Questions du sujet
1. Soit $k \in \mathbb{N}$. Justifier l’existence puis calculer l’intégrale $$I_k = \int_0^1 t^{2k} \ln t \ \mathrm{d}t.$$ 2. Justifier que la fonction $f$ est intégrable sur $]0,1[$, puis démontrer que : $$\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t = \frac{\pi^2}{8}.$$ On pourra utiliser librement que : $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.$$ 3. Justifier que la fonction $\ln$ est concave sur $]0, +\infty[$ et en déduire que : $$\forall(a, b, c) \in ]0, +\infty[^3, \quad \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3}.$$ 4. Démontrer que $f$ admet un unique point critique sur l’ouvert $]0, +\infty[^2$, puis démontrer que $f$ admet un extremum global que l’on déterminera. 5. Écrire une fonction \texttt{factorielle(n)} qui renvoie la factorielle d’un entier $n \in \mathbb{N}$.} 6. On considère la fonction Python suivante \texttt{binom(n,p)} qui renvoie le coefficient binomial $\binom{n}{p}$ : \begin{verbatim} def binom(n, p): if not(0<= p <= n): return 0 return factorielle(n)//(factorielle(p)*factorielle(n-p)) \end{verbatim} Combien de multiplications sont effectuées lorsque l'on exécute \texttt{binom(30,10)}? Expliquer pourquoi il est possible de réduire ce nombre de multiplications à 20 ? Quel serait le type du résultat renvoyé si l'on remplaçait la dernière ligne de la fonction binom par \texttt{return factorielle(n)/(factorielle(p)*factorielle(n-p))}? 7. Démontrer que, pour $n \geq p \geq 1$, on a $$\binom{n}{p} = \frac{n}{p} \binom{n-1}{p-1}.$$ En déduire une fonction récursive \texttt{binom\_rec(n,p)} qui renvoie le coefficient binomial $\binom{n}{p}$. 8. Écrire une fonction non récursive \texttt{bernoulli(n)} qui renvoie une valeur approchée du nombre rationnel $b_n$. On pourra utiliser librement une fonction \texttt{binomial(n,p)} qui renvoie le coefficient binomial $\binom{n}{p}$. Par exemple \texttt{bernoulli(10)} renvoie $0.07575757575757576$ qui est une valeur approchée de $b_{10} = \frac{5}{66}$. 9. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $f_n$ la fonction définie sur $]1, +\infty[$ par : $$f_n(x) = \frac{1}{n^x}.$$ Pour tout $a > 1$ réel, démontrer que la série $\sum \ln a_n$ converge. 10. Démontrer que la fonction $\zeta$ est de classe $C^1$ sur $]1, +\infty[$, puis qu’elle est décroissante.} 11. La série de fonctions $\sum n f_n$ converge-t-elle uniformément sur $]1, +\infty[$ ? 12. Déterminer la limite de $\zeta$ en $+\infty$. 13. Soit $x > 1$. On pose : $$I(x) = \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^x}.$$ Démontrer que : $$I(x) \leq \zeta(x) \leq I(x) + 1.$$ En déduire un équivalent de $\zeta$ au voisinage de $1$. 14. Un premier lien avec l’arithmétique : pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on note $d_n$ le nombre de diviseurs de l’entier $n$. On pose $A = \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$ et on prend $x > 1$. Justifier que la famille $\left(\frac{1}{(ab)^x}\right)_{(a,b)\in A}$ est sommable et que sa somme vaut $\zeta(x)^2$. En déduire que : $$\zeta^2(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{d_n}{n^x}.$$ On pourra considérer la réunion $\bigcup_{n\in \mathbb{N}^*} A_n$ où $A_n = \{(a,b) \in A, ab = n\}$. 15. Soit $s > 1$ un réel fixé. On définit une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ par : $$\forall k \in \mathbb{N}^*, \quad P(X = k) = \frac{1}{\zeta(s) k^s}.$$ Démontrer que $\sum_{a=1}^{\infty} P(X=a) = 1$.} 16. Soient $a_1, a_2, \ldots, a_n$ dans $\mathbb{N}^*$ des entiers premiers entre eux deux à deux et $N \in \mathbb{N}^*$. Démontrer par récurrence sur $n$ que : $$(a_1 | N, a_2 | N, \ldots, a_n | N) \iff a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n | N.$$ Le résultat persiste-t-il si les entiers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sont seulement supposés premiers dans leur ensemble, c’est-à-dire lorsque leur PGCD vaut $1$ ? 17. En déduire que si $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sont des entiers de $\mathbb{N}^*$ premiers entre eux deux à deux, alors les événements $[X \in a_1\mathbb{N}^*], \ldots, [X \in a_n\mathbb{N}^*]$ sont mutuellement indépendants. On pourra noter $(b_1, \ldots, b_r)$ une sous-famille de la famille $(a_1, \ldots, a_n)$. 18. On note $(p_n)_{n\in\mathbb{N}^*} = (2, 3, 5, 7, 11, \ldots )$ la suite croissante des nombres premiers. Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, on note $B_n$ l’ensemble des $\omega \in \Omega$ tels que $X(\omega)$ n’est divisible par aucun des nombres premiers $p_1, p_2, \ldots, p_n$. Déduire des questions précédentes que : $$P(B_n) = \prod_{k=1}^n \left(1 – \frac{1}{p_k^s}\right).$ 19. Soit $\omega$ dans $\bigcap_{n \in \mathbb{N}^*} B_n$. Que vaut $X(\omega)$ ? En déduire que : $$\zeta(s) = \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{1}{p_k^s}}.$$ 20. On se propose, en application, de prouver que la série $\sum \frac{1}{p_n}$ des inverses des nombres premiers diverge. On raisonne pour cela par l’absurde en supposant que la série $\sum \frac{1}{p_n}$ converge. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$u_n = \prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac{1}{p_k}}.$$ Justifier que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$ et que l’on a pour tout réel $s > 1$, $l \geq \zeta(s)$. Conclure.}FAQ
Le sujet de Mathématiques CCINP MPI 2021 aborde des domaines classiques et incontournables des CPGE scientifiques, comme le calcul intégral (intégrales impropres, changement de variable), l’étude des séries (convergence, séries spéciales comme la série de Riemann), les fonctions spéciales (fonction zêta, logarithme), l’analyse réelle (continuité, dérivabilité, concavité), l’arithmétique (divisibilité, coefficients binomiaux, nombres premiers), les probabilités sur les entiers, ainsi que des questions d’algorithmique Python (factorielle, coefficients binomiaux, Bernoulli). Maîtriser ces bases te permettra d’aborder avec assurance d’autres annales et concours du même niveau.
