Questions du sujet
1. Justifier que la fonction $f$ est intégrable sur $]0,+\infty[$ puis, à l’aide d’un théorème d’intégration terme à terme, calculer l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{1}{t}e^{-t}\,dt$. 2. Démontrer que l’intervalle $]-1,1[$ est inclus dans l’ensemble de définition de la fonction $G_X$. Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$. On pose $S = X_1 + X_2$, démontrer que pour tout $t \in ]-1,1[$, $G_S(t) = G_{X_1}(t)G_{X_2}(t)$ par deux méthodes : l’une utilisant le produit de Cauchy de deux séries entières et l’autre utilisant uniquement la définition $G_X(t) = \mathbb{E}(t^X)$. On généralise ce résultat, que l’on pourra utiliser dans la question suivante, à $n$ variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$ (on ne demande pas de preuve de cette récurrence). 3. Un sac contient quatre boules : une boule numérotée 0, deux boules numérotées 1 et une boule numérotée 2. On effectue $n$ tirages d’une boule avec remise et on note $S_n$ la somme des numéros tirés. Déterminer pour tout $t \in ]-1,1[$, $G_{S_n}(t)$ et en déduire la loi de $S_n$. 4. Si $x \in ]-1,1[$, donner un équivalent de $1-x^n$ pour $n$ au voisinage de $+\infty$. Démontrer que pour tout $x \in ]-1,1[$, la série $\sum_{n\geq1} \frac{a_n x^n}{1 – x^n}$ converge absolument. \emph{Remarque : la série $\mathcal{L}_a$ peut parfois converger en dehors de l’intervalle $]-1,1[$. Donner un exemple de suite $(a_n)_{n \geq 1}$ telle que la série $\mathcal{L}_a$ converge en au moins un $x_0$ n’appartenant pas à l’intervalle $]-1,1[$.} 5. Démontrer que la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} \frac{a_n x^n}{1 – x^n}$ converge uniformément sur tout segment $[-b, b]$ inclus dans l’intervalle $]-1,1[$.} 6. On pose, pour tout $x \in ]-1,1[$, \[ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n x^n}{1-x^n}. \] Justifier que la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $]-1,1[$ et démontrer ensuite que la fonction $f$ est de classe $C^1$ sur l’intervalle $]-1,1[$. Donner la valeur de $f'(0)$. 7. Expression sous forme de série entière On note $A^* = \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$. Lorsque $(u_{n,p})_{(n,p)\in A^*}$ est une famille sommable de réels, justifier que \[ \sum_{k=1}^{+\infty} \ \sum_{(n,p)\in I_k} u_{n,p} = \sum_{n=1}^{+\infty} \ \sum_{p=1}^{+\infty} u_{n,p}, \] où $I_k = \{(n,p)\in A^* \mid k=n p\}$. Démontrer que pour tout $x \in ]-1,1[$, la famille $(a_n x^{n p})_{(n,p)\in A^*}$ est sommable. En déduire que pour tout $x \in ]-1,1[$, \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n x^n}{1-x^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} \, b_n x^n \] où $b_n = \sum_{d \mid n} a_d$ ($d \mid n$ signifiant $d$ divise $n$). 8. Dans cette question, pour $n \geq 1$, $a_n = 1$ et on note $d_n$ le nombre de diviseurs de $n$. Exprimer, pour tout $x \in ]-1,1[$, \[ f(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{1-x^n} \] comme la somme d’une série entière. 9. Dans cette question, pour $n \geq 1$, $a_n = \varphi(n)$ où $\varphi(n)$ est le nombre d’entiers naturels premiers avec $n$ et inférieurs à $n$. Justifier que la série entière $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n x^n$ est de rayon $1$. On admet que pour $n \geq 1$, $n = \sum_{d \mid n} \varphi(d)$. Vérifier ce résultat pour $n=12$. Pour $x \in ]-1,1[$, exprimer \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\varphi(n) x^n}{1-x^n} \] sous la forme d’un quotient de deux polynômes. 