Questions du sujet
1 — Montrer que, lorsque l’´equilibrage `a vide est r´ealis´e, le centre de masse, G, des parties mobiles de la balance est situ´e en O.
2 — Lorsque le courant circule ≪ dans la balance ≫, montrer que le moment r´esultant en O des forces de Laplace s’exer¸cant sur les parties en arc de cercle est nul.
3 — A l’´equilibre, en pr´esence de courant et de champ magn´etique, ´etablir l’expression du moment en O des forces de Laplace. En d´eduire la relation liant $B = |\vec{B}|$, la somme $m$ des masses marqu´ees pos´ees sur le plateau, $i$, $\ell$, $d_1$, $d_2$ et le module $g$ du champ de pesanteur $\vec{g}$.
4 — La sensibilit´e de la balance ´etant de $\delta m = 0,05$ g, d´eterminer la plus petite valeur de $B$ mesurable pour $i = 10$ A, $g = 10\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, $\ell = 5$ cm et $d_1 = d_2 = 10$ cm. En comparant cette valeur avec une ou des r´ef´erences connues, conclure quant `a l’utilisabilit´e de la balance.
5 — Apr`es avoir exprim´e le couple des forces magn´etiques s’exer¸cant sur l’aiguille en fonction des param`etres du probl`eme que sont $B = |\vec{B}|$, $M_m = |\vec{M}_m|$ et $\alpha$, ´etablir l’´equation diff´erentielle dont $\alpha$ est solution. En d´eduire les positions d’´equilibres de l’aiguille, et indiquer sans calcul l’´equilibre stable. En supposant $\alpha \ll 1$, donner l’expression de $\alpha (t)$ en notant $\alpha_0$ la valeur maximale de cet angle, en faisant apparaˆıtre le rapport $\kappa = \frac{M_m}{J}$ et en supposant que $\frac{d\alpha}{dt}\vert_{t=0} = 0$ rad $\cdot$ s$^{-1}$.}
6 — La quantit´e $B_0 = |\vec{B}_0|$ s’exprime en fonction de $\mu_0$, $R$ et $I$. Par comparaison avec d’autres champs magn´etiques, choisir en justifiant pr´ecis´ement ce choix, l’expression de $B_0$ parmi les suivantes :
\[
B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R} \qquad B_0 = \frac{\mu_0 R}{2I} \qquad B_0 = \frac{\mu_0 I R}{2} \qquad B_0 = \frac{I R}{2\mu_0}
\]
7 — Les bobines ont un rayon $R = 15$ cm. On donne le d´eveloppement limit´e suivant
\[
\left[ 1 + \left( X \pm \frac{1}{2} \right)^2 \right]^{-3/2} = \frac{8}{5\sqrt{5}}\left[ 1 \mp \frac{6}{5}X \pm \frac{32}{25}X^3 – \frac{144}{125}X^4 + o(X^4) \right]
\]
Dans quelle zone situ´ee sur l’axe $Ox$, peut-on consid´erer que la variation relative de la norme du champ est inf´erieure `a 2\% ? Pr´eciser la valeur num´erique de cette norme sachant que $N = 50$ spires et $I = 4$ A ?
8 — La valeur mesur´ee de la p´eriode des petites oscillations de l’aiguille aimant´ee est $T = 0,30$ s. D´eterminer l’unit´e et calculer la valeur num´erique du rapport $\kappa$ pour cette boussole.
9 — Apr`es avoir fait un sch´ema repr´esentant $\vec{M}_T$ ainsi que le vecteur $\vec{B}(M)$, les angles $i$ et $\theta$ si le point $M$ est la ville de Paris, d´eduire des mesures effectu´ees la coordonn´ee $\theta$ de cette ville. Que peut-on en conclure concernant l’axe de sym´etrie du champ magn´etique terrestre et l’axe de rotation de la terre ?
10 — En indiquant les arguments utilis´es, d´eduire des mesures effectu´ees et du r´esultat de la question 8, l’intensit´e du champ magn´etique terrestre `a Paris. Calculer alors $M_T = |\vec{M}_T|$.}
11 — Etablir l’expression de la vitesse $\vec{v}$ des porteurs de charge et calculer sa norme.
12 — Apr`es avoir exprim´e la force magn´etique s’exer¸cant sur une charge mobile, justifier que des densit´es surfaciques de charge apparaissent sur les faces 2 et 4. On pr´ecisera les signes de ces densit´es.
