Questions du sujet
1. I.1 Soit la matrice $P$ donnée par : $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.\\ a) Calculer $\det(P)$.\\ b) Calculer la matrice produit $P \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.\\ c) Déterminer le polynôme caractéristique $f$ de $P$.\\ d) Calculer $f'(t) = \frac{d}{dt} f(t)$, puis la matrice $f'(P)$. 2. I.2 Soit $A: t \mapsto (a_{ij}(t))$ une matrice à coefficients fonctions dérivables sur un intervalle $I$.\\ a) Montrer que $\det(M) = \sum_{j=1}^n a_{1j} \cof_{1j}(A)$ si $M$ est la matrice obtenue en remplaçant la première ligne de $A$ par $(1,0,\ldots,0)$.\\ b) En déduire les égalités :\\ $\sum_{k=1}^n a_{ik} \cof_{jk}(A) = \delta_{ij} \det(A)$.\\ c) Montrer de même les égalités :\\ $\sum_{k=1}^n a_{ki} \cof_{kj}(A) = \delta_{ij} \det(A)$.\\ d) En déduire les formules :\\ $A \adj(A) = (\det A) I_n$ et $\adj(A) A = (\det A) I_n$. 3. I.3 a) Soit $(P_{ij})_{1 \leq i, j \leq n}$ une famille de polynômes complexes de degré $\leq d$. Pour $x \in \mathbb{C}$, on note $\mathcal{P}(x)$ la matrice de coefficients $P_{ij}(x)$. Montrer par récurrence sur l’ordre de la matrice qu’il existe un polynôme $q$ de degré $\leq n$ tel que pour tout $x \in \mathbb{C}$, $\det(\mathcal{P}(x)) = q(x)$.\\ b) Soient $A,B$ deux matrices telles que pour tout $x$, $A(x)B(x) = I$. Montrer que pour tout $i$, $A_i(x)$ est inversible. 4. I.4 Pour tout $n \geq 1$, on pose $A_n = (a_{ij})$ et on note $f_n$ le polynôme caractéristique de $A_n$.\\ a) Montrer qu’il existe $n$ matrices $B_1, …, B_n$ dans $\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ telles que :\\ $A_n^k = \sum_{m=1}^n \lambda_m^k B_m$\\ où les $\lambda_m$ sont les racines de $f_n$.\\ b) En utilisant les questions I.2 et I.3, établir les égalités matricielles suivantes :\\ $\sum_{m=1}^n B_m = I_n$.\\ c) En déduire que le polynôme caractéristique de la matrice $A_n$ est un polynôme annulateur de $A_n$. 5. II.1 a) Montrer que $A$ commute avec chacune des matrices $B_j$.\\ b) Montrer que $\exp(A) = \sum_{j=1}^k e^{\lambda_j t} B_j$.} 6. II.2 On rappelle que le problème de Cauchy\\ $\begin{cases} X'(t) = AX(t) \\ X(0) = X_0 \end{cases}$\\ admet une unique solution $X(t) = \exp(tA)X_0$. 7. II.3 À l’aide de l’algorithme décrit dans les questions précédentes, déterminer explicitement les coefficients de $\exp(tA)$, où $A$ est la matrice donnée en I.1. 8. II.4 Soit le problème de Cauchy dans $\mathbb{C}^n$ donné par :\\ $\begin{cases} Y'(t) = AY(t) \\ Y(0) = Y_0 \end{cases}$\\ Montrer que sa solution est donnée par $Y(t) = \exp(tA) Y_0$. 9. III.1 Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$, la matrice $\exp(tA)$ est un polynôme en $A$. 10. III.2 Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathbb{C}^n$ telles que $AB = BA$.\\ a) Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$, $A$ et $\exp(tB)$ commutent.\\ b) Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$, $\exp(tA)$ et $\exp(tB)$ commutent.} 11. III.3 On considère les matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.\\ Calculer $\exp(0)$, $\exp(B)$, $\exp(A+B)$ et $\exp(A)\exp(B)$. Quelle conclusion en tirez-vous ? 12. III.4 Soit $A$ dans $\mathbb{C}^n$.\\ a) Montrer que si $P$ est une matrice inversible de $\mathbb{C}^n$, on a pour tout $t$ réel : $\exp(t P A P^{-1}) = P \exp(tA) P^{-1}$.\\ b) Montrer que pour tout $t$ réel : $\exp(-tA) = [\exp(tA)]^{-1}$. 13. IV.1 Si $X(t)$ et $X_0$ sont les matrices colonnes des coordonnées de $x(t)$ et $x_0$ dans la base canonique, montrer que le problème s’écrit encore :\\ $\begin{cases} X'(t) = AX(t) \\ X(0) = X_0 \end{cases}$\\ où $A$ est une matrice à préciser. 14. IV.2 Déterminer le polynôme caractéristique de $A$ et montrer que $A^3 = -A$. 