Questions du sujet
1. On considère la fonction $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie par : $f(x, y) = \dfrac{2x^2 + 2y^2}{(1+x^2)(1+y^2)}$.\\ a. On pose $F = [0,1]\times[0,1]$. Justifier que la fonction $f$ est bornée sur $F$ et y atteint sa borne supérieure. On pose alors $M = \sup_{(x, y)\in F} f(x, y)$.\\ b. Montrer que si la borne supérieure est atteinte en un point de l’ouvert $\Omega = ]0,1[\times]0,1[$ alors nécessairement $M = \dfrac{8}{3\sqrt{3}}$.\\ c. Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur la frontière de $F$ et le comparer à $\dfrac{8}{3\sqrt{3}}$ (on pourra utiliser la calculatrice). Déterminer $M$.} 2. 1. Fonction Gamma d’Euler\\ a. Soit $x \in\ ]0,+\infty[$, montrer que la fonction $t\mapsto t^{x-1}e^{-t}$ est intégrable sur $]0,+\infty[$. On pose, pour $x\in]0,+\infty[$, $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\ \mathrm{d}t$.\\ b. Déterminer, pour $x\in]0,+\infty[$, une relation entre $\Gamma(x+1)$ et $\Gamma(x)$ et en déduire $\Gamma(n)$ pour tout entier naturel non nul $n$.} 3. 2. Fonction zêta de Riemann\\ a. On note, pour $n$ entier naturel non nul et $x$ réel $x>1$, $R_n(x)=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^x} = \zeta(x) – \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^x}$. Prouver que, pour $n$ entier naturel non nul et $x$ réel $x>1$, $0 \leq R_n(x) \leq \int_n^{+\infty} \frac{1}{t^x}dt = \frac{1}{(x-1)n^{x-1}}$.\\ b. On fixe l’entier $p\geq 2$ et un réel $\varepsilon > 0$. Indiquer une valeur de $n$ pour laquelle on a $\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^p} \leq \varepsilon$.\\ c. Donner, en utilisant la calculatrice, une valeur approchée de $\zeta(7)$ à $10^{-6}$ près.} 4. 3. Théorème de convergence uniforme pour les suites de fonctions\\ Démontrer le théorème suivant que l’on notera TH 1 :\\ si $(f_n)$ est une suite de fonctions continues sur le segment $[a,b]$ qui converge uniformément vers une fonction $f$ sur $[a,b]$, alors, la suite de réels $\int_a^b f_n(x)\;dx$ converge vers le réel $\int_a^b f(x)\;dx$.\\ On commencera par donner un sens à l’intégrale $\int_a^b f(x)\;dx$ juste en énonçant un théorème.} 5. 4. Exemples et contre-exemples\\ a. Déterminer une suite $(f_n)$ de fonctions continues et affines par morceaux sur le segment $[0,1]$ qui converge simplement mais non uniformément vers une fonction $f$ sur $[0,1]$ et telle que la suite de réels $\int_0^1 f_n(x)\;dx$ ne converge pas vers le réel $\int_0^1 f(x)\;dx$.\\ Remarque : on peut se contenter d’une vision graphique et, dans ce cas, il est inutile d’exprimer $f_n(x)$, mais on attend une justification des deux propriétés demandées.\\ b. Si $(f_n)$ est une suite de fonctions continues sur le segment $[0,1]$, démontrer qu’il est possible que la suite de réels $\int_0^1 f_n(x)\;dx$ converge vers le réel $\int_0^1 f(x)\;dx$ sans que la convergence de la suite de fonctions $(f_n)$ ne soit uniforme sur $[0,1]$.} 6. 5. Cas d’un intervalle quelconque\\ a. Montrer à l’aide de la suite de fonctions $(f_n)_{n \geq 1}$ définies sur $I = [0, +\infty[$ par $f_n(x) = \frac{n^n x^n e^{-nx}}{n!}$ que le TH 1 n’est pas vrai si on remplace l’intervalle $[a,b]$ par un intervalle $I$ non borné.\\ Remarque : on pourra utiliser la formule de Stirling sans la démontrer.\\ b. Nous allons prouver que le TH 1 est vrai sur un intervalle borné $I$.\\ On considère $(f_n)$ une suite de fonctions continues et intégrables sur $I$ intervalle borné, qui converge uniformément vers une fonction $f$ sur $I$.