Questions du sujet
1. 1. On considère l’équation différentielle : \[ (E) \; y” + y = \frac{2x}{x^2 + 1} \] (a) Résoudre (E) sur chacun des intervalles $]-\infty, -1[$, $]-1, 1[$, $]1, +\infty[$. (b) En déduire que l’ensemble des solutions est stable par la symétrie \[ (x, y) \mapsto (-x, -y). \] 2. 2. La suite de fonctions $f_n$ est-elle intégrable sur $[0,1]$ ? 3. 3. Dans toute la suite, on note $f$ la primitive sur $[0,1]$ de la fonction $t\mapsto e^{-t^2}$. (a) Pour tout $x$ réel, on définit $g(x) = e^{-x^2}\int_0^x e^{t^2} dt$. Montrer que $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ et différentiable sur $\mathbb{R}$. (b) Montrer que les fonctions $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^*$ et déterminer leur dérivée. (c) Prouver que pour tout $x$ réel positif on a $f(x) – g(x) = \frac{\pi}{2} – e^{-x^2}$. (d) En déduire que la fonction $x\mapsto g(x) + f(x)$ est constante de valeur $\frac{\pi}{2}$. (e) Démontrer que pour tout réel $x$, $|f(x)| \leq \frac{\pi}{2}$. } 4. 1. Démontrer que, pour tout espace métrique complet $(E, d)$, toute contraction stricte $f : E \to E$ admet un unique point fixe. 5. 2. Sur la nécessité d’avoir une contraction stricte \\ On considère ici la fonction $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par : \[ g(t) = t + \frac{1}{2} – \arctan t. \] (a) Démontrer que pour tout $t$, $g'(t) \in ]0, 1[$. En déduire, pour la norme d’un point $x$ et $y$ réels : \[ |g(x) – g(y)| < |x - y|. \] (b) Cette application admet-elle un point fixe ? Est-elle une contraction stricte ? 6. 3. Un exemple \\ Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x+1) = f(x)$. (a) Démontrer que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ et bornée sur $\mathbb{R}$. (b) Montrer que la suite $(a_n)$ définie par \[ a_0 \in [0, 1] \text{ et } a_{n+1} = f(a_n) \] admet au moins un point d’accumulation dans $[0,1]$. En déduire qu’il existe $a\in [0,1]$ tel que $f(a)=a$. (c) Montrer que, pour un certain naturel et pour tout $x > 0$, $f(a+nx)=f(a)$ pour un entier naturel $n$. } 7. 4. Un système non linéaire dans $\mathbb{R}^2$ \\ On fixe $a > 0$ un réel. On note $E = \mathbb{R}^2$ muni de la norme usuelle et on considère l’application \[ \varphi(x, y) = \left(\frac{y}{2}, \frac{a}{1 + x^2}\right). \] (a) Pourquoi l’espace $(E, d)$ est-il complet ? (b) Montrer que $\varphi$ admet sur $E$ un unique point fixe $(x_0, y_0)$ que l’on calculera. (c) On pose alors $z_0 = x_0 + iy_0$, $a > 0$, $z_1 = i$, $z_{n+1} = \frac{a}{1 + z_n^2}$. Montrer que $(z_n)$ converge et que sa limite est $z_0$. } 8. 5. Soit $F$ l’espace vectoriel des applications bornées de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$. Pour $f$ dans $F$ on pose : \[ \|f\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|. \] On note aussi $E$ l’espace vectoriel des applications continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$. (a) Démontrer que $(F, \|\cdot\|_\infty)$ est un espace de Banach. (b) Démontrer que $E$ est un sous-espace vectoriel fermé de $F$ et donc, que c’est aussi un espace de Banach. (c) On considère, pour $\alpha \in [0,1]$, l’application $T_\alpha: E \to E$ définie par : \[ (T_\alpha f)(x) = \alpha\int_0^x \sin [f(t)] dt. \] (i) Montrer que $T_\alpha$ est bien définie. \\ (ii) Montrer que, pour tout $x\in [0,1]$, $T_\alpha f$ est continue. \\ (iii) Montrer que $T_\alpha$ est lipschitzienne de constante au plus $|\alpha|$. (d) Montrer que pour $|\alpha| < 1$, il existe un unique $f \in E$ qui vérifie l’équation $T_\alpha f = f$. (e) Cette solution est-elle unique parmi les fonctions bornées ? } 9. 6. Construction d’une application contractante \\ On note $ABC$ un triangle du plan. Le cercle circonscrit au triangle coupe à nouveau les côtés $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$ respectivement en $A'$, $B'$, $C'$. On note $A_1$ le point d’intersection de la droite $(AA')$ avec le cercle. De même, on construit $B_1$ et $C_1$.\\ (a) Montrer que cette construction définit une application $f$ du cercle dans lui-même. (b) Démontrer que c’est une contraction stricte (au sens du cercle). Qu’en peut-on déduire ? }FAQ
Le sujet couvre plusieurs domaines fondamentaux des maths de prépa MP : équations différentielles, intégration, fonctions de plusieurs variables, analyse des suites de fonctions, espaces métriques, espace de Banach, propriétés de compacité, contractions (théorème du point fixe), continuité uniforme, systèmes dynamiques, ainsi que des applications géométriques (liées au cercle et aux transformations planaires). Ce sont des connaissances centrales attendues au concours CCINP.