15. IV.3 Montrer que $\exp(tA) = I + \sin t\, A + (1- \cos t)A^2$ et donner l’expression de la solution du problème.} 16. IV.4 On note $f$ et $g$ respectivement les endomorphismes de $\mathbb{R}^3$ canoniquement associés aux matrices $A$ et $\exp(A)$. a) Montrer qu’il existe une base orthonormale $\mathcal{B}$ telle que la matrice de $f$ dans cette base soit $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. b) Déterminer l’image par $g$ de la base $\mathcal{B}$, puis caractériser géométriquement l’endomorphisme $g$. c) Calculer $\exp(2\pi A)$.}FAQ
Le polynôme caractéristique est un outil central en algèbre linéaire, car il permet notamment de déterminer les valeurs propres d’une matrice. En CPGE, tu apprendras à le calculer grâce à la formule det(A – tI), puis à l’exploiter dans l’étude de la diagonalisation, la trigonalisation ou l’utilisation de la formule de Cayley-Hamilton. L’analyse du polynôme caractéristique intervient aussi pour construire des bases propres et comprendre l’action de la matrice sur les vecteurs de l’espace. Maîtrise cette notion, elle tombe très souvent aux concours !
En CPGE PC, l’exponentielle de matrice permet de résoudre de façon élégante les systèmes différentiels linéaires : la solution générale d’un système de la forme X'(t) = AX(t) s’exprime directement avec exp(tA). Cette approche donne accès à l’ensemble des solutions, et t’aide à comprendre le comportement dynamique du système (stabilité, oscillations, etc). Savoir calculer exp(tA), en particulier quand A n’est pas diagonalisable, fait partie des compétences incontournables au concours CCINP.
Quand deux matrices A et B commutent, c’est-à-dire AB = BA, on peut affirmer que les exponentielles correspondantes commutent aussi : exp(A)exp(B) = exp(B)exp(A). Ce résultat a de multiples applications, notamment pour simplifier des calculs dans la résolution de systèmes ou d’équations différentielles couplées. En épreuve écrite, c’est un réflexe à avoir, et penser à vérifier la commutativité peut te permettre de débloquer un exercice ! Pour retrouver des méthodes, des astuces, des exercices inédits et les corrigés complets du sujet, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
L’adjointe (ou comatrice) d’une matrice est essentielle pour l’inversion des matrices carrées (sous réserve que le déterminant ne soit pas nul). Les formules A adj(A) = (det A) I et adj(A) A = (det A) I apparaissent souvent dans les preuves et permettent de montrer des résultats généraux, comme l’inversibilité ou l’annulation d’une matrice par son polynôme caractéristique. C’est un thème classique pour un oral comme pour un écrit, pense à bien savoir manipuler les cofacteurs et utiliser les propriétés de l’adjointe.
Savoir identifier des matrices à structure particulière (companion, nilpotentes, diagonales par blocs…) te fait gagner un temps précieux : cela simplifie calculs et résolution de problèmes. Pour une matrice nilpotente, par exemple, tu peux directement exploiter exp(A) = I + A + … + A^{p-1}/(p-1)! car la série s’arrête. Pour les matrices compagnon, il faut savoir trouver rapidement leurs valeurs propres et leur polynôme caractéristique. Entraîne-toi à manipuler ces formes usuelles, elles tombent régulièrement en concours PC du CCINP.
Pour progresser, il faut alterner entre résolution en autonomie — pour te challenger, comme en conditions réelles — et analyse détaillée des corrigés pour comprendre la rédaction et les astuces attendues. Les sujets d’annales te confrontent aux pièges et méthodes typiques du concours : c’est le meilleur entraînement possible, avec Prépa Booster tu as accès à des corrigés rédigés, des outils de suivi personnalisés et tous les écrits des années précédentes !