Questions du sujet
1. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique \’etablir l’\’equation diff\’erentielle $X\ddot{} + 2\xi \omega_0 \dot{X} + \omega_0^2 X = 0$ dans laquelle on a introduit la fonction $X(t) = x(t) – \tilde{x}$ o\`u $\tilde{x}$ est une constante que l’on d\’eterminera en fonction de $g$, $\omega_0$ et $\ell_0$. On pr\’ecisera les expressions et significations de $\omega_0$ et $\xi$.
2. Dans le r\’egime libre, le syst\`eme est mis en vibration uniquement par des conditions initiales non nulles $X(0) = X_0 \neq 0$ et $\dot{X}(0) = V_0 \neq 0$. D\’eterminer les solutions du r\’egime libre (en fonction de $\omega_0$, $\xi$, $X_0$, $V_0$ et $t$) pour les cas $\xi = 0$ et $0 < \xi < 1$ et pr\'eciser leur comportement. Dans certains cas, le vent peut induire sur le syst\`eme une force proportionnelle au vecteur vitesse que l'on \'ecrit $\vec{F}_v = \beta \dot{x} \vec{u}_x$, avec $\beta > 0$. Quelle peut-\^etre la cons\’equence de ce ph\’enom\`ene ?
3. Que devient l’\’equation de l’oscillateur en $Y$ sous le for\c{c}age pi\’eton ? D\’eterminer la fonction de transfert $H(\omega)$, rapport de la repr\’esentation complexe de la r\’eponse en d\’eplacement $Y$ sur la repr\’esentation complexe de l’excitation $E = \frac{1}{m} F_1$. On exprimera $H = Y / E$ en fonction de $\xi$, $\omega_0$ et $\Omega = \frac{\omega}{\omega_0}$.
4. Sous quelle condition portant sur $\xi$, un ph\’enom\`ene de r\’esonance peut-il se produire ? Pour quelle pulsation $\omega_r$ obtient-on alors ce ph\’enom\`ene ? Exprimer le gain en amplitude \`a la r\’esonance $|H|(\omega_r)$ dans la limite $\xi^2 \ll 1$.
5. En se pla\c{c}ant dans l’hypoth\`ese $\xi^2 \ll 1$ et \`a partir d’une analyse de la courbe 1 de la figure 3, d\’eterminer un ordre de grandeur de $\xi$ ainsi que la valeur de la pulsation propre $\omega_0$ de l’oscillateur mod\’elisant le Millennium Bridge avant la mise en place des amortisseurs harmoniques.}
6. Pourquoi est-il important de d\’eterminer les fr\’equences de r\’esonance d’une structure soumise \`a une action p\’eriodique ?
7. Quel(s) type(s) de capteur(s) est-il envisageable d’utiliser pour obtenir un signal \’electrique issu de la marche d’un pi\’eton ?
8. Analyser et interpr\’eter aussi pr\’ecis\’ement que possible ces diff\’erents spectres. Sont-ils tous exploitables ? Lequel vous para\^it le plus pertinent ? En d\’eduire la (ou les) fr\’equence(s) caract\’eristique(s) de la marche \’etudi\’ee. Etait-ce qualitativement pr\’evisible ?
9. \`A partir d’une exploitation des donn\’ees fournies dans le sujet, expliquer l’origine du probl\`eme concernant le Millennium Bridge et justifier que l’installation d’amortisseurs harmoniques ait pu le r\’esoudre.
10. Quelle est l’unit\’e d’un module d’Young ? On motivera sa r\’eponse pour laquelle on utilisera une seule unit\’e du syst\`eme international.}
11. On note $X(x,t)$ le d\’eplacement par rapport \`a la position de repos d’une section plane d’abscisse $x$. Calculer la variation relative de longueur d’une tranche \’el\’ementaire du cylindre de longueur au repos $dx$ et en d\’eduire la force de traction $\vec{F}(x,t) = F(x,t)\vec{u}_x$ exerc\’ee par la partie \guillemotleft droite \guillemotright{} (du c\^ot\’e des $x$ croissants) sur la partie \guillemotleft gauche \guillemotright{} (du c\^ot\’e des $x$ d\’ecroissants) en fonction de $E$, $S$ et $\frac{\partial X}{\partial x}$. \’Ecrire l’\’equation du mouvement de la tranche de longueur $dx$ et en d\’eduire l’\’equation aux d\’eriv\’ees partielles v\’erifi\’ee par $X(x,t)$.
12. En appliquant un th\’eor\`eme de m\’ecanique \`a un tron\c{c}on de corde infinit\’esimal de longueur $d\ell = \sqrt{dx^2 + dy^2}$, montrer que, sous les hypoth\`eses effectu\’ees, le module de la tension de la corde est ind\’ependant de $x$. On le notera $T_0$.
13. Montrer alors que l’on peut \’ecrire $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c_\ell^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ o\`u l’on exprimera $c_\ell$ en fonction de $T_0$ et $\mu$.
14. On cherche des solutions sous la forme $y(x,t) = f(x)g(t)$. De quel type d’onde s’agit-il ? Sous quelles hypoth\`eses de telles ondes apparaissent-elles dans ce genre de structure ?
15. D\’eterminer les \’equations diff\’erentielles v\’erifi\’ees par $f(x)$ et $g(t)$. En d\’eduire que $g(t)$ est une fonction p\’eriodique de pulsation $\omega$ constante. Combien de constantes d’int\’egrations sont n\’ecessaires \`a la d\’etermination compl\`ete de la solution $y(x,t)$ correspondant \`a la situation \’etudi\’ee ?}
16. Justifier pr\’ecis\’ement que l’on puisse \’ecrire
$$
f(x) = A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x) + C\cosh(\beta x) + D\sinh(\beta x)
$$
o\`u $A$, $B$, $C$ et $D$ sont des constantes d’int\’egration, on pr\’ecisera l’expression de $\beta$ en fonction des donn\’ees du probl\`eme.
17. D\’eterminer les pulsations propres $\omega_n$ de vibration transversale d’une poutre en appui simple en fonction de $L$, $E$, $I$, $\rho$, $S$ et d’un entier $n$ caract\’erisant le mode.
18. Diff\’erents modes de vibrations d’une passerelle ont \’et\’e repr\’esent\’es sur la figure 6, quels sont ceux correspondants \`a l’\’etude propos\’ee dans cette section ? Identifier de fa\c{c}on argument\’ee pour chacun de ces modes, l’entier $n$ le caract\’erisant.
19. Dans le cadre du mod\`ele de la poutre sur appui simple, existe-t-il des modes de vibration transversale du Millennium Bridge susceptibles d’entrer en r\’esonance avec un for\c{c}age par des pi\’etons ? Discuter \’egalement de la possibilit\’e d’une excitation r\’esonante de certains modes de vibration lat\’erale, c’est-\`a-dire dans le sens de la largeur $b$. On motivera ses r\’eponses par une argumentation pr\’ecise.}