Questions du sujet
1. Q1. Démontrer que $\ell^\infty$ est un espace vectoriel réel et que l’application $u = (u_n)_{n\in\mathbb{N}^*} \longmapsto \|u\|$ est une norme sur $\ell^\infty$. 2. Q2. Pour $u = (u_n)_{n\in\mathbb{N}^*} \in \ell^\infty$, démontrer que la série de terme général $\frac{u_n}{3^n}$ est convergente.\\ On note alors :\\ $\sigma(u) = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{u_n}{3^n}$. 3. Q3. Démontrer que l’application $\sigma$ est une forme linéaire continue sur $\ell^\infty$. 4. Q4. Démontrer que si $t = (t_n)_{n\in\mathbb{N}^*} \in \mathcal{T}$, alors le réel $\sigma(t)$ est dans l’intervalle $[0,1]$. 5. Q5. On note $\tau = (\tau_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $\tau’ = (\tau’_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ les éléments de $\mathcal{T}$ définis par :\\ $\tau_1 = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus\{1\},\; \tau_n = 0$\\ $\tau’_1 = 0$ et $\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus\{1\},\; \tau’_n = 2$.\\ Calculer $\sigma(\tau)$ et $\sigma(\tau’)$. L’application $\sigma$ est-elle injective sur $\mathcal{T}$ ?} 6. Q6. Démontrer que $t(x) \in \mathcal{T}$, où $x \in [0,1[$ et $t(x)=(t_n(x))_{n\in\mathbb{N}^*}$ est défini par $t_n(x)=\lfloor 3^n x \rfloor – 3\lfloor 3^{n-1} x \rfloor$. 7. Q7. On définit deux suites réelles $(x_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ par :\\ $\forall n \in \mathbb{N}^*,\; x_n = \frac{\lfloor 3^n x \rfloor}{3^n}$ et $y_n = x_n+\frac{1}{3^n}$.\\ Démontrer que les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont adjacentes de limite $x$. En déduire que : $x = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t_n(x)}{3^n}$.\\ Que peut-on en conclure concernant l’application $ \begin{array}{cccc} & \mathcal{T} & \to & [0,1] \\ & u & \mapsto & \sigma(u) \end{array}$ ? 8. Q8. Informatique pour tous. Écrire en langage Python une fonction \verb+flotVersTern(n,x)+ d’arguments un entier naturel $n$ et un flottant $x$ et qui renvoie sous forme d’une liste les $n$ premiers chiffres $t_1(x),\dots,t_n(x)$ définis dans la question précédente du développement ternaire de $x$.\\ Par exemple \verb+flotVersTern(4,0.5)+ renvoie \verb+[1,1,1,1]+. 9. Q9. Informatique pour tous. Si $\ell = [\ell_1, \ldots, \ell_n]$ est une suite finie d’entiers de $\{0;1;2\}$, on la complète avec des 0 pour en faire un élément de $\mathcal{T}$ encore noté $\ell$.\\ Écrire en langage Python une fonction \verb+ternVersFlot(ℓ)+ d’arguments une liste d’entiers $\ell$.\\ Cette fonction renvoie en sortie le flottant $\sigma(\ell)$.\\ Par exemple \verb+ternVersFlot([1,1,1,1])+ renvoie $0.493827\ldots$ 10. Q10. Informatique pour tous. Si $\ell = [\ell_1, \ldots, \ell_n]$ est une suite finie d’entiers de $\{0;1;2\}$, on lui ajoute un élément égal à $-1$ si la somme $\ell_1 + \cdots + \ell_n$ est paire et un élément égal à $-2$ sinon. Ce dernier élément permet alors d’essayer de détecter d’éventuelles erreurs de transmission.\\ Écrire en langage Python une fonction \verb+ajout(ℓ)+ qui ajoute à la liste $\ell$ un élément comme expliqué précédemment et qui renvoie la nouvelle liste.\\ Écrire en langage Python une fonction \verb+verif(ℓ)+ qui renvoie True si la valeur du dernier élément de $\ell$ est correcte et False sinon.\\ Par exemple \verb+ajout([1,0,2,1,0])+ renvoie \verb+[1,0,2,1,0,-1]+ et \verb+verif([1,0,2,1,0,-2])+ renvoie False.} 11. Q11. Démontrer que $\varphi$ est définie et de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$. 12. Q12. Pour tout $x$ réel, justifier l’écriture : $\varphi(x)=\dfrac{1}{2} + \Re\left(\dfrac{e^{ix}}{3-e^{ix}}\right)$\\ et en déduire une expression simple de $\varphi(x)$ en fonction de $\sin(x)$ et $\cos(x)$. 13. Q13. Pour $x\in \mathbb{R}$, en déduire une expression simple de $\varphi(x)$ en fonction de $\cos(x)$. 14. Q14. À l’aide de l’expression précédente, démontrer que :\\ $\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(x)}{10-6\cos(x)}\,dx = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n3^n}$\\ puis, en calculant la somme de la série du second membre, en déduire la valeur de l’intégrale\\ $\int_{0}^{2\pi} \frac{\sin(x)}{10-6\cos(x)}\,dx$. 15. Q15. Retrouver cette valeur par un calcul direct.} 16. Q16. Démontrer que $X_N$ admet une espérance et une variance. Donner leur valeur en fonction de $N$. 17. Q17. Justifier que, pour tout $\epsilon > 0$ :\\ $\displaystyle\lim_{N\to+\infty} \mathbb{P}(|X_N – \mathbb{E}(X_N)| \geq \epsilon) = 0$ 18. Q18. Soit $\varepsilon > 0$, démontrer que :\\ \[ \mathbb{P}(|X_N -1| \geq \varepsilon) \leq \mathbb{P}\left(|X_N – \mathbb{E}(X_N)| \geq \frac{\varepsilon}{2}\right) + \mathbb{P}\left(|\mathbb{E}(X_N) -1 | \geq \frac{\varepsilon}{2}\right) \] En déduire que, pour tout $\varepsilon > 0$ :\\ $\displaystyle\lim_{N\to+\infty} \mathbb{P}(|X_N-1|\geq \varepsilon)=0$.