Questions du sujet
1. Justifier que les fonctions $f$ et $g$ sont différentiables en tout vecteur $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ et écrire la matrice jacobienne de $f$ puis de $g$ en $(x, y)$. 2. Pour $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, déterminer l’image d’un vecteur $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ par l’application linéaire $d(f \circ g)((x, y))$ en utilisant les deux méthodes suivantes :\\ 1. en calculant $f \circ g$ ;\\ 2. en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes. 3. Démontrer que la famille $\left(\frac{1}{p^2 q^2}\right)_{(p, q) \in A}$ est sommable et calculer sa somme. 4. Démontrer que la famille $\left(\frac{1}{p^2 + q^2}\right)_{(p, q) \in A}$ n’est pas sommable. 5. Démontrer que la série trigonométrique $\left(\frac{1}{2^n} \cos(nx) + \frac{1}{3^n} \sin(nx)\right)$ converge normalement sur $\mathbb{R}$. Pour tout entier $p \geq 2$, déterminer la somme de la série $\sum_{n \geq 0}\left(\frac{e^{ix}}{p}\right)^n$ puis en déduire la valeur de $\sum_{n = 0}^{+ \infty} \left(\frac{1}{2^n} \cos(nx) + \frac{1}{3^n} \sin(nx)\right)$ (il n’est pas utile de réduire au même dénominateur).} 6. Écrire la fonction $\varphi : x \mapsto \exp(\cos x)\cos(\sin x)$ comme la somme d’une série trigonométrique. On pourra écrire la fonction $x \mapsto \exp(e^{ix})$ comme la somme d’une série de fonctions. 7. Donner un exemple de suite $(a_n)$ de limite nulle, telle que la série trigonométrique $\sum a_n \cos(nx)$ ne converge pas simplement sur $\mathbb{R}$. 8. On admet que la série trigonométrique $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{\sqrt{n}} \sin(nx)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$. Converge-t-elle normalement sur $\mathbb{R}$ ? 9. Démontrer que si les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont absolument convergentes, alors la série trigonométrique $\sum (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$ converge normalement sur $\mathbb{R}$. 10. Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques. Démontrer que le maximun sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto |a \cos x + b \sin x|$ est $\sqrt{a^2 + b^2}$.} 11. Démontrer que si la série trigonométrique $\sum [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]$ converge normalement sur $\mathbb{R}$, alors les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent vers $0$ et les séries $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont absolument convergentes. 12. On note $f$ la somme d’une série trigonométrique $\sum [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]$ qui converge normalement sur $\mathbb{R}$. Justifier que $f \in C_{2\pi}$. 13. Calculer $\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(nx)\, dx$ pour $n \neq 0$ et donner la valeur de $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(kx)\cos(nx)\, dx$ pour $k \neq n$. 14. On note $f$ la somme d’une série trigonométrique $\sum [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]$ qui converge normalement sur $\mathbb{R}$ : pour tout réel $x$, $f(x)= \sum_{k=0}^{+\infty} [a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)]$. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul $\alpha_n(f) = a_n$ puis exprimer $\alpha_0(f)$ en fonction de $a_0$. On pourra utiliser sans démonstration que pour $k \neq n$ : \[ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(kx)\cos(nx)\,dx = 0. \] On admettra, pour la suite du problème, que pour tout entier naturel $n$ non nul $\beta_n(f) = b_n$ et $\beta_0(f) = 0$ (la démonstration n’est pas demandée). 15. Soit $f \in C_{2\pi}$. Pour tout réel $x$, on pose $u_0(x) = \frac{\alpha_0(f)}{2}$. Pour tout entier $n \geq 1$, on pose $u_n(x) = \alpha_n(f) \cos(nx) + \beta_n(f) \sin(nx)$. On suppose ici que la série trigonométrique $\sum u_n(x)$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ vers une fonction notée $g$ : \[ \text{pour tout réel } x,\quad g(x) = \frac{\alpha_0(f)}{2} + \sum_{k=1}^{+\infty}\left[\alpha_k(f)\cos(kx) + \beta_k(f)\sin(kx)\right]. \] Quelles relations a-t-on dans ce cas entre $\alpha_n(g)$ et $\alpha_n(f)$ ? $\beta_n(g)$ et $\beta_n(f)$ ?} 16. Il est admis que si une fonction $h \in C_{2\pi}$ vérifie, pour tout entier naturel $n$ : $\alpha_n(h) = \beta_n(h) = 0$, alors $h$ est la fonction nulle. Démontrer que pour tout réel $x$, $g(x) = f(x)$.\\ En résumé, lorsque la série trigonométrique $\sum \left[\alpha_n(f)\cos(nx) + \beta_n(f)\sin(nx)\right]$ d’une fonction $f \in C_{2\pi}$ converge normalement sur $\mathbb{R}$, pour tout réel $x$, on a : \[ f(x) = \frac{\alpha_0(f)}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}\left[\alpha_n(f)\cos(nx) + \beta_n(f)\sin(nx)\right]. \] 17. Si $f \in C_{2\pi}$ est une fonction paire, que vaut $\beta_n(f)$~? Exprimer, sans démonstration, $\alpha_n(f)$ en fonction de l’intégrale $\int_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$. 18. Exemple. Soit $f \in C_{2\pi}$ définie ainsi : pour tout $x \in [-\pi, \pi]$, $f(x) = x^2$ et $f$ est $2\pi$-périodique sur $\mathbb{R}$. Construire la courbe de cette fonction paire $f$ sur l’intervalle $[-3\pi, 3\pi]$ puis déterminer, pour tout entier naturel, les coefficients $\alpha_n(f)$ et $\beta_n(f)$. Donner une série trigonométrique qui converge normalement sur $\mathbb{R}$ vers $f$. 