Questions du sujet
1. I.1 Montrer que si $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ sont des réels positifs, distincts ou non, il existe une matrice carrée réelle positive et symétrique d’ordre $n$ et de valeurs propres $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$, comptées avec multiplicité. 2. I.2 a) Soit $A$ une matrice carrée réelle d’ordre $2$ admettant $\lambda_1$ et $\lambda_2$ pour valeurs propres. Montrer que son polynôme caractéristique est donné par $P(X) = X^2 – (\lambda_1+\lambda_2)X + \lambda_1\lambda_2$.\\ b) En déduire une matrice carrée réelle positive et symétrique d’ordre $2$ admettant pour valeurs propres $\lambda_1$ et $\lambda_2$. 3. I.3 Déterminer une matrice carrée réelle positive et symétrique d’ordre $3$ admettant pour valeurs propres $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$. 4. I.4 Déterminer une matrice carrée réelle positive et symétrique d’ordre $4$ admettant pour valeurs propres comptées avec multiplicité : $1, 1, 2$ et $3$. 5. I.5 Montrer qu’il n’existe aucune matrice carrée réelle positive et symétrique d’ordre $3$ admettant pour valeurs propres comptées avec multiplicité : $1$, $-1$ et $2$.} 6. I.6 a) Pour $a$ et $b$ réels, on note $M$ la matrice carrée d’ordre $n$ dont les coefficients diagonaux valent tous $a$ et les autres valent tous $b$. Déterminer les valeurs propres de $M$.\\ b) Une matrice carrée réelle symétrique d’ordre $n$ dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles est-elle nécessairement positive ? 7. II.1 Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, $X \in \mathbb{R}^n$ et $\mu\in\mathbb{R}$. Établir les égalités :\\ a) $A(X) = (X | AX)$.\\ b) $(AX|AY) = (X|A^2Y)$.\\ c) $\| AX \| \leq \|A\| \, \| X \|$. 8. II.2 Soient $M_1 \in \mathcal{M}_{n_1, 1}(\mathbb{R})$ et $M_2 \in \mathcal{M}_{n_2, 1}(\mathbb{R})$. On note $S_1$ et $S_2$ les matrices de $\mathcal{M}_{n_1, 1}(\mathbb{R})$ et $\mathcal{M}_{n_2, 1}(\mathbb{R})$ définies par blocs sous la forme \[ S = \begin{pmatrix} S_1 & 0 \\ 0 & S_2 \end{pmatrix} \] a) Montrer que $S$ est symétrique $\Leftrightarrow$ $S_1$ et $S_2$ sont symétriques.\\ b) Montrer que si $M_1$ et $M_2$ sont orthogonaux dans $\mathbb{R}^{n_1}$ et $\mathbb{R}^{n_2}$, $M_1$ et $M_2$ sont orthogonaux dans $\mathbb{R}^{n_1+n_2}$.\\ c) La réciproque est-elle vraie ? 9. II.3 a) Montrer que pour tout $X \in \mathbb{R}^n$, $(AX|X) \leq \|A\|\|X\|^2$.\\ b) En déduire que pour tout $X \in \mathbb{R}^n$, $(AX|X)\leq \lambda_{\max}(A)\|X\|^2$.\\ c) En utilisant une décomposition du vecteur $X$ sur une base orthonormée de vecteurs propres de $A$, montrer que cette dernière inégalité est une égalité si et seulement si $X$ est vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda_{\max}(A)$. 10. II.4 Soit $S$, $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et $B(0,1)$.\\ a) Montrer que $S$ est un fermé de $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.\\ b) Montrer que $S$ est un fermé borné de $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.\\ c) Soit $A \in S$. Donner l’expression de $(AX|X)$ en fonction des coefficients de $A$ et de ceux de $X$ ; en déduire que $f(A) = \sup_{\|X\| = 1}(AX|X)$ est continue sur $S$.\\ d) On pose $\lambda_0 = \sup_{A\in S}f(A)$. Justifier l’existence de $\lambda_0$ et montrer qu’il existe $A_0$ appartenant à $S$ tel que $f(A_0) = \lambda_0$.\\ e) Montrer que $\lambda_0 \geq 0$.} 11. II.5 On suppose dans cette question $A\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.\\ a) Si $X_0$ est un vecteur propre unitaire de $A$ associé à la valeur propre $\lambda_0$, on pose $Y_0 = AX_0$.\\ i) Montrer que $Y_0$ est élément de $\mathbb{R}^n_+$.