10. En utilisant le théorème de la double limite, établir à l’aide du développement en série entière de la fonction $x \mapsto \ln(1+x)$ sur l’intervalle $]-1,1[$, la valeur de la somme \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \] .} 11. Dans cette question et la suivante, pour $n \geq 1$, $a_n = (-1)^n$ et pour tout $x \in ]-1,1[$, \[ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n x^n}{1-x^n}. \] En utilisant le théorème de la double limite, calculer $\lim_{x \to 0} f(x)$ et donner un équivalent de $f(x)$ au voisinage de $0$. Retrouver le dernier résultat de la question Q6. 12. Démontrer qu’au voisinage de $1$, $\ln\frac{2}{1-x} \sim f(x)$. On pourra remarquer que pour $x \in ]0,1[$, \[ \frac{1}{1-x^n} = 1 + x^n + x^{2n} + … \] }FAQ
Dans ce sujet, tu es amené à manipuler l’intégration sur des intervalles non bornés, l’étude des séries entières, leur convergence absolue et uniforme, ainsi que la continuité et la dérivabilité de fonctions définies par séries. Tu verras aussi comment passer à la limite ou dériver sous le signe somme ou intégrale grâce à des théorèmes classiques de l’analyse. Ces outils sont fondamentaux pour maîtriser la rigueur attendue en CPGE scientifique.
Dans le sujet CCINP 2019 pour la filière MPI, les fonctions génératrices des lois discrètes sont exploitées pour étudier la somme de variables aléatoires indépendantes, avec des applications directes à des tirages dans un sac de boules. C’est l’occasion parfaite de manipuler des séries entières et le produit de Cauchy, deux outils essentiels pour relier analyse et probabilités. Cela te prépare aussi à distinguer méthodiquement les cas d’indépendance et de dépendance.
Ici, on te demande de justifier la sommabilité d’une famille sur ℕ* × ℕ*. Tu dois croiser convergence de séries doubles, échange de somme, et éventuellement regrouper sur les diviseurs. Ce travail te forme à manipuler soigneusement la sommation sur des ensembles indexés (comme avec la décomposition sur les diviseurs), ce qui revient souvent en analyse avancée et en arithmétique. Le sujet t’incite aussi à maîtriser la réécriture en série entière.
En CPGE, tout exercice de série entière te demande d’aller plus loin que son simple calcul de rayon de convergence. Savoir si ta fonction série est continue ou de classe C¹ sur un intervalle est crucial pour pouvoir justifier le passage à la limite ou à la dérivée sous le signe somme. C’est justement ce que le sujet CCINP MPI 2019 te fait travailler ! Une bonne maîtrise de ces propriétés est indispensable pour apprendre à rédiger clairement et à t’éviter tout piège classique lors d’une composition.
Tu vas croiser dans ce sujet des séries liées au nombre de diviseurs d’un entier ou à la fonction indicatrice d’Euler ϕ(n). Ces séries, très classiques, te forcent à travailler les liens entre analyse (comportement des séries entières) et arithmétique (sommation sur les diviseurs, relations de Möbius). Maîtriser ces notions est un vrai atout pour les oraux et pour comprendre en profondeur les raisonnements des épreuves de concours scientifiques.
Oui, ce sujet illustre parfaitement la transversalité attendue aux écrits de la filière MPI du CCINP : mêler analyse, probabilités et un zeste d’arithmétique, tout en maîtrisant les techniques fondamentales de convergence, de séries, et de fonctions génératrices. C’est justement ce qui te prépare à aborder avec sérénité tous les exercices difficiles que tu pourrais rencontrer. Pour t’entraîner efficacement, tu peux débloquer les corrigés sur Prépa Booster et t’immerger dans nos corrections détaillées et notre dashboard sur-mesure !