Questions du sujet
1. I.1 Montrer que si $S$ appartient à $\mathcal{S}^+_n(\mathbb{R})$, on a pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $tMSM$ appartient à $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. 2. I.2 Soit $S$ appartenant à $\mathcal{S}^+_n(\mathbb{R})$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$, $\langle Sx, x \rangle > 0$. 3. I.3 Soit $S$ appartenant à $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $S$ est définie positive si et seulement si, pour toute base orthonormée $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\mathbb{R}^n$, la matrice $(\langle Se_i, e_j \rangle)_{1 \leq i,j \leq n}$ est définie positive. 4. I.4 Soit $S$ appartenant à $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et $T$ appartenant à $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On pose $F(\lambda) = T + \lambda S$ pour $\lambda \in \mathbb{R}$. Montrer qu’il existe au plus $n$ réels $\lambda$ tels que $F(\lambda)$ n’est pas définie positive. 5. I.5 Montrer que $S$ est inversible si et seulement si $S$ est définie positive.} 6. I.6 Montrer que si $S_1$ et $S_2$ appartiennent à $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $S_1 \leq S_2$ alors $S_2 – S_1$ appartient à $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer que si $S$ est définie positive alors $0 < S$ dans la relation d'ordre considérée. 7. I.7 Soit $S_1, S_2$ appartenant à $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Vérifier que l'ensemble $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ muni de la relation $\leq$ ainsi définie est un ensemble ordonné partiellement. 8. I.8 Montrer que pour $S_1, S_2 \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, $S_1 \leq S_2$ si et seulement si $S_2 - S_1$ est définie positive. 9. I.9 Soit $S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Donner les bornes inférieure et supérieure de $S$ sur l'ensemble des matrices définies positives $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. 10. I.10 a) Montrer que s’il existe $M \in GL_n(\mathbb{R})$ telle que $S=~^t\!MM$, alors $S$ est symétrique définie positive.\\ b) Montrer que si $S$ est diagonale définie positive, alors il existe $M \in GL_n(\mathbb{R})$ telle que $S=~^t\!MM$.} 11. I.11 Montrer que ce résultat subsiste si $S$ est simplement symétrique définie positive non diagonale. 12. I.12 Soit $(S, S') \in (\mathcal{S}_n(\mathbb{R}))^2$ telle que $S$ soit inversible. Montrer que $S' \leq S$ équivaut à $0 \leq S^{-1/2}S'S^{-1/2} \leq I_n$, où $S^{-1/2}$ désigne la racine carrée symétrique et inversible de $S$. 13. II.1 Dans cette question seulement, on suppose d’une part que $n$ est quelconque et égal à 2 et d’autre part que $S$ possède exactement deux valeurs propres $\lambda$ et $\mu$ distinctes réelles, où l’on suppose que $0 < \lambda < \mu$.\\ a) Exprimer les deux matrices $P_1$ et $P_2$ en fonction de $S$, $\lambda$ et $\mu$. Montrer que $P_1$ et $P_2$ sont des polynômes en $S$ à coefficients réels.\\ b) Montrer que $P_1$ et $P_2$ sont les projecteurs spectraux associés à $\lambda$ et $\mu$, et que l’on a $S = \lambda P_1 + \mu P_2$ et $P_1 + P_2 = I_n$.\\ c) Montrer que si $S$ est définie positive alors $\lambda$ et $\mu$ sont strictement positifs, et que $P_1$ et $P_2$ sont des matrices symétriques définies positives. 14. II.2 Soit $n=2$, $S$ orthogonalisable.\\ a) Montrer qu’il existe $O \in O_2(\mathbb{R})$ telle que $O^{-1}SO$ soit diagonale.\\ b) Montrer que si $S$ est définie positive alors ses valeurs propres sont strictement positives. 15. II.3 Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f$ une application de $I$ dans $\mathbb{R}$. Si $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_r$ sont dans $I$, on définit la matrice $f(S)$ par $f(S) = \sum_{i=1}^r f(\lambda_i) P_i$.\\ a) Montrer que $f(S)$ est matrice symétrique si $S$ l’est.\\ b) Si $X$ est vecteur propre de $S$ pour la valeur propre $\lambda$, montrer que $X$ est aussi vecteur propre de $f(S)$ pour la valeur propre $f(\lambda)$.\\ c) Calculer $\sqrt{S}$, où $S$ est la matrice introduite en (II.1).} 16. II.4 Soit $f$ une fonction continue sur $[0, +\infty[$.\\ a) Montrer que si $S$ est symétrique définie positive (et même simplement définie positive), alors $f(S)$ (définie comme en II.3) est symétrique.\\ b) Montrer que si $X$ est un vecteur propre de $S$ associé à la valeur propre $\lambda$, alors $X$ est aussi un vecteur propre de $f(S)$ pour la valeur propre $f(\lambda)$. 17. II.5 Montrer que si $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$, alors $f(S)$ est croissante sur $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. 18. II.6 Montrer que si $f$ est concave sur $[0, +\infty[$ et si $S, T$ sont dans $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ tels que $S \leq T$, alors $f(S) \leq f(T)$. 19. III.1 On suppose désormais que $S$ est définie positive.