Montrer la bijectivité d’une application complexe
Soit \(\Phi : \mathbb{C}^{+} \to \mathbb{D}\), avec \(\Phi(z) = \frac{z – i}{z + i}\). On souhaite montrer que \(\Phi\) est...
Mathématiques
Résolution d’une équation complexe
Soit \(z_{0}\) un nombre complexe fixé.\ a. Soit \(\theta \in]-\pi ; \pi\left[\right.\), déterminer en fonction de \(\theta\) le module et...
Produit de termes complexes avec racines de l’unité
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}\). a) Montrer que : \[\forall (a, b) \in \mathbb{C}^{2}, \quad \prod_{k=0}^{n-1}\left(a +...
Alignement de points dans le plan complexe
Déterminer les \(z \in \mathbb{C}\) tels que \(z\), \(z^{2}\), et \(z^{5}\) soient alignés. Centrale algèbre linéaireSignaler une erreur
Résolution d’une équation complexe sous forme exponentielle
Résoudre \[ (1 + z)^{2n} = (1 – z)^{2n} \] avec \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Indispensables algèbre linéaireSignaler une erreur
Calcul d’une somme trigonométrique et passage à la limite
Pour \(x \in \mathbb{R}\) et \(p \in \mathbb{N}\), calculer \[ S_{p}(x) = \sum_{k=1}^{2p}(-1)^{k-1} \frac{\cos (kx)}{2^{k}}. \] Déterminer \(\lim...
Résolution d’une équation polynomiale complexe de degré 4
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l’équation\[z^{4} – (5 – 14i) z^{2} – 2(5i + 12) = 0.\] Indispensables algèbre linéaireSignaler une erreur
Intégrale d’une fonction décroissante continue par morceaux
Soit \( h: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction décroissante continue par morceaux telle que \( \int_0^{+\infty} h(t) \, dt...
Étude d’une partie non vide et bornée de R
Soit $C$ une partie non vide et bornée de $\mathbb{R}$.a. Montrer qu’il existe une suite $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ d’éléments de...
Limite en 0 d’une fonction C1, intégrable et bornée sur R+
Soit une fonction $\mathrm{f}: \mathbb{R}{+} \rightarrow \mathbb{R}{+}$, de classe $\mathrm{C}^1$ et intégrable sur $\mathbb{R}{+}$telle que $\mathrm{f}^{\prime}$ est bornée sur $\mathbb{R}{+}$....