Questions du sujet
1. (a) Démontrer que $||\cdot||$ définit une norme sur $E$. \\ De même, $||\cdot||’$ est une norme sur $E$, il est inutile de le démontrer. 2. (b) \textit{i.} Donner la définition de deux normes équivalentes. \\ \textit{ii.} Démontrer que les deux normes $||\cdot||$ et $||\cdot||’$ sont équivalentes sur $E$. 3. 2. Toutes les normes sur $E$ sont-elles équivalentes à la norme $||\cdot||$ ? 4. 1. Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et une application $I\times J$ dans $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x\in I$, la fonction $t\mapsto g(x,t)$ soit intégrable sur $J$.\\ On pose, pour tout $x\in I$, $f(x)=\int_J g(x,t)dt$.\\ Donner toutes les hypothèses du théorème de continuité d’une fonction définie par intégrale dépendant d’un paramètre permettant de conclure que la fonction $f$ est continue sur $I$. 5. 2. On pose, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f_1(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{1+t^2}dt$.\\ Démontrer que la fonction $f_1$ est continue sur $\mathbb{R}$.} 6. 3. On pose, pour tout $x \in [0,+\infty[$, $f_2(x) = \int_0^{+\infty} x e^{-xt}dt$.\\ Calculer $f_2(x)$ pour tout $x \in [0,+\infty[$.\\ La fonction $f_2$ est-elle continue sur $[0,+\infty[$ ?\\ Que peut-on en conclure concernant l’hypothèse de domination ? 7. Calculer l’intégrale curviligne \[\int_\gamma \frac{-y}{x^2+y^2}dx + \frac{x}{x^2+y^2}dy\] le long du cercle $\gamma$ de centre $0$ et de rayon $1$, orienté dans le sens direct. 8. 1. (a) Rappeler la définition de la convergence normale de la série de fonctions $\sum f_n$ sur $I$. 9. (b) On suppose que la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $I$, démontrer que $\sum f_n$ converge absolument sur $I$. 10. 2. On suppose que la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $I$, démontrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $I$.\\ On pourra démontrer que la suite des restes converge uniformément sur $I$ vers la fonction nulle en utilisant toute autre méthode.} 11. 3. On pose pour $x \in [0;1]$, $f_n(x) = (-1)^n \left(\frac{x^2+n}{n^2}\right)$.\\ Démontrer que la série de fonctions $\sum f_n$ converge simplement puis converge uniformément sur $[0;1]$ mais ne converge absolument en aucune valeur de $[0;1]$. 12. 4. Si la série de fonctions $\sum f_n$ converge absolument sur $I$, a-t-on nécessairement $\sum f_n$ qui converge uniformément sur $I$ ?\\ On attend une réponse détaillée et on pourra utiliser une série entière. 13. 5. Justifier que la suite $(\alpha_n)_{n\geq 1}$ est bornée et que la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_n$ converge simplement sur $I$. 14. 6. (a) Calculer pour $n \geq 1$, $||f_n||_\infty = \sup_{x \in I} |f_n(x)|$. 15. (b) Démontrer que la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_n$ converge normalement sur $I$ si et seulement si la série de réels positifs $\sum_{n \geq 1} \frac{\alpha_n}{n}$ converge.} 16. 7. (a) Calculer pour tout $x \in I$, $\sum_{k=n+1}^{\infty} x^k$. 17. (b) Si on suppose que la suite $(\alpha_n)_{n\geq 1}$ converge vers $0$, démontrer que la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_n$ converge uniformément sur $I$.\\ On pourra observer que pour $k \geq n+1$, $\alpha_k \leq \alpha_{n+1}$. 18. (c) Réciproquement, démontrer que si la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_n$ converge uniformément sur $I$, alors la suite $(\alpha_n)_{n\geq 1}$ converge vers $0$. 19. 8. Dans chacun des cas suivants, donner, en détaillant, un exemple de suite décroissante de réels positifs $(\alpha_n)_{n\geq 1}$ telle que : \\ (a) La série de fonctions $\sum_{n\geq 1} f_n$ converge normalement sur $I$.\\ (b) La série de fonctions $\sum_{n\geq 1} f_n$ ne converge pas uniformément sur $I$.\\ (c) La série de fonctions $\sum_{n\geq 1} f_n$ converge uniformément sur $I$ mais ne converge pas normalement sur $I$. 20. 9. Résumer à l’aide d’un schéma toutes les implications possibles, pour une série de fonctions quelconque, entre les convergences : normale, uniforme, absolue et simple sur $I$.}FAQ
Pour savoir si une application définit une norme, il faut vérifier trois points essentiels : la positivité (la norme d’un vecteur est nulle seulement si le vecteur l’est lui-même), l’homogénéité (la norme d’un scalaire fois le vecteur est la valeur absolue du scalaire fois la norme du vecteur), et l’inégalité triangulaire (la norme de la somme de deux vecteurs est inférieure ou égale à la somme des normes). Ces vérifications doivent toujours faire partie de ta check-list devant un énoncé concernant les normes en CPGE scientifique comme au concours CCINP !
