Questions du sujet
1. Montrer que toute fonction majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en |x| est à croissance lente.
2. Montrer que C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) \subset L^1(\varphi). \\ On admet dans toute la suite du problème que \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t)\,dt = 1.
3. Montrer que CL(\mathbb{R}) est un espace vectoriel. Montrer aussi que CL(\mathbb{R}) est stable par produit.
4. Soit t \in \mathbb{R}^+. Vérifier que la fonction P_t(f) est bien définie pour f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) et vérifier que P_t est linéaire sur C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}).
5. Montrer que pour tout f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) et tout x \in \mathbb{R}, \lim_{t \to +\infty} P_t(f)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) \varphi(y)\,dy.}
6. Soit t \in \mathbb{R}^+. Montrer que si f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}), alors P_t(f) \in C^0(\mathbb{R}). Montrer aussi que P_t(f) est majorée en valeur absolue par une fonction polynomiale en |x| indépendante de t. En déduire que P_t(f) \in L^1(\varphi).\\ On admettra dans toute la suite du problème que, si f \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}), alors\\ \forall t \in \mathbb{R}^+, \int_{-\infty}^{+\infty} P_t(f)(x) \varphi(x)\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \varphi(x)\,dx.
7. Montrer que pour toutes fonctions f,g \in C^2(\mathbb{R}) telles que les fonctions f, f’, f” et g soient à croissance lente, on a \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{L}(f)(x) g(x) \varphi(x)\,dx = – \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x)g'(x)\varphi(x)\,dx.
8. Montrer que si f \in C^1(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f’ \in CL(\mathbb{R}) et x \in \mathbb{R}, alors t \mapsto P_t(f)(x) est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}^*_+ et montrer que pour tout t > 0, on a \\ \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(-xe^{-t} + \frac{e^{-2t}}{\sqrt{1 – e^{-2t}}}y \right) f’\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 – e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy.
9. Soient f \in C^2(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f’ et f” soient à croissance lente et t \in \mathbb{R}^+. Montrer que x \mapsto P_t(f)(x) est de classe \mathcal{C}^2 sur \mathbb{R}. Montrer aussi que\\ \forall x \in \mathbb{R}, P_t(f)'(x) = e^{-t} \int_{-\infty}^{+\infty} f’\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 – e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy\\ et\\ \forall x \in \mathbb{R}, P_t(f)”(x) = e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} f”\left( \frac{e^{-t}x + \sqrt{1 – e^{-2t}}y}{2} \right) \varphi(y)\,dy.
10. En déduire que pour f \in C^2(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) telle que f’ et f” soient à croissance lente, on a\\ \forall t \in \mathbb{R}^*_+, \forall x \in \mathbb{R}, \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} = \mathcal{L}(P_t(f))(x).}
11. Étudier les variations de la fonction t \mapsto t \ln t sur \mathbb{R}^*_+. On vérifiera que l’on peut prolonger par continuité la fonction en 0.
12. Justifier que la quantité \mathrm{Ent}_\varphi(g) est bien définie pour tout g \in C^0(\mathbb{R}) \cap CL(\mathbb{R}) à valeurs strictement positives telle que \int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\varphi(x)\,dx = 1.\\\textit{Indication : On pourra utiliser la question 11.}
13. Pour t \in \mathbb{R}^{+}, on pose S(t) = \mathrm{Ent}_\varphi(P_t(f)). Justifier que S(t) est bien définie.
14. Montrer que S est continue sur \mathbb{R}^{+}.\\\textit{Indication : On pourra au préalable montrer que, si x \in \mathbb{R}, t \mapsto P_t(f)(x) est continue sur \mathbb{R}^{+}.}
15. Vérifier que l’on a S(0) = \mathrm{Ent}_\varphi(f) et \lim_{t \to +\infty} S(t) = 0.}
16. On admet que S est de classe \mathcal{C}^1 sur \mathbb{R}_+^* et que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, S'(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial P_t(f)(x)}{\partial t} (1 + \ln (P_t(f)(x))) \varphi(x)\,dx.\\ Montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, S'(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{L}(P_t(f))(x) (1 + \ln (P_t(f)(x))) \varphi(x)\,dx.
17. En admettant que le résultat de la question 7 est valable pour les fonctions P_t(f) et 1 + \ln (P_t(f)), montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}^*_+, -S'(t) = e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P_t(f’)^2(x)}{P_t(f)(x)} \varphi(x)\,dx.
18. En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, -S'(t) \leq e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} P_t \left(\frac{{f’}^2}{f}\right)(x) \varphi(x)\,dx.
19. En déduire que l’on a :\\ \forall t \in \mathbb{R}_+^*, -S'(t) \leq e^{-2t} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{f’}^2(x)}{f(x)} \varphi(x)\,dx.
20. Établir l’inégalité suivante\\ \mathrm{Ent}_\varphi(f) \leq \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{{f’}^2(x)}{f(x)} \varphi(x)\,dx.}