\\ i. Justifier l’existence d’un entier naturel $p$ tel que, pour tout réel $x\in I$, $|f(x)| \leq 1 + p$ et en déduire que $f$ est intégrable sur $I$.\\ ii. Montrer que la suite de réels $\int_I f_n(x)\;dx$ converge vers le réel $\int_I f(x)\;dx$. On notera $A(I)$ la longueur de l’intervalle $I$.} 7. 6. Théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions\\ On rappelle le théorème suivant que l’on notera TH 2 :\\ si $(f_n)$ est une suite de fonctions continues par morceaux sur un intervalle $I$ qui converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux sur $I$ et s’il existe une fonction $\varphi$ continue par morceaux et intégrable sur $I$ telle que, pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x\in I$, $|f_n(x)| \leq \varphi(x)$ alors, la fonction $f$ est intégrable sur $I$ et la suite de réels $\int_I f_n(x)\;dx$ converge vers le réel $\int_I f(x)\;dx$.\\ a. Rappeler pourquoi il est inutile de vérifier, lorsqu’on utilise ce TH 2, que les fonctions $f_n$ sont intégrables sur $I$ et justifier que $f$ est intégrable sur $I$.\\ b. Exemples\\ i. Montrer à l’aide d’un exemple simple que ce théorème peut être pratique sur un segment $I$ sur lequel la suite de fonctions $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers la fonction $f$.\\ ii. Calculer $\lim_{n\to+\infty} \int_0^1 \frac{\sin(nx)}{n e^x}\; dx$.} 8. 7. Théorème de convergence uniforme pour les séries de fonctions\\ Justifier, simplement, à l’aide du TH 1 le théorème suivant que l’on notera TH 3 :\\ si $\sum f_n$ est une série de fonctions continues sur le segment $[a,b]$ qui converge uniformément sur $[a,b]$, alors, la série de réels $\sum \int_a^b f_n(x)\; dx$ converge et :\\ $\int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)\; dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n(x)\; dx$.} 9. 8. Application : séries trigonométriques et séries de Fourier\\ On appellera série trigonométrique une série de fonctions du type $a_0 + \sum_{n \geq 1} a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$ où $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites de réels.\\ La série de Fourier d’une fonction $2\pi$-périodique et continue par morceaux sur $\mathbb{R}$ est donc une série trigonométrique.\\ a. Montrer qu’une série trigonométrique n’est pas toujours la série de Fourier d’une fonction $2\pi$-périodique et continue par morceaux sur $\mathbb{R}$.\\ Pour cela, utiliser la série de fonctions $\sum_{n\geq 1} \frac{\sin(nx)}{n}$ avec le théorème de Parseval que l’on commencera par énoncer.\\ b. Montrer qu’une série trigonométrique qui converge uniformément sur $\mathbb{R}$ est la série de Fourier d’une fonction $2\pi$-périodique et continue sur $\mathbb{R}$.\\ On utilisera sans démonstration les résultats classiques pour $n$ et $p$ entiers naturels : $$ \int_0^{2\pi} \cos(nx) \cos(px) dx = \begin{cases} 0 & \text{si } n \neq p \\ \pi & \text{si } n=p\neq 0 \\ 2\pi & \text{si } n=p=0 \end{cases}, \qquad \int_0^{2\pi} \sin(px) \cos(nx) dx = 0. $$} 10. 9. Intégration terme à terme d’une série de fonctions\\ On rappelle le théorème suivant que l’on notera TH 4 :\\ si $\sum f_n$ est une série de fonctions continues par morceaux et intégrables sur un intervalle $I$ qui converge simplement vers une fonction $f$ continue par morceaux sur $I$ telle que la série $\sum\int_I f_n(x)dx$ converge, alors $f$ est intégrable sur $I$, la série $\sum\int_I f_n(x) dx$ converge et $$ \int_I \bigg(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)\bigg)dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n(x) dx. $$ Application : théorème de Hardy\\ On suppose que $\sum a_n$ est une série de réels absolument convergente. a. Montrer que la série de fonctions $\sum_{n \geq 0} \frac{a_n x^n}{n!