Le théorème du point fixe de Banach est un outil ultra puissant ! Il intervient partout, notamment pour démontrer existence et unicité de solutions d’équations (différentielles, fonctionnelles…), y compris dans les problèmes d’analyse ou pour modéliser des systèmes itératifs. Savoir le reconnaître, l’appliquer et comprendre ses hypothèses (contraction stricte, espace complet) est fondamental : au concours CCINP, il peut tomber aussi bien sous forme directe que détournée.
Dans le sujet, tu croises à la fois les espaces de fonctions continues et bornées, munis de la norme uniforme. La notion d’espace de Banach (espace vectoriel normé complet) est clé : elle permet d’appliquer des résultats comme le théorème du point fixe et d’exploiter des propriétés topologiques essentielles. Savoir distinguer sous-espace fermé, continuité, compacité et la bonne utilisation des normes peut te permettre de grappiller des points précieux.
Il faut en général commencer par trouver une solution générale de l’équation homogène associée, puis chercher une solution particulière à l’équation complète, par exemple via la variation des constantes ou une méthode adaptée à la forme du second membre. Attention : l’existence et l’unicité des solutions dépendent souvent des intervalles de définition et des éventuelles singularités. Ce type d’exercice t’entraîne à articuler calcul, intuition et rigueur, indispensable pour le jour J !
Une application est contractante au sens de Banach si la distance entre les images de deux points est strictement inférieure à la distance entre les points, à une constante multiplicative strictement plus petite que 1 près. Cela se vérifie souvent en étudiant la dérivée (pour une fonction réelle) ou le lipschitzianisme de l’application. Attention, il existe des subtilités, notamment quand la contraction n’est pas stricte partout ou que l’espace n’est pas complet !
Une fonction périodique sur \(\mathbb{R}\) (comme dans le sujet, où \(f(x+1)=f(x)\)) est automatiquement bornée et uniformément continue, car tu peux te ramener à l’étude sur un intervalle fondamental. Cette propriété simplifie beaucoup l’étude des suites récurrentes et te permet d’exploiter des principes de compacité ou d’accumulation, souvent sollicités en analyse et en modélisation de systèmes dynamiques.
Les suites définies sur \(\mathbb{C}\), surtout de type récurrent avec des fonctions rationnelles, modélisent de nombreux phénomènes (itérations, fractales, systèmes dynamiques). Comprendre leur convergence te prépare à des questions transverses mêlant algèbre, analyse et géométrie. C’est typiquement le genre d’annexe qui tombe en oral comme à l’écrit !
L’idéal : commence toujours par lire et comprendre l’énoncé dans sa globalité, repère les thèmes principaux et classe les méthodes à mobiliser. Ensuite, entraîne-toi sérieusement sur chaque sous-question sans regarder la solution, puis vérifie tes justifications avec le corrigé détaillé (à débloquer sur Prépa Booster). Analyse précisément tes erreurs : c’est la clé pour progresser durablement et ne plus refaire les mêmes lors des épreuves suivantes.