Questions du sujet
1. Si, dans le théorème de convergence normale ci-dessus, on suppose que la fonction $f$ n’est pas continue mais seulement continue par morceaux sur $\left[\right]$ : \begin{enumerate} \item[a.] Rappeler le théorème de Dirichlet en précisant de quel type de convergence il s’agit. \item[b.] Cette convergence pourrait-elle être uniforme sur $\left[\right]$ ? \end{enumerate} 2. On considère la fonction continue $\varphi : \left[\right] \to \left[\right]$, de période $2\pi$, paire et définie pour $x \in [0, \pi]$, par $\varphi(x) = x$. Donner l’allure de la courbe de cette fonction et expliquer pourquoi elle n’est pas de classe $C^1$ par morceaux sur $\left[\right]$. 3. Théorème de Cesàro Soit $(u_n)$ une suite de complexes qui converge vers le complexe $l$. \begin{enumerate} \item[a.] Justifier, simplement, en utilisant un théorème de sommation de relations de comparaison, que : $\sum_{k=0}^n u_k = l(n+1) + o(n)$ au voisinage de $+\infty$. \item[b.] En déduire que la suite $\frac{u_0 + u_1 + \ldots + u_n}{n+1}$ converge vers $l$. \end{enumerate} 4. Soit une fonction $f : \left[\right] \to \mathbb{R}$ continue et de période $2\pi$ dont la somme de Fourier de rang $n$ est notée $S_n(f)$. Pour $n$ entier naturel non nul, on définit la somme de Fejér de $f$ de rang $n$, notée $\sigma_n(f)$ comme la moyenne de Cesàro des sommes de Fourier : $$\sigma_n(f) = \frac{1}{n+1}(S_0(f) + S_1(f) + \ldots + S_n(f)).$$ On démontre, et nous l’admettrons, le théorème de Fejér : « La suite de polynômes trigonométriques $(\sigma_n(f))$ converge uniformément sur $\left[\right]$ vers la fonction $f$. » Une application : Si $f : \left[\right] \to \mathbb{R}$ est une fonction continue et de période $2\pi$ telle que la suite $(S_n(f))$ converge simplement sur $\left[\right]$, montrer que la suite $(S_n(f))$ converge vers la fonction $f$. 5. Si $(u_n)$ est une suite de réels positifs qui converge vers $0$, montrer qu’il existe une suite de réels $(d_n)$ décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leq u_n \leq d_n$ (on pourra, par exemple, vérifier que la suite $(\sup_{k \geq n} u_k)$ convient). } 6. Montrer que la série de fonctions $\sum_{n \geq 1} f_n$ converge normalement sur $[0, \pi]$. On définit alors la fonction $f$ paire, continue, de période $2\pi$ sur $\left[\right]$ et telle que pour tout réel $x \in [0, \pi]$, $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x)$. 7. On pose, pour $p$ et $k$ entiers naturels, $$ I_{p,k} = \int_0^\pi \cos\left(\left(p+\frac{1}{2}\right)t\right) \sin\left(\frac{2k+1}{2}t\right) \mathrm{d}t$$ et, pour $q$ entier naturel, $$ T_{q,k} = \sum_{p=0}^q I_{p,k}. $$ \begin{enumerate} \item[a.] Calculer, pour $p$ et $k$ entiers naturels, l’intégrale $I_{p,k}$. \item[b.] Pour $q$ et $k$ entiers naturels, déterminer un réel positif $c_k$ tel que $\sum_{j = k}^{k+q} T_{q,k} = c_k$ et en déduire que, pour tout couple $(q,k)$ d’entiers naturels, $T_{q,k} \geq 0$. \item[c.] Déterminer, pour $N$ au voisinage de $+\infty$, un équivalent simple de $\sum_{k=0}^N \frac{1}{2k+1}$. \item[d.] En déduire que, pour $k$ au voisinage de $+\infty$, $T_{k,k} \sim \frac{1}{2} \ln k$. \end{enumerate} 8. Montrer que, pour $p$ entier naturel non nul, $$ a_p(f) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{I_{p,n}}{n^3} \quad .$$ 9. Montrer que, pour $p$ entier naturel non nul, $$ S_p(f)(0) – a_0(f) – \ldots – a_p(f) \geq T_{p,p} – \frac{\pi^2}{3(p+1)^2} $$ (on remarquera que : $$\sum_{l=0}^{N} a_l = a_0 + a_1 + \ldots + a_N$$). Conclure que la suite $(S_n(f)(0))_n$ diverge. 