distinctes $\lambda$ et $\mu$ telles que $\lambda < \mu$.} 11. Montrer qu’il existe un unique couple $(p, q)$ d’endomorphismes de $\mathbb{R}^3$ tel que pour tout entier $m > 0$, $f^m = \lambda^m p + \mu^m q$ et montrer que ces endomorphismes $p$ et $q$ sont linéairement indépendants. 12. Après avoir calculé $p^2$, $q^2$, $p\circ q$ et $q\circ p$, trouver tous les endomorphismes $h$, combinaisons linéaires de $p$ et $q$ qui vérifient $h^2 = f$. 13. Montrer que $f$ est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres de $f$. Écrire la matrice $D$ de $f$, puis la matrice de $p$ et de $q$ dans cette nouvelle base. 14. Déterminer une matrice $K$ de $M_2(\mathbb{R})$ non diagonale telle que $K^2=I_2$, puis une matrice $Y$ de $M_3(\mathbb{R})$ non diagonale telle que $Y^2=D$. 15. En déduire qu’il existe un endomorphisme $h$ de $\mathbb{R}^3$ vérifiant $h^2 = f$ qui n’est pas combinaison linéaire de $p$ et $q$.} 16. Montrer que tous les endomorphismes $h$ de $\mathbb{R}^3$ vérifiant $h^2=f$ sont diagonalisables. 17. Calculer $(f – \lambda\text{id})\circ(f – \mu\text{id})$. En déduire que $f$ est diagonalisable. 18. Montrer que $\lambda$ et $\mu$ sont valeurs propres de $f$ et qu’il n’y en a pas d’autres. 19. Déduire de la relation trouvée dans la question 1) que $p\circ q = q\circ p = 0$ puis montrer que $p^2 = p$ et $q^2 = q$. 20. On suppose jusqu’à la fin de cette partie que $\lambda\mu \ne 0$. Montrer que $f$ est un isomorphisme et écrire $f^{-1}$ comme combinaison linéaire de $p$ et $q$.} 21. Montrer que pour tout $m\in\mathbb{Z}$: $f^m = \lambda^m p + \mu^m q$. 22. Soit $F$ le sous-espace de $L(E)$ engendré par $p$ et $q$. Déterminer la dimension de $F$. 23. On suppose dans la suite de cette partie que $\lambda$ et $\mu$ sont strictement positifs. Déterminer $R(f)\cap F$. 24. Soit $k$ un entier supérieur ou égal à $2$. Déterminer une matrice $K$ de $M_k(\mathbb{R})$ non diagonale et vérifiant $K^2 = I_k$. 25. Montrer que si l’ordre de multiplicité de la valeur propre $\lambda$ est supérieur ou égal à $2$, alors il existe un endomorphisme $p’ \in L(E)\setminus F$ tel que ${p’}^2=p$ et $p’\circ q = q\circ p’ = 0$.} 26. En déduire que si $\dim(E) > 3$, alors $R(f)\not\subset F$. 27. Montrer que pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$, on a: $P(f) = \sum_{i=1}^m P(\lambda_i)p_i$. 28. En déduire que $\prod_{i=1}^m (f-\lambda_i\text{id}) = 0$, puis que $f$ est diagonalisable. 29. Pour tout entier $\ell$ tel que $1 \leq \ell \leq m$, on considère le polynôme $L_\ell(X) = \prod_{\substack{1\leq i \leq m \\ i\neq\ell}} \frac{X-\lambda_i}{\lambda_\ell-\lambda_i}$. Montrer que pour tout entier $\ell$ tel que $1\leq \ell \leq m$, on a $p_\ell = L_\ell(f)$. En déduire que $\mathrm{Im}(p_\ell)\subset\ker(f-\lambda_\ell\text{id})$, puis que le spectre de $f$ est $Sp(f) = \{\lambda_1, \dots, \lambda_m\}$. 30. Vérifier que pour tout couple d’entiers $(i,j)$ tels que $1\leq i,j\leq m$, on a $p_i\circ p_j = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } i \neq j \\ p_i & \mbox{si } i = j \end{array} \right.$} 31. Justifier le fait que la somme $\sum_{i=1}^m \ker(f-\lambda_i\text{id})$ est directe et égale à $E$ et que les projecteurs associés à cette décomposition de $E$ sont les $p_i$. 32. Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $L(E)$ engendré par $\{p_1,\dots,p_m\}$. Déterminer la dimension de $F$. 33. Déterminer $R(f)\cap F$ dans le cas où $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ sont des réels positifs ou nuls. 34. Dans cette question, on suppose de plus que $m=n$. 35. Préciser alors la dimension des sous-espaces propres de $f$.} 36. Montrer que si $h \in R(f)$, tout vecteur propre de $f$ est également vecteur propre de $h$. 37. En déduire que $R(f) \subset F$ et donner une condition nécessaire et suffisante sur les $\lambda_i$ pour que $R(f)$ soit non vide. 38. Montrer que si $m < n$ et si tous les $\lambda_i$ sont positifs ou nuls, alors $R(f)\not\subset F$. 39. Montrer qu’il existe $x \in E$ non nul tel que la famille $(x, f(x), f^2(x), \ldots, f^{p-1}(x))$ est libre. En déduire que $p \leq n$ et que $f^n = 0$. 40. Montrer que si $R(f) \neq \emptyset$ alors $2p - 1 \leq n$.} 41. Déterminer les réels $a_0, \dots, a_{n-1}$ tels que $\sqrt{1+x} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k + O(x^n)$ au voisinage de 0. Dans la suite, $P_n$ désigne le polynôme défini par $P_n(X) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k$. 42. Montrer qu’il existe une fonction $\eta$ bornée au voisinage de 0 telle que l’on ait $P_n^2(x) - x - 1 = x^n \eta(x)$. En déduire que $X^n$ divise $P_n^2 - X - 1$. 43. Montrer alors que $R(f + \text{id}) \neq \emptyset$. Plus généralement, montrer que pour tout $\alpha$ réel, $R(\alpha f + \text{id}) \neq \emptyset$, puis que pour tout $\beta$ réel strictement positif, $R(f + \beta \text{id}) \neq \emptyset$. 44. Soit $T = (a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice triangulaire supérieure de $M_n(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à un réel $\lambda$. Montrer que $(T-\lambda I_n)^n = 0$. 45. On suppose dans toute la suite que $f$ est un endomorphisme de $E$ dont le polynôme caractéristique est scindé et qui n’admet qu’une seule valeur propre $\lambda$. Dédire de la question précédente que $E = \ker(f - \lambda \text{id})^n$.} 46. Montrer que si $\lambda > 0$ alors $R(f) \neq \emptyset$.}FAQ
Un endomorphisme diagonalisable, c’est simplement une application linéaire qui peut s’écrire, dans une base bien choisie, sous forme d’une matrice diagonale : uniquement des valeurs sur la diagonale, tout le reste est nul. Cette propriété simplifie énormément les calculs de puissances, de fonctions de matrices, ou la résolution d’équations fonctionnelles pour les endomorphismes. En CPGE, c’est un point central dans l’étude des transformations linéaires, et dans beaucoup d’exercices de concours comme au CCINP : tu gagneras un temps précieux si tu sais repérer quand tu peux diagonaliser un endomorphisme.