Le sujet met en avant la fonction zêta de Riemann, centrale en mathématiques, non seulement du point de vue de l’analyse, mais aussi via ses liens avec l’arithmétique (nombres premiers, diviseurs d’un entier) et même la probabilité (loi définie sur les entiers reliée à la fonction zêta). Ce genre de transversalité est typique des concours scientifiques, car elle permet de tester ta capacité à faire des ponts entre différents chapitres et à mobiliser plusieurs outils en même temps. Tu retrouveras ce type de questions tout au long de ta prépa et lors des oraux !
Depuis la réforme des programmes, l’algorithmique et la programmation occupent une place centrale dans les épreuves de CPGE. Ici, on te demande de coder la factorielle, les coefficients binomiaux ou encore d’approximer un nombre de Bernoulli. L’objectif est de tester ta compréhension fine des mathématiques à travers leur mise en œuvre algorithmique et ta capacité à rédiger des programmes robustes, optimisés et mathématiquement corrects. Savoir basculer entre raisonnement théorique et programmation Python est devenu un incontournable en filière MPI. Si tu veux aller plus loin, débloque les corrigés de Prépa Booster pour accéder aux corrections détaillées, à des exercices supplémentaires et à ton dashboard personnalisé !
C’est une question classique du programme d’analyse en CPGE. La convergence simple signifie que, pour chaque point fixé, la suite de fonctions converge, mais la vitesse de convergence dépend du point. En revanche, la convergence uniforme garantit que la convergence a lieu de manière contrôlée sur tout un intervalle, ce qui permet d’intervertir passage à la limite et opérations (intégration, dérivation). Comprendre cette nuance est capital pour réussir de nombreuses questions, que ce soit sur les séries ou les suites de fonctions, comme celles rencontrées au CCINP.
Dans le sujet, la concavité de la fonction logarithme est utilisée pour démontrer des inégalités classiques comme l’inégalité arithmético-géométrique (AM-GM). Ce type de raisonnement autour des fonctions concaves (ou convexes) permet d’obtenir des majorations ou des minorations, ce qui est pratique pour l’encadrement de séries, d’intégrales ou d’autres quantités analytiques. Cette compétence est attendue pour les concours CPGE car elle montre ta capacité à exploiter intelligemment les propriétés qualitatives des fonctions, pas seulement leurs formules.
Le sujet aborde la divisibilité via la question des entiers premiers entre eux et le comptage du nombre de diviseurs d’un entier, outil fondamental en arithmétique. On étudie aussi la manière dont les diviseurs interviennent dans la somme de certaines séries et dans le calcul probabiliste, notamment avec la loi sur les entiers pondérée par la fonction zêta. Maîtriser les outils d’arithmétique modulaire en CPGE t’aide à comprendre la structure des entiers et à résoudre de nombreux problèmes transversaux.
Pour t’entraîner dans les meilleures conditions, alterne entre la résolution d’annales comme celle-ci, la rédaction de preuves rigoureuses et l’entraînement sur la partie algorithmique Python. N’hésite pas à t’intéresser à la théorie derrière les exercices : comprendre la motivation des questions et savoir en tirer les méthodes utiles pour des problèmes plus généraux. En débloquant les corrigés sur Prépa Booster, tu bénéficies d’exercices corrigés, de synthèses et d’un suivi personnalisé pour maximiser tes progrès.
Cette série est un objet emblématique intimement lié à la répartition des nombres premiers. Sa divergence, souvent étudiée au détour de la fonction zêta, montre qu’il y a « assez » de nombres premiers pour que leur somme diverge, même si les nombres premiers sont de moins en moins denses parmi les entiers. Ce genre de question permet d’aborder analyse, arithmétique, et approfondir la compréhension des séries et de la structure des entiers.