\\ ii) Montrer que $(Y_0|X_0) = \lambda_0$.\\ iii) Montrer que $(A Y_0|Y_0) = \lambda_0 (Y_0|X_0)$.\\ b) En déduire $A Y_0 = \lambda_0 Y_0$, puis que la matrice $A$ admet un vecteur propre positif associé à la valeur propre $\lambda_0$.\\ c) Montrer que pour tout $X \in \mathbb{R}^n_+$, $(AX|X) \leq \lambda_0 \|X\|^2$. 12. III.1 Montrer que $V_1 \otimes u_1$ et $V_2 \otimes u_2$ sont vecteurs propres de $M_t$ et préciser les valeurs propres correspondantes. 13. III.2 Pour $t \in \mathbb{R}$, on note $u_t$ le vecteur défini par \[ u_t = \cos(\theta) u_1 + \sin(\theta) u_2 \] a) Montrer que $u_t$ est unitaire dans $\mathbb{R}^{n_1 + n_2}$.\\ b) Déterminer le spectre de $M_t$.\\ c) On suppose dans cette question $t \neq 0$. On note l’unique réel $\theta$ de l’intervalle $[0, \pi]$ tel que \[ \cos(\theta) = \frac{\alpha_1-\alpha_2}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2 + 4 t^2}},\;\; \sin(\theta) = \frac{2t}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2 + 4 t^2}} \] et on pose $\beta_1 = \alpha_1 + t \tan(\theta/2)$, $\beta_2 = \alpha_2 – t \tan(\theta/2)$. i) Montrer que $u_t$ est non nul.\\ ii) Évaluer le produit $(\tan(\theta), \tan(\theta))$.\\ iii) Montrer que $\beta_1$ et $\beta_2$ vérifient l’équation : \[ X^2 – (\alpha_1 + \alpha_2) X + (\alpha_1 \alpha_2 – t^2) = 0 \] iv) En déduire que $u_t$ et $v_t$ sont vecteurs propres de $M_t$ et exprimer les valeurs propres correspondantes $\beta_1$ et $\beta_2$ en fonction de $t$, $\alpha_1$ et $\alpha_2$.\\ v) Montrer que les vecteurs $u_t$ et $v_t$ forment une base orthonormée de $\mathbb{R}^{n_1 + n_2}$ et donner l’ensemble des valeurs propres de $M_t$.\\ vi) Montrer que les formules exprimant $\beta_1$ et $\beta_2$ en fonction de $t$, $\alpha_1$ et $\alpha_2$ donnent encore des valeurs propres de $M_t$ lorsque $t = 0$. 14. IV.1 Vérifier que $P_1$ est vraie. 15. IV.2 Soit $n$ tel que $P_n$ soit vraie et soit $(\lambda_1, \ldots, \lambda_{n+1})$ vérifiant : \[ \lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_{n+1} \] et \[ \lambda_1 > 0 \] On pose $\mu = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n – \lambda_{n+1}$.\\ a) Montrer qu’il existe $A_n$ tel que $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ soient valeurs propres de $A_n$.\\ Dans la suite de cette question IV.2, $A_n$ désignera une telle matrice.\\ b) Montrer que $A_n$ admet un vecteur propre unitaire et positif associé à la valeur propre $\lambda_1$.\\ c) Pour $t \in \mathbb{R}$, soit $M_t$ la matrice de $\mathcal{S}_{n+1}^+(\mathbb{R})$ définie par : \[ M_t = \begin{pmatrix} A_n & te_1 \\ te_1^T & \lambda_{n+1} \end{pmatrix} \] i) Vérifier que $M_t$ est bien de la forme : préciser $t$, $A_n$ et $\lambda_{n+1}$.\\ ii) En déduire les valeurs propres de $M_t$.\\ iii) Montrer que si $t^2 = (\lambda_1-\lambda_{n+1})(\mu-\lambda_{n+1})$, les valeurs propres de $M_t$ sont : $\lambda_1, \ldots, \lambda_{n+1}$ et conclure.} 16. IV.3 Exemple\\ a) Déterminer le spectre de la matrice \[ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] b) Déterminer une matrice carrée réelle positive et symétrique d’ordre $3$, admettant pour valeurs propres $1$, $2$, $3$.}FAQ
Une matrice symétrique réelle positive est une matrice réelle qui est égale à sa transposée (symétrique), et pour laquelle tous les vecteurs non nuls produisent, par le produit scalaire XᵗAX, un résultat strictement positif ou nul. Ses valeurs propres sont alors réelles et positives ou nulles. Ces matrices interviennent dans de nombreux contextes de physique, d’algèbre linéaire et d’optimisation, car elles sont notamment associées aux formes quadratiques positives donc à l’étude de courbures, d’énergie ou de stabilité.