Une matrice est diagonalisable si son polynôme caractéristique est scindé (c’est-à-dire que ses racines sont toutes dans le corps de base, ici ℝ ou ℂ) et, surtout, si pour chaque valeur propre, la dimension de l’espace propre est égale à la multiplicité algébrique de cette valeur propre. Le piège classique ? Croire qu’il suffit d’avoir des valeurs propres distinctes, alors qu’il faut vérifier la dimension de chaque espace propre, même si les valeurs propres se répètent. Les sujets CCINP insistent souvent là-dessus !
Un projecteur est un endomorphisme p tel que p^2 = p, c’est-à-dire que l’appliquer deux fois ne change rien par rapport à l’appliquer une seule fois. Ils sont incontournables dans les décompositions spectrales, particulièrement pour exprimer des puissances d’endomorphismes diagonalisables, ou lorsqu’on étudie la structure fine d’un espace vectoriel sous l’action d’un endomorphisme. Les questions autour des projecteurs tombent régulièrement au CCINP pour vérifier que tu maîtrises bien les propriétés d’orthogonalité entre espaces propres et la décomposition d’un espace en somme directe.
La meilleure astuce reste la diagonalisation ! Si tu peux écrire la matrice A sous la forme PDP⁻¹, où D est diagonale, alors A^m = PD^mP⁻¹, et D^m se calcule en élevant chaque valeur propre à la puissance m. Sinon, sers-toi aussi du théorème de Cayley-Hamilton, qui te permet d’exprimer n’importe quelle puissance importante d’une matrice comme combinaison linéaire des puissances plus petites. Pratique ces techniques, elles reviennent très souvent en sujets d’écrits.
Travailler sur les racines d’endomorphismes (chercher h tel que h^2 = f) te pousse à manipuler les notions de commutativité, de diagonalisation, d’équations fonctionnelles sur les applications linéaires… mais aussi à explorer des propriétés de symétrie et de stabilité des sous-espaces. C’est un excellent terrain pour montrer que tu maîtrises à la fois le calcul matriciel, le raisonnement linéaire, et la capacité à inventer des exemples non triviaux. Le CCINP aime tester ce type de transversalité dans ses sujets ! Pour voir comment les appliquer sur des sujets concrets, tu peux débloquer les corrigés disponibles sur Prépa Booster.
Dès que tu as un endomorphisme diagonalisable, la formule $P(f) = \sum_i P(\lambda_i)p_i$ (où les $p_i$ sont les projecteurs sur les espaces propres associés aux valeurs propres $\lambda_i$) rend les calculs d’applications polynomiales ultra rapides : tu évalues juste le polynôme en chaque valeur propre, puis tu multiplies par le projecteur associé. Un gain de temps considérable pour les questions du CCINP sur les composantes diagonales ou les puissances, et une méthode à connaître par cœur !
La diagonalisation est un outil magique, mais elle a ses limites ! Certains endomorphismes ne sont pas diagonalisables (matrices à Jordan, valeurs propres complexes pour des matrices réelles, etc.), donc il faut aussi être à l’aise avec la recherche de bases adaptées (trigonalisation), savoir jongler avec les dimensions des espaces propres et savoir reconnaître et exploiter le polynôme minimal. C’est la panoplie complète du bon préparationnaire !
Pour les questions où tu dois exhiber des combinaisons originales (par exemple matrices $K$ avec $K^2 = I$ mais non diagonales), n’hésite pas à utiliser les matrices de permutation ou de symétrie, à tester des exemples concrets, et à bien comprendre le lien entre les propriétés algébriques d’une matrice et sa structure spectrale. Les sujets CCINP testent régulièrement cette capacité à produire des idées et contre-exemples intelligents.
Sur Prépa Booster, tu peux débloquer les corrigés détaillés des épreuves du CCINP, accéder à des exercices corrigés similaires pour t’entraîner, et suivre ta progression sur un dashboard personnalisé. Cela te permet de comprendre en profondeur chaque étape et de repérer rapidement tes axes d’amélioration. C’est parfait pour progresser sur la diagonalisation, la maîtrise des projecteurs, ou l’art de manipuler intelligemment les matrices et endomorphismes !