13 — En appliquant le principe fondamental de la m´ecanique `a un porteur de charge en projection sur $\vec{u}_z$, d´eterminer l’expression de $E_h$. Montrer qu’il apparaˆıt une diff´erence de potentiel $u_h = V_4 – V_2$ entre les faces 4 et 2. Celle-ci est appel´ee tension de Hall, on l’´ecrira sous la forme $u_h = \gamma B$ en pr´ecisant l’expression et la valeur num´erique de la constante $\gamma$.
14 — Pour quelle valeur de la r´esistance $R$ le dipˆole $AM$ se comporte-t-il comme une source de courant id´eale, d´elivrant un courant $I_0 = 10$ mA ?
15 — Montrer que l’utilisation du montage de la figure 6 associ´e `a celui de la figure 5 peut poser des probl`emes de r´ef´erence de potentiel.}
16 — Montrer que le probl`eme rencontr´e `a la question 15 est r´esolu par l’utilisation d’un amplificateur diff´erentiel. Etablir la relation entre $u_s$ et $u_h = V_4 – V_2$. A quelle condition sur $R_2$ et $R_1$ la tension de Hall est elle amplifi´ee ?
17 — Etablir l’expression de la r´esistance d’entr´ee sur la face 4. Quel probl`eme pose le r´esultat obtenu ?
18 — Etablir l’expression de la r´esistance d’entr´ee et du gain en tension $A = \frac{u_s}{u_e}$ pour le montage de la figure 6.
19 — Dans quelle limite peut-on se placer en ce qui concerne les valeurs de $R$ et de $R’$ pour r´esoudre le probl`eme soulev´e `a la question 17. Comment s’appelle le montage de la figure 6 dans cette limite.
20 — Repr´esenter le montage complet incluant la plaquette semi-conductrice et l’´electronique qui permet la mesure de la composante horizontale du champ magn´etique terrestre. On placera cette composante sur la figure qui utilisera entre autres 5 r´esistances et 3 ALI.}
21 — On choisit $R_1 = 100\ \Omega$ et $R_2 = 1$ k$\Omega$. On obtient alors $u_s = 20,0$ mV, quelle est la valeur de cette composante ?
22 — D´eterminer, dans ce mod`ele, la direction de $\vec{B}_0$ ainsi que les variables spatiales du probl`eme dont ce champ ne d´epend pas. A l’int´erieur de la plaquette o`u la variable $y \in \left[ -\frac{c}{2}, \frac{c}{2} \right]$, ´ecrire la ou les ´equations diff´erentielles dont les composantes de $\vec{B}_0$ sont solutions. En d´eduire l’expression de $\vec{B}_0$. Calculer la valeur maximale de la norme de ce champ. Dans la mesure du champ terrestre, pouvait-on n´egliger l’influence de $\vec{B}_0$ ?
23 — Le conducteur est globalement non charg´e, v´erifier que l’hypoth`ese $V = V(r)$ est la seule possible. D´eterminer le potentiel ´electrique en un point $M$ de ce conducteur. En d´eduire l’intensit´e $E$ du champ ´electrique $\vec{E}$ en ce mˆeme point en fonction de $V_1$, $V_2$, $r_1$, $r_2$ et $r$.
24 — Pour chaque ´electron, ´etablir, en r´egime permanent, la relation entre $\vec{v}$, $\vec{B}$ et $\vec{E}$ param´etr´ee par $\lambda$ et la charge ´el´ementaire $e$. En d´eduire l’expression, dans la base cylindrique $(\vec{u}_r,\vec{u}_\theta,\vec{u}_z)$, des coordonn´ees de $\vec{v}$ en fonction de $e$, $\lambda$, $E$ et $B$ puis celles du vecteur densit´e volumique de courant $\vec{j}$.
25 — Exprimer l’intensit´e du courant ´electrique traversant une surface ´equipotentielle de rayon $r$. En d´eduire la r´esistance ´electrique $R$ de la couronne, en fonction de $e$, $n$, $\lambda$, $B$, $h$, $r_1$ et $r_2$. On note $R_0$ la r´esistance en l’absence de champ magn´etique. Exprimer l’´ecart relatif $\epsilon = \frac{R-R_0}{R_0}$ en fonction de $e$, $B$ et $\lambda$. Calculer la valeur num´erique de $R_0$ ainsi que celle de $\epsilon$ pour $B = 1,0$ mT, $r_1 = 1,0$ mm, $r_2 = 3,0$ mm, $h = 1,0$ mm, $n = 1,1 \times 10^{21} \mathrm{~m}^{-3}$ et $\lambda = 1,8 \times 10^{-17}$ kg $\cdot$ s$^{-1}$. Commenter l’utilisation du ph´enom`ene pour la mesure de champs magn´etiques.}