Une propriété fondamentale de la symétrie sur les matrices réelles, démontrée en algèbre linéaire, est que toute matrice symétrique a un spectre de valeurs propres réelles. En plus, il existe une base orthonormée de vecteurs propres – on peut donc toujours la diagonaliser par une matrice orthogonale. Ce résultat est précieux car il permet de décomposer toute matrice symétrique en somme de matrices plus simples, facilitant ainsi l’analyse de problèmes physiques et mathématiques complexes.
Pour une matrice carré A d’ordre n, le polynôme caractéristique s’obtient en calculant det(A – X Iₙ) = 0. C’est central dans beaucoup de sujets, car ce polynôme permet d’accéder directement aux valeurs propres, souvent demandées en préparation ou lors du concours CCINP. Ces calculs sont omniprésents dans les exercices de matrices, de systèmes linéaires et même en applications, notamment en mécanique ou sciences de l’ingénieur.
La multiplicité d’une valeur propre fait référence au nombre de fois qu’elle apparaît comme racine du polynôme caractéristique (multiplicité algébrique). Attention, cela ne signifie pas toujours qu’il y a autant de vecteurs propres linéairement indépendants associés (multiplicité géométrique). En CPGE, bien faire la distinction est souvent questionné, et maîtriser cet aspect clarifie de nombreux exercices où il faut construire des bases propres ou diagonaliser.
C’est une conséquence du théorème spectral. Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée de ℝⁿ, donc il existe n vecteurs propres réels et orthogonaux. Cette propriété est très utile au concours CCINP, car elle permet notamment d’exprimer facilement tout vecteur du plan ou de l’espace dans une base adaptée, ou encore de simplifier les calculs liés aux formes quadratiques et aux changements de base.
La norme (souvent la norme opérateur) d’une matrice te donne un contrôle sur la « taille » de ses effets sur les vecteurs. Notamment, on rencontre fréquemment l’inégalité ‖AX‖ ≤ ‖A‖‖X‖, qui établit un lien entre le comportement d’une matrice et celui des vecteurs sur lesquels elle agit. Les inégalités faisant intervenir la norme sont récurrentes, surtout quand il faut borner ou maximiser des quantités comme (AX|X).
Un point de vocabulaire qui fait souvent perdre des points ! Une matrice est dite positive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives (définie positive), semi-définie positive si toutes sont positives ou nulles. La nuance compte fort dans les démonstrations de stabilité ou d’existence de solutions, et est incontournable à l’oral comme à l’écrit au CCINP. N’hésite pas à débloquer les corrigés via Prépa Booster pour t’entraîner méthodiquement sur ces notions délicates des matrices.
C’est une méthode idéale pour tester ta maîtrise des diagonalisation et des techniques liées aux valeurs propres et vecteurs propres. On y croise souvent des arguments combinant polynôme caractéristique, bases orthonormées, et matrices de passage. Savoir construire ce type de matrices te permet de briller lors des écrits, d’autant que ce genre d’exercice est transversal avec beaucoup d’autres chapitres.
C’est une question de cohérence des hypothèses : une matrice réelle symétrique positive doit avoir toutes ses valeurs propres positives. Si tu en trouves une négative (ou nulle selon la définition), alors cette matrice ne peut pas exister dans cette classe ! Ce type de question est subtile mais très appréciée par les correcteurs car elle oblige à bien connaître les définitions fondamentales et leurs conséquences directes.
Les matrices par blocs facilitent le travail sur de grandes matrices, car elles permettent de décomposer les problèmes et de transférer des résultats connus à des sous-matrices plus simples. Elles sont aussi essentielles dans la modélisation de systèmes physiques ou informatiques, et apparaissent couramment dans les sujets de concours car leur structure permet de raccourcir les démonstrations ou de mettre en évidence des propriétés cachées.