Questions du sujet
1. Déterminer la fonction génératrice d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p \in ]0, 1[$ puis en déduire son espérance. 2. En essayant un code au hasard, quelle est la probabilité de tomber sur le bon code ? 3. M. Toutlemonde décide de trouver le bon code en procédant de la manière suivante : il essaye un code au hasard choisi parmi les codes non encore testés. On note $X$ la variable alétoire égale au nombre de codes testés jusqu’a obtenir le bon code. \\ Déterminer la loi de $X$ et donner son espérance. 4. À la place de la stratégie précédente, M.Toutlemonde essaye des codes au hasard, sans se soucier du fait qu’il les ait déjà essayés ou non. On note encore $X$ la variable aléatoire égale au nombre de codes testés jusqu’à obtenir le bon code. \\ Déterminer la loi de $X$ et donner son espérance. 5. Informatique Pour Tous.\\ Compléter, en langage Python, le script suivant pour qu’il simule une personne essayant de deviner le code 4714~:\\ \texttt{code =4714\\ n=int( input (’Taper un code à 4 chiffres : ’))\\ k=………….\\ while………….\\ ………….\\ print(’Vous avez trouvé le code en ’ +str(k)+’ essais.’)}\\ ( \texttt{………..} représente une instruction ou une partie d’instruction à compléter.)} 6. Écrire, en langage Python, une fonction \texttt{crypte(m)} qui reçoit en entrée une liste $m$ de $4$ chiffres et renvoie en sortie la version cryptée de cette liste. Par exemple, \texttt{crypte ([4,7,1,4])} renvoie \texttt{[9,2,6,9]}. 7. Démontrer que $H$ est définie et de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Donner une expression de $H'(x)$. 8. Étudier la parité de la fonction $H$. 9. Démontrer que la fonction $t \mapsto e^{it^2}$ est développable en série entière au voisinage de $0$. En déduire un développement en série entière de la fonction $H$ au voisinage de $0$, en précisant l’intervalle sur lequel ce développement est valable. 10. Si $x > 0$, démontrer que :\\ $H(x) = \dfrac{1}{2} \int_0^{x^2} \dfrac{e^{iu}}{\sqrt{u}} du$.} 11. Pour $x > 4\pi^2$, en déduire que :\\ $H(x) – H(\sqrt{2\pi}) = -i\dfrac{e^{ix^2}}{2x} + \dfrac{i}{2}\sqrt{2\pi} – \dfrac{i}{4} \int_{2\pi}^{x^2} \dfrac{e^{iu}}{u^{3/2}} du$. 12. En déduire que l’intégrale généralisée $\int_{0}^{+\infty} e^{it^2} dt$ converge. 13. Informatique Pour Tous.\\ Proposer, en langage Python, une fonction \texttt{I(f,a,b,n)} qui prend en entrée une fonction $f$ à valeurs réelles ou complexes, deux réels $a$ et $b$ et un entier naturel $n$ et qui renvoie une valeur approchée avec la méthode des rectangles de $\int_{a}^{b} f(t)dt$ calculée avec $n$ rectangles. 14. Informatique Pour Tous.\\ Proposer, en langage Python, une fonction \texttt{H(x,n)} qui prend en entrée un réel $x$ et un entier naturel $n$ et qui renvoie une valeur approchée de $H(x)$ calculée avec la fonction de la question précédente. On rappelle que le code Python, pour $e^{it^2}$, est \texttt{exp(1j*t**2)}. 15. Si $(x, t) \in \mathbb{R}^2$, déterminer les modules des nombres complexes $e^{-x^2(t^2-i)}$ et $t^2 – i$.} 16. Démontrer que $g$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ (on pourra utiliser un argument de parité). 17. Soit $(x_n)_n$ une suite divergente vers $+\infty$. À l’aide du théorème de convergence dominée, démontrer que $\lim_{n \to +\infty} g(x_n) = 0$.\\ En déduire la limite de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$. 18. Démontrer que $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^*$. 19. On admet dans cette question que l’intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt$ converge et est égale à $\sqrt{\pi}$.\\ Vérifier que :\\ $\forall x > 0,\quad g'(x) = -2\sqrt{\pi} e^{ix^2}$ 20. Décomposer dans $\mathbb{C}(X)$ la fraction rationnelle $\frac{1}{X^2-i}$.\\ On admet ensuite que~:} 21. $ \frac{1}{X^2-i}= \frac{1-i}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2X-\sqrt{2}}{X^2-X\sqrt{2}+1} + \frac{i}{X^2-X\sqrt{2}+1} – \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{2X+\sqrt{2}}{X^2+X\sqrt{2}+1} + \frac{i}{X^2+X\sqrt{2}+1} $\\ Démontrer que $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^2-\sqrt{2}t+1}dt = \pi\sqrt{2}$. Donner la valeur de $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{t^2+\sqrt{2}t+1}dt$ puis déterminer la valeur de $g(0)$. 