} 19. Q19. Représenter l’allure graphique des fonctions $f_0, f_1$ et $f_2$ sur trois schémas différents (pour $f_2$ on envisagera sept sous-intervalles de $[0,1]$).\\ Pour tout $n \in \mathbb{N}$, démontrer que $f_n$ est à valeurs dans $[0,1]$. 20. Q20. Informatique. Écrire en langage Python une fonction récursive \verb+cantor(n,x)+ qui renvoie la valeur de $f_n(x)$. 21. Q21. Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, démontrer que :\\ $\forall x\in [0,1]$, $|f_{n+1}(x)-f_n(x)| \leq \dfrac{1}{3\times 2^{n+1}}$. 22. Q22. En déduire que la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformément sur $[0,1]$.\\ La limite de la suite de fonctions $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est notée $f$.\\ On l’appelle fonction de Cantor-Lebesgue. 23. Q23. Démontrer que la fonction $f$ est à valeurs dans $[0,1]$ et qu’elle est croissante et continue sur $[0,1]$. Démontrer aussi qu’elle est surjective de $[0,1]$ vers $[0,1]$.\\ La fonction $f$ est aussi nommée « escalier du diable ». Les développements ternaires étudiés en début de problème permettent d’obtenir une expression analytique de $f(x)$.}FAQ
L’espace $\ell^\infty$ est un espace vectoriel des suites réelles bornées : il rassemble toutes les suites $(u_n)$ telles qu’il existe une borne commune à tous les termes. C’est un exemple central d’espace vectoriel normé, souvent utilisé en analyse fonctionnelle pour ses propriétés de convergence, de linéarité et d’applications à la théorie des séries. Cette notion revient souvent en maths de prépa et dans des sujets comme celui du concours CCINP.
Le développement ternaire permet d’exprimer tout réel de l’intervalle $[0,1]$ sous la forme d’une série en puissances de $1/3$, avec des coefficients dans $\{0, 1, 2\}$. Il apparaît dans de nombreux exercices de maths ayant trait aux notions de suites, séries, applications linéaires, et fonctions caractéristiques (comme la fonction de Cantor-Lebesgue). C’est un outil puissant pour aborder la construction de fonctions exotiques et comprendre la structure de certains ensembles.
Une forme linéaire continue sur un espace vectoriel normé (comme $\ell^\infty$) est une application qui respecte la linéarité et dont les variations restent bornées (elle est donc continue pour la topologie de l’espace). En concours, on s’en sert pour explorer la stabilité de certaines opérations sur les suites et la pertinence d’outils d’analyse avancée comme le théorème de Banach-Steinhaus. Maîtriser ces notions, c’est viser l’excellence en analyse pour les épreuves orales et écrites.
Dans ce sujet, plusieurs questions invitent à traduire les procédures mathématiques en code Python. C’est exactement ce qui t’est demandé en informatique pour tous : manipuler les développements ternaires, calculer les sommes associées, ou encore vérifier des propriétés liées à des outils de correction d’erreurs. Cela permet d’articuler raisonnement mathématique et implémentation algorithmique, compétence essentielle en maths-info et pour les concours d’aujourd’hui. Débloquer le corrigé sur Prépa Booster te permet de voir ces algos entièrement commentés et reliés à la théorie.
La fonction de Cantor-Lebesgue est une application continue, croissante, surjective de $[0,1]$ dans $[0,1]$, mais qui est ‘plate’ sur de grands intervalles. Elle illustre comment une fonction peut être continue sans être dérivable sur un ensemble non dénombrable de points. Elle s’obtient naturellement à partir du développement ternaire, et c’est un classique des concours qui mêle analyse, suites, séries et programmation.
Les calculs d’intégrales qui font intervenir $\sin(x)$ et $\cos(x)$, souvent avec des fractions rationnelles, servent à illustrer les liens entre analyse réelle et complexe (résidus, développement en série), et sont indissociables de la préparation aux épreuves MPI CCINP. Ce type de question est un grand classique : tu pourras t’entraîner sur des exercices similaires en débloquant le corrigé avec Prépa Booster.
Analyser la convergence uniforme d’une suite de fonctions $(f_n)$ consiste à vérifier que $f_n$ s’approche de la fonction limite $f$ indépendamment du point $x$. Ce raisonnement est primordial dans les problèmes d’analyse, comme celui sur la fonction de Cantor-Lebesgue. C’est une technique incontournable à maîtriser en vue de l’écrit comme de l’oral.
Oui, certaines questions concernent la définition, l’étude de l’espérance et de la variance d’une variable aléatoire $(X_N)$, et l’utilisation d’inégalités comme celle de Bienaymé-Tchebychev. Ces outils probabilistes sont essentiels en MPI, ils montrent la transversalité entre analyse et probabilités dans les concours CCINP.
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