Questions du sujet
1. I.1. Existe-t-il des solutions non nulles de l’équation (E) développables en série entière sur un intervalle \( ]-r, r[ \) (\( r > 0 \)) de \(\mathbb{R}\) ? 2. II.1. Démontrer que la famille \( \left( \frac{i+j}{2^{i+j}} \right)_{(i, j) \in \mathbb{N}^2} \) est sommable et calculer sa somme. 3. II.2. Soit \( X \) et \( Y \) deux variables aléatoires sur un même espace probabilisé à valeurs dans \( \mathbb{N} \). On suppose que la loi conjointe du couple \((X,Y)\) vérifie :\\ pour tout \((i, j) \in \mathbb{N}^2,\quad \mathbb{P}(X = i, Y = j) = \mathbb{P}[(X = i) \cap (Y = j)] = \frac{i+j}{2^{i+j+3}}.\) 4. II.2.a. Vérifier que la relation ci-dessus définit bien une loi conjointe. 5. II.2.b. Démontrer que les variables aléatoires \( X \) et \( Y \) suivent une même loi.} 6. II.2.c. Les variables aléatoires \( X \) et \( Y \) sont-elles indépendantes ? 7. III.1.a. Soit \( x \in ]0, +\infty[ \), démontrer que la fonction \( t \mapsto \frac{e^{-t}}{t^{x-1}} \) est intégrable sur \( ]0, +\infty[ \). 8. III.1.b. On note, pour tout \( x \in ]0, +\infty[ \), \( \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{x-1}\,dt \) (fonction Gamma d’Euler). Démontrer que pour tout \( x \in ]0, +\infty[ \), \( \Gamma(x) > 0 \). 9. III.1.c. Démontrer que la fonction \( \Gamma \) est dérivable sur \( ]0, +\infty[ \) puis exprimer \( \Gamma'(x) \) sous forme d’intégrale. 10. III.2.a. Utiliser un théorème du cours pour justifier simplement que la série \( \sum_{n \geq 2} u_n \) converge, où \( u_n = \int_{n-1}^n \frac{1}{t}\,dt – \frac{1}{n} \) pour tout entier \( n \geq 2 \).} 11. III.2.b. Pour tout entier \( n \geq 1 \), on pose \( H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \ln(n) \). Démontrer que la suite \( (H_n)_{n \geq 1} \) converge. 12. III.3.a. Démontrer que pour tout \( x < 1 \), \( \ln(1-x) \leq -x \). En déduire que pour tout entier \( n \geq 1 \), pour tout \( x \in ]0, +\infty[ \) et tout \( t \in ]0, +\infty[ \), \( 0 \leq f_n(t) \leq \frac{e^{-t}}{t^{x-1}} \), où \( f_n(t) = \left( 1-\frac{t}{n} \right)^n t^{x-1} \) pour \( t \in ]0, n] \) et \( f_n(t) = 0 \) pour \( t \in ]n, +\infty[ \). 13. III.3.b. En utilisant le théorème de convergence dominée, démontrer que pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \), \[ \Gamma(x) = \lim_{n \to +\infty} \int_0^n \left( 1 - \frac{t}{n} \right)^n t^{x-1} dt. \] 14. III.4.a. On pose, pour tout entier naturel \( n \) et pour \( x \in ]0,+\infty[ \), \( I_n(x) = \int_0^1 (1-u)^n u^{x-1} du \). Après avoir justifié l’existence de l’intégrale \( I_n(x) \), déterminer, pour \( x > 0 \) et pour \( n \geq 1 \), une relation entre \( I_n(x) \) et \( I_{n-1}(x+1) \). 15. III.4.b. En déduire, pour \( n \) entier naturel et pour \( x \in ]0,+\infty[ \), une expression de \( I_n(x) \).} 16. III.4.c. Démontrer que, pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \), \[ \Gamma(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n! n^x}{\prod_{k=0}^n (x+k)} \] (formule de Gauss). 17. III.5. Pour tout entier \( n \geq 1 \), on note toujours \( H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} – \ln(n) \). En remarquant que pour \( n \geq 1 \) et \( x \in ]0,+\infty[ \), \[ \frac{1}{n^x} \prod_{k=1}^n \left( 1+\frac{x}{k} \right) = \exp(x H_n) \prod_{k=1}^n \left( 1+\frac{x}{k} \right) \exp\left(-\frac{x}{k}\right), \] démontrer que pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \), \[ \frac{1}{\Gamma(x)} = x e^{\gamma x} \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^n \left( 1+\frac{x}{k} \right) \exp\left(-\frac{x}{k}\right) \] (formule de Weierstrass). 18. III.6.a. En déduire que la série \( \sum_{k \geq 1} \left( \ln\left(1+\frac{x}{k}\right) – \frac{x}{k} \right) \) converge simplement sur \( ]0,+\infty[ \). 19. III.6.b. On pose, pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \), \( g(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} \left( \ln\left(1+\frac{x}{k}\right) – \frac{x}{k} \right) \). Démontrer que l’application \( g \) est de classe \( C^1 \) sur \( ]0,+\infty[ \) et exprimer \( g'(x) \) comme somme d’une série de fonctions. 20. III.6.c. En déduire que, pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \), \[ \psi(x) = -\frac{1}{x} – \gamma + \sum_{k=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+x} \right) \] On rappelle que pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \), \( \psi(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} \). } 21. III.7.a. Que vaut \( \psi(1) \) ? En déduire la valeur de l’intégrale \( \int_0^{+\infty} e^{-t} \ln(t) dt \). 22. III.7.b. Calculer, pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \), \( \psi(x + 1) – \psi(x) \) puis démontrer que, pour tout entier \( n \geq 2 \), \[ \psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}. \] 23. III.7.c. On pose, pour tout \((x, y) \in ]0,+\infty[^2\) et \( k \) entier naturel, \( j_k(y) = \frac{1}{k+y+1} – \frac{1}{k+y+x} \). Démontrer que la série \( \sum_{k \geq 0} j_k \) converge uniformément sur \( ]0,+\infty[ \). En déduire \(\lim_{n \to +\infty} (\psi(x+n)-\psi(1+n))\). 