19. En déduire les sommes : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$. Déduire alors de $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ la somme $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n + 1)^2}$. 20. Application. Justifier que la fonction $x \mapsto \frac{\ln(1 + x)}{x}$ est intégrable sur l’intervalle $]0, 1[$ puis démontrer que $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x} dx = \frac{\pi^2}{12}$.} 21. La somme d’une série trigonométrique qui converge normalement sur $\mathbb{R}$ est-elle nécessairement une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ ?\\ Proposer une condition suffisante sur les séries $\sum n a_n$ et $\sum n b_n$ pour que la somme de la série trigonométrique $\sum [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]$, qui converge normalement sur $\mathbb{R}$, soit une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. 22. Déterminer la somme de la série trigonométrique $\sum n 3^{-n} \cos(nx)$.}FAQ
Pour briller à cette épreuve de mathématiques du concours CCINP, filière MPI, il faut être à l’aise avec l’analyse différentiable à plusieurs variables (Jacobienne, différentielle), la sommabilité de familles, la convergence de séries trigonométriques, la théorie de Fourier, et la manipulation des intégrales. La maîtrise des arguments de convergence normale et simple ainsi que l’utilisation des identités trigonométriques et l’étude de la régularité des fonctions sont centrales. Pour accéder au corrigé détaillé, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
La convergence normale d’une série de fonctions signifie que les sommes partielles forment une suite de fonctions qui converge uniformément. Concrètement, ça garantit que tu peux sommer et manipuler terme à terme. En analyse de Fourier, c’est la clé pour assurer la continuité ou la dérivabilité de la somme de la série trigonométrique. Cette notion tombe régulièrement dans les questions de concours, donc autant la maîtriser parfaitement.
Les matrices jacobiennes et les différentielles sont des outils fondamentaux pour étudier les fonctions multivariables. Elles permettent d’exprimer localement une application en linéaire, de calculer des dérivées de compositions de fonctions (formule de la chaîne), ou encore d’étudier des changements de variables. Dans un sujet comme celui du CCINP MPI 2017, c’est incontournable pour l’analyse locale et plus généralement pour tous les problèmes où l’on manipule les espaces vectoriels de dimension supérieure à 1.
La convergence absolue d’une série trigonométrique signifie que la série des valeurs absolues des coefficients converge, ce qui est une condition forte et implique la convergence normale. La convergence simple, elle, est plus faible et signifie seulement que pour chaque x, la série de fonctions converge. Retenir cette différence te permet de détecter d’éventuels pièges dans les questions de séries, où il est parfois demandé de voir si une série converge normalement ou non.
Les coefficients de Fourier traduisent le contenu fréquentiel d’une fonction périodique ; ils te permettent de décomposer toute fonction régulière (sous certaines conditions) en série trigonométrique. Les intégrales sur $[-\pi, \pi]$ ou $[0, \pi]$ apparaissent naturellement dans le calcul de ces coefficients pour assurer l’orthogonalité des bases trigonométriques, une propriété souvent exploitée dans les questions de concours pour identifier les coefficients ou montrer que certains sont nuls.
Une famille $(a_{p,q})$ est dite sommable si la somme de toutes ses valeurs est finie, c’est-à-dire si la série double converge absolument. Certaines familles, comme celle associée à $1/(p^2 + q^2)$, ne sont pas sommables parce que la décroissance des termes n’est pas suffisamment rapide pour compenser la croissance de l’ensemble d’indices. Généralement, cela renvoie à la maîtrise des critères de convergence des séries à plusieurs indices, qui sont très utiles pour aborder les familles de fonctions en analyse.
Une fonction obtenue comme somme d’une série trigonométrique converge normalement appartient à $C_{2\pi}$, c’est-à-dire qu’elle est continue et $2\pi$-périodique. Cette question est un grand classique des problématiques sur les séries de Fourier, qui tombe régulièrement dans les sujets d’écrit en CPGE scientifique.
Parce qu’une série trigonométrique qui converge normalement ne donne pas forcément une fonction dérivable ! Il faut en plus s’assurer que la série obtenue en multipliant chaque terme par n (pour dériver sous le signe somme) soit elle-même normalement convergente. Ces conditions sont classiques à maîtriser pour éviter les pièges dans les preuves de dérivabilité à partir d’une série.
Le CCINP, filière MPI, se distingue par la richesse de ses sujets de mathématiques. Les épreuves insistent sur la rigueur de la justification, la maîtrise des outils d’analyse avancée, l’esprit de synthèse et les calculs précis. Des notions comme les séries de Fourier, les séries à plusieurs indices et les différentielles trouvent une place de choix. Pour t’entraîner efficacement et viser une réussite, accéder aux corrigés rédigés et détaillés de Prépa Booster est un vrai plus pour ton parcours !