Deux normes sont dites équivalentes sur un espace vectoriel si elles définissent la même topologie, c’est-à-dire qu’il existe des constantes positives qui encadrent l’une entre l’autre. En pratique, cela signifie que la notion de convergence d’une suite ne dépend pas de la norme choisie parmi les normes équivalentes : très pratique pendant les concours, car tu peux choisir la norme la plus simple pour calculer sans crainte de te tromper sur la notion de limite ou de continuité !
La continuité d’une fonction définie par une intégrale dépendant d’un paramètre, c’est typiquement l’application du théorème de continuité par passage à la limite sous l’intégrale. Tu dois vérifier que la fonction intégrée est continue en chacun des paramètres et qu’il existe une fonction intégrable qui domine en valeur absolue ta fonction sur tout l’intervalle. Cette hypothèse de domination, aussi appelée « théorème de convergence dominée », est le socle dans ce type d’exercices à maîtriser pour le CCINP !
Connaître la différence entre ces modes de convergence est crucial en CPGE, surtout en MPI. La convergence simple s’obtient point par point, la convergence uniforme assure un contrôle « global » sur l’intervalle, la convergence absolue demande que la somme des valeurs absolues converge, et la convergence normale garantit l’existence d’une série de majorants indépendants de la variable. Apprends à jongler entre ces notions avec des exemples concrets et pense à consulter les schémas récapitulatifs que tu trouveras en déverrouillant les corrigés sur Prépa Booster !
Absolument ! Les intégrales curvilignes illustrent la puissance des outils de l’analyse vectorielle – circulation, orientation, champs de gradient, théorème de Green. Tu dois savoir repérer un champ de vecteurs conservatif, paramétrer correctement un contour, et utiliser la topologie du support (par exemple, un cercle orienté positivement). Ce sont des incontournables du programme MPI et très présents en épreuve CCINP.
L’hypothèse de domination est le garde-fou qui justifie de pouvoir intervertir limite et intégrale (convergence dominée de Lebesgue). C’est souvent ce qui est testé dans les sujets de concours pour voir si tu sais justifier correctement le passage à la limite. Si cette domination n’est pas assurée, tu peux obtenir des faux résultats et rater des points précieux le jour J !
Réussir l’épreuve de mathématiques demande méthode et régularité : maîtrise les définitions (convergences, espaces vectoriels normés, théorèmes d’intégration…), entraîne-toi sur les annales corrigées et focalise-toi sur les raisonnements attendus au concours. Astuce : sur Prépa Booster, tu peux débloquer un accès aux corrigés détaillés et à un dashboard personnalisé qui t’aidera à cibler tes révisions selon tes lacunes !
Non, la convergence absolue d’une série de fonctions sur un intervalle n’implique pas toujours la convergence uniforme – sauf sous conditions spéciales comme les séries entières sur des compacts. Un contre-exemple classique peut te demander un raisonnement subtil, et c’est une question fréquente aux oraux ou sur le sujet écrit ! Prends le temps de travailler les nuances entre les types de convergence pour être parfaitement prêt.