Questions du sujet
1. Rappeler les relations fonctionnelles de proportionnalit\’e caract\’erisant les trois dip\^oles parfaits classiques. Ces relations correspondent aux ar\^etes \textbf{1}, \textbf{2} et \textbf{3} du carr\’e fondamental de la figure 2. On pr\’ecisera l’unit\’e usuelle de chaque coefficient de proportionnalit\’e.
2. Rappeler la relation fondamentale liant $q$, $i$ et $t$. A partir d’une \’equation de Maxwell, justifier que $u = \frac{d\varphi}{dt}$.
3. D\’eduire des deux questions pr\’ec\’edentes une \’ecriture de chaque relation \textbf{1} \`a \textbf{5} du carr\’e fondamental de la figure 2 sous la forme $dx = ydz$.
4. Dans son article de 1971, Leon Chua pr\’edit l’existence d’une relation $f(\varphi, q)=0$ que l’on peut soit expliciter sous la forme $\varphi = \varphi(q)$, on dit que l’on a un memristor contr\^ol\’e par la charge ; soit sous la forme $q = q(\varphi)$, on dit alors que l’on a un memristor contr\^ol\’e par le flux. La sixi\`eme relation diff\’erentielle est pos\’ee sous la forme $d\varphi = M(q)\, dq$ o\`u $M(q)$ est la memristance. Quelle unit\’e rencontr\’ee fr\’equemment en \’electricit\’e est aussi celle de la memristance ? On justifiera pr\’ecis\’ement sa r\’eponse.
5. On associe deux memristors de memristances $M_1$ et $M_2$ en s\’erie. Quelle est la memristance $M$ du dip\^ole \’equivalent ? On justifiera sa r\’eponse. M\^eme question si on associe $M_1$ et $M_2$ en parall\`ele.}
6. D\’eterminer l’expression de $q(t)$ et tracer sur un m\^eme graphique les courbes repr\’esentatives de $i(t)$ et $q(t)$.
7. On donne sur la figure 3 la courbe repr\’esentative de $\varphi(t)$. Reproduire cette courbe en y rajoutant sans calcul l’allure de la courbe repr\’esentative de $u(t)$.
8. En analysant la courbe $u(i)$ du memristor pr\’ec\’edent repr\’esent\’ee sur la figure 4, pourquoi peut-on dire, en simplifiant un peu, que le memristor \’etudi\’e pr\’esente deux r\’egimes de fonctionnement : l’un dans lequel il laisse passer le courant et l’autre dans lequel ce n’est pas le cas ?
9. La courbe $u(i)$ de la figure 4 pr\’esente un ph\’enom\`ene particulier. Connaissez-vous le nom donn\’e \`a ce ph\’enom\`ene ? D\’ecrire deux autres situations physiques o\`u ce ph\’enom\`ene se manifeste. Expliquer la possibilit\’e d’utiliser le memristor pour m\’emoriser une information.
10. Leon Chua qualifia le memristor de non volatile memory, c’est-\`a-dire de m\’emoire permanente. Quel \’el\’ement sur le graphique de la figure 4 permet de dire que le memristor est une telle m\’emoire ?}
11. Etablir l’\’equation diff\’erentielle \`a laquelle satisfait la vitesse des porteurs de charge. Donner la solution $\vec{v}(t)$ sans se pr\’eoccuper de d\’eterminer la constante d’int\’egration. Quelle est l’expression de la vitesse en r\’egime permanent ? Sauf pr\’ecision contraire, on consid\`ere que l’on est en r\’egime permanent. Cette hypoth\`ese est-elle contraignante ?
12. La mobilit\’e $\mu$ des porteurs de charge est d\’efinie de telle sorte que $\vec{v} = \mu \vec{E}_0$. Donner l’expression de la mobilit\’e d’une charge $q$. Apr\`es avoir rappel\’e la d\’efinition de la densit\’e volumique de courant $\vec{j}_0$, \’etablir l’expression de la conductivit\’e \’electrique $\gamma_0$ du conducteur d\’efinie par la loi $\vec{j}_0 = \gamma_0 \vec{E}_0$. Quel est le nom de la loi pr\’ec\’edente ?
13. D\’eterminer l’expression de la r\’esistance \’electrique $R_0$ du cylindre conducteur en fonction de $\gamma_0$, $\ell$ et $S$.
14. Leon Chua indiqua dans son article fondateur que la r\’esistance \’etait un dip\^ole memoryless\footnote{sans m\’emoire} car le signal associ\’e \`a la tension suivait instantan\’ement les \’evolutions du signal associ\’e au courant. Justifier cette affirmation.