10. Montrer que la fonction $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ définie par $f(0)=0$ et $f(x) = x \cos\left(\frac{\pi}{2x}\right)$ si $x \neq 0$ est continue et n’est pas à variation bornée sur $[0, 1]$. (on pourra choisir, pour $n \geq 1$, la subdivision de $[0, 1]$ : $x_0 = 0$, $x_{n+1} = 1$, et $x_k = \frac{1}{2k-1}$ pour $k=1,\ldots,n$). } 11. \begin{enumerate} \item[a.] Montrer qu’une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ qui est monotone est à variation bornée sur $[a, b]$ et préciser $V([a, b], f)$. \item[b.] Montrer qu’une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ qui est somme de deux fonctions monotones est à variation bornée sur $[a, b]$. \item[c.] Montrer qu’une fonction $[a, b] \to \mathbb{R}$ qui est continue et de classe $C^1$ par morceaux est à variation bornée. \end{enumerate} 12. Soit une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ à variation bornée sur $[a, b]$ et soit $a < c < b$. Montrer que chacune des restrictions de $f$ aux intervalles $[a, c]$ et $[c, b]$ est à variation bornée et que : $$ V([a, c], f) + V([c, b], f) \leq V([a, b], f). $$ Remarque : on peut même montrer qu’il y a égalité mais ce ne sera pas utile pour ce problème. 13. Soit $f : \left[\right] \to \mathbb{R}$ une fonction continue et de période $2\pi$ telle que la restriction de $f$ à l’intervalle $[0,2\pi]$ soit à variation bornée. Pour $n$ entier relatif et $N$ entier naturel, tous deux non nuls, on utilisera la subdivision $\sigma = (x_k)_{0 \leq k \leq nN}$ de $[0,2\pi]$ définie, pour $k$ entier compris entre $0$ et $nN$, par : $$ x_k = \frac{2k\pi}{nN}. $$ Pour $k$ entier compris entre $1$ et $nN$, on notera $V_k(f)$ la variation totale de $f$ sur l’intervalle $[x_{k-1}, x_k]$. \begin{enumerate} \item[a.] Vérifier que : $$ \left|\int_{x_{k-1}}^{x_k} f(t)e^{int} dt\right| \leq \frac{V_k(f)}{n} $$ \item[b.] Montrer que : $$ \left|\int_{0}^{2\pi} f(x) e^{inx} dx\right| \leq \frac{V([0,2\pi],f)}{n} $$ \item[c.] En déduire que pour tout entier $n$ non nul, $$ |c_n(f)| \leq \frac{V([0,2\pi],f)}{2\pi |n|} $$ \end{enumerate} 14. Soit $(u_n)$ une suite de complexes, on pose, pour tout entier naturel $n$, $$ S_n = \sum_{j=0}^n u_j \qquad \text{et} \qquad \sigma_n = \frac{S_0 + S_1 + \ldots + S_n}{n+1}. $$ On suppose que la suite $(\sigma_n)$ converge vers un complexe $L$ et on suppose qu’il existe une constante réelle $A$ non nulle telle que, pour tout entier naturel $k$, $|u_k| \leq \frac{A}{k+1}$. \begin{enumerate} \item[a.] Pour $n$ et $k$ entiers naturels non nuls, exprimer, à l’aide des termes de la suite $(u_i)$, l'expression : $$ S_n - L = \sum_{j=0}^n (u_j - l) \qquad \text{et} \qquad \sigma_n - L = \frac{1}{n+1} \sum_{j=0}^n (S_j - L) $$ \item[b.] Soit une suite de réels $(d_n)$ décroissante et de limite nulle telle que, pour tout entier naturel $n$, $|\sigma_n - L| \leq d_n$, montrer que, pour $n$ et $k$ entiers naturels non nuls : $$ |S_n - L| \leq 2 d_{[n/2]} + 2A $$ \item[c.] L’entier naturel non nul $n$ étant donné, on choisit $k$ tel que $2^{k-1} \leq n < 2^k$ ($k-1$ est donc la partie entière de $\log_2 n$). Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $$ |S_n - L| \leq d_{[n/2]} + 2A $$ Que peut-on en déduire ? \end{enumerate} 15. Montrer que la série de Fourier d’une fonction $f : \left[\right] \to \mathbb{R}$ continue et de période $2\pi$ telle que la restriction de $f$ à l’intervalle $[0,2\pi]$ soit à variation bornée converge uniformément vers la fonction $f$.} 16. Montrer que la série de Fourier de la fonction $\varphi$ de la question 2. converge uniformément sur $\left[\right]$ vers la fonction $\varphi$. 17. Montrer que la série de Fourier d’une fonction $f : \left[\right] \to \mathbb{R}$, de période $2\pi$ et lipschitzienne converge uniformément sur $\left[\right]$ vers la fonction $f$.}FAQ
La convergence des séries de Fourier est un concept clé en analyse, surtout en classes prépas MP et pour le concours CCINP. Elle t’apprend à distinguer entre convergence simple, convergence uniforme et convergence normale, et à comprendre sous quelles conditions une série de Fourier permet de reconstituer fidèlement une fonction. Tu verras que la régularité de la fonction (continuité, variation bornée, Lipschitz, etc.) influence grandement le type de convergence obtenu, ce qui est souvent interrogé au concours.