24. III.8. Déterminer l’ensemble des applications \( f \) définies sur \( ]0,+\infty[ \) et à valeurs réelles vérifiant les trois conditions : \begin{itemize} \item \( f(1) = -\gamma \), \item pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \), \( f(x+1) = f(x) + \frac{1}{x} \), \item pour tout \( x \in ]0,+\infty[ \), \( \lim_{n \to +\infty} (f(x+n) – f(1+n)) = 0 \). \end{itemize} 25. III.9.a. Une urne contient \( n \) boules numérotées de 1 à \( n \). On effectue un premier tirage d’une boule dans l’urne et on adopte le protocole suivant :\\ si on a tiré la boule numéro \( k \), on la remet alors dans l’urne avec \( k \) nouvelles boules toutes numérotées \( k \).\\ Par exemple, si on a tiré la boule numéro 3, on remet quatre boules de numéro 3 dans l’urne (la boule tirée plus 3 nouvelles boules numéro 3).\\ On effectue ensuite un deuxième tirage d’une boule.\\ On note \( X \) (respectivement \( Y \)) la variable aléatoire égale au numéro de la boule choisie au premier tirage (respectivement au deuxième tirage).\\ Déterminer la loi de la variable aléatoire \( X \) ainsi que son espérance \( \mathbb{E}(X) \). } 26. III.9.b. Déterminer la loi de la variable aléatoire \( Y \) et vérifier que pour tout entier naturel non nul \( k \), \[ \mathbb{P}(Y = k) = \frac{1}{n} \left[ \psi(2n+1) – \psi(n+1) + \frac{k}{n+k} \right]. \] 27. III.9.c. Calculer l’espérance \( \mathbb{E}(Y) \). On pourra utiliser, sans démonstration, que \( \sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n(n+k)} = 1-n^2+n(\psi(2n+1)-\psi(n+1)). \) }FAQ
Dans l’épreuve CCINP Maths MPI 2016, tu retrouves des notions fondamentales comme les séries numériques et séries doubles, les probabilités sur les lois discrètes et lois conjointes, l’indépendance de variables aléatoires, l’intégration (notamment impropre), la fonction Gamma d’Euler, la formule de Gauss et de Weierstrass, le théorème de convergence dominée, le développement en série entière, les inégalités logarithmiques, ainsi qu’un exercice de probabilités avec tirage d’urne. Maîtriser toutes ces compétences est crucial pour performer le jour J. Découvre le corrigé complet en débloquant les corrigés sur Prépa Booster !
La fonction Gamma d’Euler s’écrit \( \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{x-1}\,dt \). C’est une généralisation de la factorielle à tout réel strictement positif (puisque \( \Gamma(n) = (n-1)! \) pour un entier naturel). Elle intervient dans de nombreux domaines des mathématiques, comme les calculs d’intégrales, les estimations asymptotiques, les probabilités (notamment lois gamma, beta ou chi²), et de nombreuses formules classiques du supérieur. Savoir la manipuler te met vraiment sur un piédestal au concours !
Les séries doubles, comme celles qu’on rencontre dans ce sujet, exigent rigueur et méthode : commence par vérifier la sommabilité (absolue ou non), repère si la série est à support fini ou infini sur \( \mathbb{N}^2 \), puis envisage une transformation judicieuse (changement d’indices, sommation par diagonale, etc.). Garde une attention particulière aux symétries de l’expression pour simplifier et accélérer le calcul. Si tu veux découvrir chaque étape de résolution par un prof, débloque les corrigés écrits sur Prépa Booster !
Le théorème de convergence dominée (TCD) permet d’intervertir limite et intégrale dans un grand nombre de situations, à condition de trouver une domination uniforme par une fonction intégrable. Il est omniprésent dans les sujets de concours, surtout pour démontrer des formules limites ou calculer des intégrales paramétrées. Savoir le citer et l’appliquer proprement, avec justification, est un vrai plus pour cartonner en maths en CPGE !
Travaille d’abord la compréhension globale du sujet, puis cible les résultats classiques à maîtriser (séries, intégrales, lois de probas). Identifie les difficultés conceptuelles, entraîne-toi sur des exercices similaires et relis les corrections pour comprendre la logique employée. Sur Prépa Booster, le dashboard te permet de cibler tes lacunes : pense à débloquer l’accès pour profiter des corrigés détaillés, des méthodes et d’un suivi personnalisé adapté à ton niveau.
Sois méthodique : commence toujours par lire tout le sujet pour repérer les parties classiques (séries, probas, intégrales), traite-les en priorité. Prends bien le temps de rédiger, car la rigueur des démonstrations compte. Pratique régulièrement les sujets type concours passés, c’est le meilleur entraînement. Et n’hésite pas à t’entourer : corriger tes copies avec un prof ou utiliser des plateformes comme Prépa Booster pour voir les corrigés et progresser plus vite !
Les exercices d’urnes à tirages successifs modélisent des situations à étape avec modification de population, idéales pour mobiliser calculs des lois conditionnelles, indépendance, espérance, voire des liens avec des suites ou des fonctions spéciales comme la fonction \( \psi \) dans ce sujet. C’est un grand classique pour vérifier ta compréhension des bases de la théorie des probabilités et des manipulations de variables aléatoires discrètes.