}$ converge simplement vers une fonction $f$ continue sur $\mathbb{R}$.\\ b. Montrer que la fonction $x \mapsto f(x) e^{-x}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$ et exprimer $\int_0^{+\infty} f(x) e^{-x} dx$ comme la somme d’une série numérique.} 11. 10. Cas où les théorèmes TH 3 et TH 4 ne s’appliquent pas\\ a. Montrer que, la série de fonctions $\sum_{n \geq 0} (-1)^n x^n$ ne converge pas uniformément sur l’intervalle borné $I = [0,1[$ (donc les hypothèses du théorème TH 3 ne sont pas toutes vérifiées).\\ b. Montrer que, pour la série de fonctions $\sum_{n \geq 0} (-1)^n x^n$ sur $I = [0, 1[$, les hypothèses du théorème TH 4 ne sont pas toutes vérifiées.\\ c. Montrer que, néanmoins, $\sum_{n\geq 0} \int_0^1 (-1)^n x^n dx$ converge et : $$ \int_0^1 \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n x^n dx = \sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^1(-1)^n x^n dx. $$} 12. 11. Théorème de convergence monotone\\ Soit $\sum f_n$ une série de fonctions continues par morceaux et intégrables sur un intervalle $I$ qui converge simplement vers une fonction $f$ continue par morceaux sur $I$.\\ On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont positives sur $I$ et que la fonction $f$ est intégrable sur $I$.\\ On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul et tout $x\in I$, $S_n(x) = \sum_{k=0}^n f_k(x)$.\\ Montrer que la suite de fonctions $(S_n)$ vérifie les hypothèses du théorème de convergence dominée TH 2, et en déduire que : la série $\sum_{n\geq 0} \int_I f_n(x) dx$ converge et $$ \int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n(x) dx. $$} 13. 12. Application à la physique\\ a. Calculer, après avoir justifié son existence, l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{t^3}{e^t -1}\; dt$.\\ On détaillera toutes les étapes et on pourra remarquer que, pour $t\in]0, +\infty[$, $\frac{t^3}{e^t-1} = t^3 e^{-t} + t^3 e^{-2t} + t^3 e^{-3t} + …$.\\ Cette intégrale intervient notamment dans la théorie du rayonnement du corps noir…\\ b. Démontrer la loi de Stefan : $M = \sigma T^4$ où $\sigma = \frac{2\pi^5 k_B^4}{15c^2 h^3}$.} 14. 13. Généralisation\\ a. Exprimer de même pour $x$ réel $x>1$, l’intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{e^t-1}\; dt$ en fonction de $\Gamma(x)$ et $\zeta(x)$.\\ b. En déduire la valeur de $\int_0^{+\infty} \frac{dt}{e^t-1}$ et une valeur approchée de $\int_0^{+\infty} \frac{t^5}{e^t-1}\; dt$.}FAQ
Le théorème de convergence uniforme est un pilier de l’analyse en classes préparatoires scientifiques. Il te permet de justifier l’échange entre limite et intégrale lorsque tu travailles sur une suite de fonctions continues sur un segment. Savoir reconnaître quand l’utiliser et bien rédiger la justification mathématique est souvent ce qui fait la différence entre une copie correcte et une copie qui décroche une très bonne note lors du concours CCINP. Les exercices classiques consistent à prouver que l’intégrale de la limite d’une suite de fonctions est bien égale à la limite des intégrales sous certaines hypothèses. Pour maîtriser ce théorème, il est essentiel de t’exercer sur des exemples variés, ce que tu peux faire grâce aux corrigés détaillés et au dashboard de Prépa Booster.
