Critères de convergence pour les séries alternées et les séries à termes décroissants
Soient deux réels $\alpha$ et $\beta$.a. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^\alpha}$ converge ? Si c’est le...
Séries numériques
Équivalent d’une suite définie par une relation de récurrence.
Soit $\left(x_n\right)_{n \geqslant 0}$ définie par : $x_0=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Donner un équivalent de $x_n$ quand...
Convergence d’une série en lien avec une suite bornée
Soit \( \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*} \) une suite réelle strictement positive, décroissante et de limite nulle. On suppose...
Règle de DUHAMEL-RAABE
Soit $\left(u_n\right){n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs. a. Montrer que si $\frac{u{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$ avec $\alpha>1$ alors $\sum_{n \geqslant...
Comportement de suites et séries associées
Soit $\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs et $\left(b_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $b_0 = 1$ et,...
Étude de la convergence d’une série en fonction de $a$
Soit $a > 0$, et définissons la suite $u_n = n! \prod_{k=1}^{n} \ln \left(1 + \frac{a}{n}\right)$ pour $n \in \mathbb{N}^*$....
Relation entre deux sommes de suites décroissantes
a) Pour $n \in \mathbb{N}^*$, établir une relation simple entre $S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$ et $T_n = \sum_{k=1}^{n} k \left(u_k...
Étude de séries définies à partir d’une suite positive
Soit $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général $u_n$ converge. Étudier la...
Nature d’une série liée à un rapport
On suppose que la série de terme général $a_n > 0$ est divergente. Soit, pour tout entier $n$, $S_n =...
Étude d’une suite et convergence d’une série numérique
Soit $\left(u_n\right){n \in \mathbb{N}} \in\left(\mathbb{R}{+}\right)^{\mathbb{N}}$ définie par : $u_0=0$ et $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}}$. On pose, pour $n \in...