22. En déduire que~: \\ $\forall x>0,\quad g(x) = (1+i)\frac{\pi}{\sqrt{2}} – 2\sqrt{\pi} \times H(x)$\\ où la fonction $H$ a été introduite dans la partie I.\\ Donner ensuite les valeurs de $\int_0^{+\infty} e^{it^2}dt$, $\int_0^{+\infty} \cos(t^2)dt$ et de $\int_0^{+\infty} \sin(t^2)dt$. 23. On suppose que $(a_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ est une suite réelle positive décroissante de limite nulle et que $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite bornée. En admettant l’identité suivante~: \\ $\forall N \in \mathbb{N}^*, \sum_{n=1}^N a_n(b_n-b_{n-1}) = \sum_{n=1}^N (a_n – a_{n+1})b_n + a_{N+1}b_N – a_1 b_0$ \\ démontrer que la série $\sum a_n (b_n – b_{n-1})$ converge. 24. Soient $x \in ]0,2\pi[$ et $n \in \mathbb{N}^*$. Démontrer que~: \\ $\sum_{k=1}^n e^{ikx} = e^{i(n+1)x/2} \times \frac{\sin \left( \frac{nx}{2} \right)}{\sin \left( \frac{x}{2} \right)}$ 25. À l’aide des deux questions précédentes, démontrer que $S$ est définie sur $]0,2\pi[$.} 26. On admet dans cette question que si $k\in\mathbb{N}^*$ et $x\in]0,2\pi[$ :\\ $\left| \frac{e^{i(k+1)x}-e^{ikx}}{ix\sqrt{k}} – \int_k^{k+1} \frac{e^{itx}}{\sqrt{t}} dt \right| \leq \frac{1}{4k^{3/2}}$.\\ Démontrer qu’il existe une constante $C>0$ telle que pour tout $x\in]0,2\pi[$ :\\ $\left| \frac{e^{ix}-1}{ix} S(x) – \int_1^{+\infty} \frac{e^{itx}}{\sqrt{t}} dt \right| \leq C$ 27. Déterminer la limite, quand $x$ tend vers $0^+$, de~: \\ $I(x) = \sqrt{x} \int_1^{+\infty} \frac{e^{itx}}{\sqrt{t}} dt$ 28. Déterminer la limite en $0^+$ de la fonction $x \mapsto \frac{e^{ix}-1}{ix}$. Donner alors un équivalent de $S(x)$ quand $x$ tend vers $0^+$.}FAQ
Pour ce type de sujet, tu dois parfaitement connaître la loi géométrique, savoir déterminer une fonction génératrice, calculer une espérance et bien identifier les différences entre essais indépendants et sans remise. Savoir passer rigoureusement de la modélisation d’une situation concrète (comme la recherche d’un code) à une variable aléatoire est aussi essentiel.
Il est indispensable de savoir traduire une démarche probabiliste ou algorithmique en code Python efficace et propre. Les questions portent souvent sur la création de boucles, la manipulation de listes et la simulation d’expériences aléatoires. Penser à soigner l’écriture du code, à bien commenter, et à t’entraîner sur les scripts classiques rencontrés en prépa. N’oublie pas que débloquer les corrigés sur Prépa Booster te permet de retrouver des scripts types et des exemples détaillés.
Il faut revoir la méthode de développement en série entière de fonctions usuelles (ici par exemple avec $e^{it^2}$), et maîtriser les conditions de convergence. Pour les intégrales impropres (notamment à valeurs complexes), reprends les critères de convergence et les principaux outils comme le théorème de convergence dominée. Refais plusieurs exercices issus des annales et n’hésite pas à consulter les corrigés détaillés pour t’entraîner sur des démonstrations classiques.
En filière MPI, l’analyse complexe permet de traiter des problèmes de séries, d’intégration et d’équations différentielles plus efficacement ou sous un angle inédit. Les sujets du concours aiment exploiter les applications de la fonction exponentielle complexe, ses modules et ses propriétés, notamment dans le cadre d’intégrales généralisées. Ce sont donc des incontournables à bien travailler.
Travaille la manipulation des suites et séries, en particulier la sommation de termes de type $e^{ikx}$ et les séries à termes complexes. Savoir reconnaître les sommes de séries géométriques complexes et jongler avec les identités trigonométriques gagne beaucoup de temps et de points le jour du concours. Pour aller plus loin, pense à accéder au dashboard personnalisé de Prépa Booster pour cibler tes révisions sur ces thèmes !
La clef, c’est la pratique sur des annales, en allant au-delà de la simple lecture du corrigé : essaie d’abord de rédiger seul puis compare ta solution au corrigé détaillé, comme proposé sur Prépa Booster. Mets l’accent sur les démonstrations, la rédaction rigoureuse et la capacité à jongler entre différents domaines (probabilités, analyse, algèbre, Python).