La fonction Gamma et la fonction zêta de Riemann sont des incontournables de l’analyse en CPGE, particulièrement pour la filière MP. Il faut savoir manipuler leur définition, établir les relations de récurrence et relier ces fonctions à des intégrales remarquables, souvent utilisées en physique théorique. Le concours CCINP aime te demander non seulement les propriétés mais aussi des applications concrètes, comme l’estimation de valeurs numériques ou la démonstration d’équivalents asymptotiques. Pour tout maîtriser, pense à confronter les méthodes classiques vues en cours aux astuces vues dans les corrigés d’annales, notamment sur Prépa Booster.
En séries trigonométriques et séries de Fourier, il te faut être à l’aise avec la reconnaissance des conditions de convergence, savoir utiliser les orthogonalités des fonctions trigonométriques (cos(nx), sin(nx)), et maîtriser les applications du théorème de Parseval. Penses à bien savoir distinguer entre convergence simple et convergence uniforme, ainsi que leurs conséquences sur la possibilité d’intégrer terme à terme une série. Les candidats qui savent jongler entre ces différentes notions raflent facilement des points sur ce type de question au CCINP. Si tu veux t’entraîner sur des exercices corrigés dans l’esprit du concours, n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
Bien faire la différence entre convergence simple, convergence uniforme et convergence dominée, c’est la clé pour rédiger des démonstrations solides et éviter les pièges classiques du concours. Cela te permet aussi de savoir quel théorème appliquer (TH1, TH2, TH3, TH4, etc.) selon les hypothèses données. Ces nuances apparaissent partout, de l’étude d’intégrales à la manipulation des séries de fonctions. Un point de détail bien justifié dans une copie peut te permettre de te démarquer auprès du correcteur, surtout sur une épreuve MP comme celle du CCINP.
Maîtriser les échanges limite-intégrale te permet de traiter efficacement des suites et des séries de fonctions, un sujet classique au CCINP. Cela te donne aussi la possibilité de traiter des applications en physique ou en probabilités. Mais attention aux erreurs courantes : oublier de vérifier l’hypothèse de convergence uniforme ou dominée, ou confondre convergence simple et uniforme. Chaque fois qu’une question porte sur une intégrale dépendant d’un paramètre, pose-toi toujours la question : ai-je le droit d’intervertir les limites, et pourquoi ?
Travailler sur ce genre de fonctions à deux variables t’apprend à jongler entre recherche de bornes, étude de maximum/minimum sur des domaines carrés ou leurs frontières, et recours aux outils de l’analyse (dérivation, inégalités, etc.). On touche là à une compétence centrale : l’analyse fine d’un problème pour distinguer ce qui relève du cœur de la méthode de ce qui peut se simplifier. C’est typiquement dans ce genre d’exercices que tu vois la différence entre un bon raisonnement formel et une intuition mathématique solide, qui sont toutes les deux valorisées en concours.
Les théorèmes d’intégration terme à terme sont un atout inestimable pour simplifier des calculs d’intégrales dépendantes d’un paramètre ou issues de séries de fonctions. Ils jouent un rôle crucial dans les développements liés à la physique (chaleur, rayonnement…), comme dans l’exercice final de l’épreuve CCINP MP 2007. Tu peux t’entraîner sur des dizaines d’exercices corrigés similaires sur Prépa Booster pour maîtriser le repérage des hypothèses et automatiser leur utilisation, ce qui t’assure de gagner du temps le jour J.
Les intégrales du type $\int_0^{+\infty} \frac{t^k}{e^t-1}dt$ surgissent souvent dès qu’il s’agit de relier mathématiques et applications physiques, notamment en thermodynamique et mécanique quantique. Il faut identifier la décomposition en série, inclure la factorielle, repérer les liens avec les fonctions Gamma et zêta, et bien exploiter les changements de variables et développements classiques. C’est typiquement sur ce genre de calcul qu’une petite inattention sur la justification des convergences peut faire perdre des points.
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