Questions du sujet
1. Exprimer, pour $k$ non nul, $P(X = k)$ en fonction de $P(X > k-1)$ et de $P(X > k)$.\\ Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ \sum_{k=1}^{n} P(X = k) = \sum_{k=0}^{n-1} \left( P(X > k) – P(X > k+1) \right) = n P(X > n) \] Démontrer le résultat de cours : \[ \mathbb{E}(X) = \sum_{k=0}^{+\infty} P(X > k) \] 2. Soit $n \in\mathbb{N}^*$. Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On effectue, de façon équiprobable, $p$ tirages successifs avec remise et on note $X$ le plus grand nombre obtenu.\\ Calculer, pour tout entier naturel $k$, $P(X \leq k)$, puis donner la loi de $X$. 3. Calculer \[ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n-1} \left( 1 – \frac{k}{n} \right)^p, \] puis en utilisant la Q1., déterminer un équivalent pour $n$ au voisinage de $+\infty$ de $\mathbb{E}(X)$. 4. On considère les équations différentielles : \[ (E) : y” + 4x y’ – (2x^2+1)y = 0 \] \[ (H) : y” + 4x y’ – (2x^2+1) y = 0 \] On note $I = ]0, +\infty[$, $S_E(I)$ l’ensemble des solutions de l’équation $(E)$ sur $I$ et $S_H(I)$ l’ensemble des solutions de l’équation $(H)$ sur $I$.\\ Donner, en justifiant, la dimension de l’espace vectoriel $S_H(I)$. 5. Démontrer qu’il existe une unique solution $f$ de $(E)$ sur $I$ développable en série entière sur $\mathbb{R}$.\\ Vérifier que pour tout $x \in I$, \[ f(x) = \frac{\ch x – 1}{x^2}. \] } 6. On note pour $x \in I$, $g(x) = \frac{1}{x^2}$ et $h(x) = \frac{\sh x}{x^2}$.\\ On admet dans cette question que $g \in S_E(I)$ et $h \in S_H(I)$.\\ Donner, sans calculs, l’ensemble $S_E(I)$. 7. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel $S_H(\mathbb{R})$ (solutions de $(H)$ sur $\mathbb{R}$) ? 8. Question préliminaire\\ Si on admet que \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}, \] que vaut la somme \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \; ? \] 9. On note, pour tout entier naturel $n$, $W_n = \int_0^{\pi} \sin^n x \ \mathrm{d}x$.\\ Calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto \sin^{n+1} x$, puis déterminer une relation entre $W_{n+2}$ et $W_n$.\\ En déduire, pour tout entier naturel $n$, \[ W_n = \frac{2^{n-1} (n!)^2}{(2n)!} \] 10. Déterminer sur l’intervalle $]-1,1[$ le développement en série entière des fonctions $\frac{1}{1-x^2}$ et $x \mapsto \arcsin x$. } 11. En déduire que pour tout $x \in [0, \frac{\pi}{2}[$, \[ x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n+1)!} \frac{\sin^{2n+1} x}{2n+1} \] 12. Justifier que \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n+1)!} \int_0^{\pi} \sin^{2n+1} x \ dx = \int_0^{\pi} x \ dx \] 13. En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$. 14. Donner sur l’intervalle $]-1,1[$ le développement en série entière de la fonction $\frac{1}{1-x^2}$, puis calculer l’intégrale \[ \int_0^1 \frac{\ln x}{1-x^2} dx \] On donnera le résultat sous la forme de la somme d’une série numérique. 15. On pose pour $x \in [0, +\infty[$, \[ f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{1+t^2} dt \] Démontrer que la fonction $f$ est bien définie et est continue sur l’intervalle $[0, +\infty[$. } 16. Établir que cette fonction $f$ est de classe $C^1$ sur l’intervalle $]0,1]$ et exprimer $f'(x)$ comme une intégrale. 17. Réduire au même dénominateur l’expression $\frac{t^2}{1+t^2} – \frac{x^2 t^2}{1+x^2 t^2}$ et en déduire que pour tout $x \in ]0,1[$, \[ f'(x) = \int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2 t^2)(1+t^2)} dt = -\frac{\ln x}{1-x^2} \] 18. Calculer $f(1)$, puis en déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$. }FAQ
Pour ce sujet de mathématiques du concours CCINP MPI 2024, il te faut être particulièrement à l’aise avec les lois de probabilité discrètes, les formules de l’espérance (notamment la formule de l’espérance comme somme des probabilités cumulées), l’étude de variables aléatoires discrètes comme le max de tirages successifs, mais aussi avec les techniques de sommation et d’équivalents asymptotiques. Toutes ces notions sont incontournables pour affronter ce type de sujet, alors révise bien tes fondamentaux.
Les équations différentielles (EDO) sont au cœur du programme de CPGE car elles modélisent énormément de phénomènes physiques et mathématiques, que ce soit en mécanique, en physique ou pour explorer des comportements analytiques particuliers. Dans ce sujet, on t’interroge sur les espaces de solutions, la dimension, les séries entières et la recherche de solutions particulières, autant de points clés du programme qui tombent très souvent au concours. Avoir l’habitude de manipuler ces outils te fera gagner un temps précieux le jour J.
Pour cartonner sur les séries entières, entraîne-toi à calculer des rayons de convergence, déployer des développements en série de fonctions usuelles (log, arctan, arcsin, etc.), assimiler les critères de convergence (d’Alembert, Cauchy…) et à manipuler série et intégration (ce qui tombe souvent comme dans ce sujet). Il est aussi très utile de voir comment relier des expressions à des résultats célèbres comme la somme de la série harmonique ou la série de Bâle. Besoin de plus d’exos pour maîtriser le sujet ? Débloque les corrigés sur Prépa Booster pour accéder à de nombreux exercices corrigés et à un dashboard adapté à ton niveau.
Le concours CCINP aime les intégrales un peu corsées : il faut savoir jongler avec les intégrales définies, changements de variables classiques (substitution trigonométrique, passage à la série, etc.), intégration par parties, et même relier certaines intégrales à des séries numériques célèbres. Certains calculs peuvent paraître techniques, mais prennent tout leur sens si tu as assimilé les astuces du cours et fait pas mal d’annales. Pour progresser vite, entraîne-toi sur des sujets corrigés disponibles en débloquant l’accès sur Prépa Booster.
Lis bien tout le sujet en une fois pour repérer les questions qui te semblent abordables en priorité ! Commence par ce que tu maîtrises pour engranger des points faciles. N’hésite pas à exploiter les résultats intermédiaires du sujet, les indices glissés par l’énoncé ou les rappels de cours classiques (espérance, développements en série, propriétés fondamentales d’espaces vectoriels de solutions d’EDO, etc.). Et surtout : entraîne-toi en conditions concours avec des corrigés détaillés pour arriver prêt le jour J !