\\ a) Montrer que pour toute application $A : [a,b] \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, la fonction $(t \mapsto A(t))$ est continue alors il existe $\int_{a}^{b} A(t)dt \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $\forall X \in \mathbb{R}^n, \left( \int_{a}^{b} A(t)dt \right) X = \int_{a}^{b}A(t)X dt$.\\ b) Soit $f$ une application de $I$ dans $\mathbb{R}$ intégrable sur $I$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Justifier l’existence de $\int_{I} f(t)A dt$ et montrer que : \[\int_{I} f(t)A dt = \left(\int_{I} f(t)dt\right)A.\] 20. III.2 Soit $\alpha \in ]0,1[$ et $f$ la fonction donnée par $F(x) = \int_{0}^{x}\frac{dt}{(1+t^2)^\alpha}$.\\ a) Montrer que pour toute constante $C>0$, il existe $M >0$ tel que pour tout $x \geq 0$, $F(x) \leq Mx^C$.\\ b) Montrer, en utilisant la parie propre et le changement de variable $t= x-u$, qu’il existe une constante $C$ strictement positive telle que pour tout $x > 0$, $F(x) = o(x^C)$.} 21. III.3 Soit $S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer que la fonction $f : S \mapsto \int_{0}^{1} \left( (\sqrt{S})^{1-\alpha} \right) dt$ est croissante sur $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. 22. III.4 Soit $S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer que la fonction $f : S \mapsto \int_{0}^{1} \left( (\sqrt{S})^{\alpha} \right) dt$ est marticiellement croissante sur $[0, +\infty[$.}FAQ
Une matrice symétrique définie positive, c’est une matrice carrée qui vérifie deux choses : d’abord elle est égale à sa propre transposée, et surtout, pour tout vecteur non nul X, le produit scalaire ⟨SX, X⟩ est strictement positif. Dans les sujets de concours comme le CCINP, ça tombe souvent car ces matrices interviennent partout : optimisation, changements de variables, bilans d’énergie… Maîtriser ces notions t’aide à gagner en vitesse et précision sur plein de thèmes croisés aux oraux comme à l’écrit.
Pour savoir si ta matrice symétrique réelle S est définie positive : tu vérifies que pour tout vecteur réel non nul X, le produit XᵗSX > 0. Mais en concours — et notamment dans le sujet 2009 du CCINP PC — tu dois connaître d’autres critères : toutes les valeurs propres de S sont strictement positives, ou encore, tous ses mineurs principaux sont strictement positifs (critère de Sylvester). Retenir ces méthodes permet d’aller vite le jour J, alors bosse-les en t’entraînant sur des exos classiques !
C’est une propriété fondamentale : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral). Ça veut dire que tu peux simplifier énormément le calcul de puissances, d’exponentielles, ou définir des fonctions de matrices (racines, exponentielles, logarithmes…). Dans les concours, cela t’évite de perdre du temps sur des questions de calcul ou de théorie et te donne tout de suite la bonne démarche à appliquer si tu reconnais une matrice symétrique dans un problème.
Sur les matrices symétriques réelles, on définit un ordre ‘≤’ en disant que S₁ ≤ S₂ si S₂ − S₁ est définie positive (ou semi-définie). C’est très utile pour montrer des inégalités matricielles, comparer des performances d’algorithmes numériques, ou encadrer des matrices d’évolution en probabilités/statistiques. Dans les épreuves du CCINP, tu seras amené à exploiter cet ordre pour manipuler ou encadrer des applications de fonctions sur les matrices, démontrer la croissance de certaines applications, etc.
Une fonction spectrale de matrice consiste à appliquer une fonction f (comme la racine carrée, une exponentielle…) aux valeurs propres d’une matrice diagonalisable, pour construire la matrice f(S). Pour cela, tu utilises la décomposition spectrale : f(S) = ∑ f(λᵢ)Pᵢ, les Pᵢ étant les projecteurs spectraux. Ça sert partout : résoudre des équations différentielles matricielles, définir des puissances ou exponentielles de matrices, simplifier des intégrations, etc. Dans le CCINP 2009, tu vois ce concept à l’œuvre, donc entraîne-toi à passer de la matrice à ses valeurs propres et à manipuler ces fonctions !
En plus des intégrales classiques à valeurs réelles ou complexes, tu dois maîtriser les intégrales à valeurs matricielles et vectorielles : il s’agit de définir l’intégrale d’une application continue t → A(t) avec comme résultat une matrice, afin que le produit de cette matrice par un vecteur X donne le même résultat que l’intégrale de A(t)X. Cela sert dans les équations différentielles vectorielles, dans le traitement du signal ou en probabilités, et dans certains sujets du CCINP (comme l’épreuve 2009), où tu devras justifier rigoureusement l’existence de ces objets !
L’idéal : maîtrise les critères de positivité, les questions de diagonalisation et de calculs spectraux, ainsi que la manipulation des ordres sur les matrices. Entraîne-toi aussi à justifier les propriétés sur les intégrales matricielles et sur les applications de fonctions aux matrices. Pour progresser rapidement, compare tes méthodes avec des corrigés détaillés et repère les astuces de rédaction : sur Prépa Booster, débloque les corrigés pour t’entraîner sur d’autres sujets types et bénéficier d’un dashboard personnalisé qui te fait gagner un temps précieux. C’est un vrai plus pour progresser !