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Questions du sujet 1. Soit $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux à valeurs dans un intervalle $J$. Soit $\varphi$ une fonction continue et convexe sur $J$. Démontrer que \[ \varphi \left( \frac{1}{b – a} \int_a^b f(t) \, dt \right) \leq \frac{1}{b – a} \int_a^b \varphi \circ f(t) \, dt. \]…

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Questions du sujet 1. Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}[X]$. 2. Soit $P \in \mathbb{K}[X]$. Déterminer le degré de $\Delta(P)$ en fonction de celui de $P$. 3. Montrer que, pour tout $d \in \mathbb{N}^*$, $\Delta$ induit un endomorphisme sur $\mathbb{K}_d[X]$. 4. Déterminer $\operatorname{Ker}(\Delta_d)$ et $\operatorname{Im}(\Delta_d)$ pour tout $d \in \mathbb{N}^*$. 5. En déduire…

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