15. On impose maintenant au dip\^ole non plus le champ \’electrique $\vec{E}_0$ mais un champ \’electrique $\vec{E}_1$ toujours uniforme mais d\’ependant du temps selon $\vec{E}_1 = E_{1m} \cos \omega t$. Montrer que le dip\^ole peut \^etre d\’ecrit au moyen d’une imp\’edance complexe $Z$ correspondant \`a l’association de deux dip\^oles et que la tension ne suit plus instantan\’ement les \’evolutions de l’intensit\’e. On exprimera $Z$ en fonction, entre autres, de $R_0$. A quelle condition retrouve-t-on la situation o\`u le dip\^ole est un r\’esistor de r\’esistance $R_0$ ? Qualifier le comportement du conducteur et l’interpr\’eter.}
16. Quelle est la puissance transf\’er\’ee \`a la charge $q$ par le champ \’electrique $\vec{E}_0$ ? Quelle est la puissance volumique associ\’ee \`a ce transfert d’\’energie ?
17. En consid\’erant l’ensemble du conducteur cylindrique, montrer que la puissance qu’il re\c{c}oit est $p = ui$. Cette expression peut \^etre g\’en\’eralis\’ee aux r\’egimes lentement variables puisque la puissance instantan\’ee $p(t)$ est alors donn\’ee par : $p(t) = u(t)i(t)$.
18. Dans le cas o\`u le dip\^ole est un memristor, exprimer la puissance qu’il re\c{c}oit en fonction de sa memristance et de l’intensit\’e du courant.
19. Formuler des hypoth\`eses raisonnables pour d\’ecrire l’\’ecoulement du fluide dans le tuyau.
20. D\’eterminer la dimension de $f$. Compte-tenu de vos hypoth\`eses, identifier le r\’egime d’\’ecoulement dans le tuyau. D\’eterminer, sur le diagramme de Moody ci-contre, l’expression de $f$ en fonction de $Re$.}
21. En d\’eduire une formulation de la loi de Hagen–Poiseuille liant la chute de pression $P_e – P_s$ au d\’ebit volumique $D_{vol}$ du liquide qui parcourt le tuyau.
22. Donner l’expression de la r\’esistance hydraulique du tuyau. Discuter pr\’ecis\’ement les analogies et les diff\’erences avec la notion de r\’esistance \’electrique, on pr\’ecisera soigneusement les diff\’erents termes de cette analogie. Connaissez-vous, dans un autre domaine de la Physique, une autre r\’esistance ? Y a-t-il une analogie possible avec les deux pr\’ec\’edentes ?
23. L’image, propos\’ee par Leon Chua, du memristor comme un tuyau dont le diam\`etre varie est-elle appropri\’ee ?
24. Donner l’expression de la r\’esistance \’electrique du memristor lorsque la fronti\`ere entre la zone dop\’ee et la zone non dop\’ee se situe \`a l’abscisse $z_0$, on notera cette r\’esistance $R_{memo}$.
25. Interpr\’eter la relation pr\’ec\’edente.}
26. On suppose que $i(t < 0) = 0$, puis que $i(t \geq 0) \neq 0$ et enfin qu’\`a la date $t = 0$, la fronti\`ere est situ\’ee en $z = z_0$. Etablir l’expression de $z(t)$ en fonction, entre autres, de la charge $q(t)$ qui a circul\’e depuis la date $t = 0$. Quelle est la charge minimale $Q_{min}$ n\’ecessaire, dans le cas le plus d\’efavorable, pour que le memristor soit dans l’\’etat le plus conducteur possible ?
27. Etablir l’expression de la memristance $M(q)$ en fonction, entre autres, de $R_{memo}$. Expliquer pourquoi le memristor a \’et\’e r\’ealis\’e pour la premi\`ere fois avec un syst\`eme nanom\’etrique.
28. Pour simplifier les calculs, on consid\`ere que $R_{off} \gg R_{on}$, $z_0 = 0$ et $\varphi(t=0)=0$. On impose dans le memristor, \`a partir de la date $t=0$, un courant d’intensit\’e $i(t) = i_0 \sin \omega t$. Etablir les expressions de $q(t)$, $\varphi(t)$ et $u(t)$. 29. Dans leur article de 2008, les chercheurs des HP Labs ont obtenu exp\’erimentalement la courbe $i(u)$ de la figure 7. Commenter cette courbe.}