Une fonction à variation bornée sur un intervalle est une fonction dont la « variation totale » (la somme des variations sur toutes les subdivisions possibles de l’intervalle) est finie. Ce concept est lié à la régularité des fonctions et intervient naturellement dans les théorèmes de convergence des séries de Fourier, ou encore dans l’étude des intégrales impropres. Maîtriser la variation bornée t’aide à reconnaître des situations où certaines méthodes d’analyse sont possibles ou non.
La moyenne de Cesàro permet d’améliorer la convergence des suites de fonctions ou de réels, notamment lorsque la convergence des sommes partielles est trop lente ou ne permet pas d’atteindre la convergence uniforme. En analyse, et surtout en séries de Fourier, les sommes de Cesàro (comme la somme de Fejér) sont très fréquentes car elles servent à établir des résultats plus solides et plus utilisables en pratique : elles permettent souvent de passer de la convergence simple à la convergence uniforme, ce qui est crucial pour les applications que tu croises au concours.
Le théorème de Dirichlet est un résultat fondamental qui garantit la convergence simple de la série de Fourier d’une fonction continue par morceaux et à variation bornée, sauf éventuellement aux points de discontinuité. Par contre, le théorème de Fejér va plus loin : il affirme que la moyenne de Cesàro des sommes de Fourier (la somme de Fejér) converge uniformément dès que la fonction est continue et périodique. En résumé, Dirichlet donne un résultat minimal (convergence simple), tandis que Fejér fournit une convergence uniforme sous des hypothèses de régularité plus accessibles.
Non, ce n’est pas automatique : pour obtenir la convergence uniforme de la série de Fourier, il est nécessaire que la fonction soit non seulement continue mais qu’elle respecte aussi d’autres propriétés comme la variation bornée ou une certaine régularité supplémentaire (lipschitzienne, $C^1$ par morceaux, etc.). C’est précisément ce qu’on attend de toi au concours : savoir identifier quel théorème de convergence appliquer en fonction de la régularité de la fonction, et justifier rigoureusement tes choix lors de la rédaction. Pour voir la mise en application précise de ces critères, tu peux débloquer le corrigé détaillé de l’épreuve sur Prépa Booster !
Ces notions qualifient le degré de régularité d’une fonction et influencent la facilité avec laquelle tu pourras travailler avec elle : intégration, développement en série de Fourier, analyse des points de convergence, etc. Une régularité supérieure (comme $C^1$ ou Lipschitz) renforce la rapidité de décroissance des coefficients de Fourier et permet plus souvent d’assurer la convergence uniforme des séries. Lors des épreuves écrites du concours, ces distinctions sont toujours à avoir en tête !
Toujours commencer par rédiger clairement les définitions et propriétés liées aux notations asymptotiques. Les estimations en $o(n)$ ou $\mathcal{O}(n)$ sont omniprésentes dans l’étude de la convergence des suites et séries : il est fondamental de bien savoir manipuler ces notations pour comparer la croissance de suites, calculer des équivalents, et bien justifier les passages à la limite. N’hésite pas à t’entraîner sur les corrigés d’annales pour te forger des automatismes !
Sois à l’aise avec l’intégration par parties, le changement de variable et l’estimation des intégrales impropres. Maîtriser la manipulation des fonctions trigonométriques, comprendre les majorations / minorations et l’utilisation judicieuse des inégalités s’avèrent incontournables, surtout pour traiter les questions sur les séries de Fourier et la convergence des intégrales associées. Si tu veux t’entraîner sur des exercices types et voir leur corrigé pas à pas, n’oublie pas qu’en débloquant les corrigés sur Prépa Booster, tu as accès à tout ça !