Questions du sujet
1. 1. Rappeler l’expression du vecteur de Poynting, noté $\vec{\Pi}(M, t)$. Donner sa dimension et son unité courante.1. 2. Exprimer $\vec{g}_{\text{em}}(M, t)$ en fonction de $\vec{\Pi}(M, t)$. Donner la dimension de $\vec{g}_{\text{em}}$ et $\vec{\ell}_{\text{em}}$, et vérifier que $\vec{G}_{\text{em}}$ et $\vec{L}_{\text{em}}$ sont respectivement homogènes à une quantité de mouvement et un moment cinétique.
1. 3. Déterminer l’expression du champ magnétique $\vec{B}_{\text{sol}}(M, t)$ produit à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde, et pour chacune des phases temporelles : $t < 0$, $t \in [0, \tau[$ et $t \ge \tau$. On justifiera les éventuelles approximations et on précisera si le champ magnétique est homogène à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde.
1. 4. Exprimer le champ électrique $\vec{E}_{\text{sol}}(M, t)$ produit à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde et pour chacune des phases temporelles : $t < 0$, $t \in [0, \tau[$ et $t \ge \tau$. On justifiera les éventuelles approximations et on précisera si le champ électrique est homogène à l'intérieur et à l'extérieur du solénoïde.
1. 5. En supposant que $\tau$ est suffisamment petit pour qu’on puisse négliger le déplacement de la charge ponctuelle pendant l’intervalle $[0, \tau]$, déterminer l’expression de la vitesse $\vec{v}_P$ pour des instants $t \ge \tau$. On négligera l’influence du poids de la particule devant les forces électromagnétiques. On exprimera le résultat en faisant apparaître les grandeurs caractéristiques de la charge, $q$, $m$ et $a$, et celles qui sont caractéristiques du solénoïde, $b$, $L$, $N$ et $i_0$.}
1. 6. Rappeler sans démonstration l’expression du champ électrostatique en un point $M$ de l’espace, produit par une charge ponctuelle $q$, située en $P$.
1. 7. Exprimer $\vec{G}_{\text{em}}(t)$ en présence de la charge $q$, de position initiale $P$, pour les phases $t < 0$ et $t \ge \tau$. On pourra utiliser l'expression de l'intégrale suivante $\iiint_{V_{\text{sol}}} \frac{\vec{PM}}{\|\vec{PM}\|^3} \mathrm{d}V = -\frac{2\pi b^2}{a}\vec{e}_x$.
1. 8. À partir d’un bilan de quantité de mouvement, expliquer comment la charge ponctuelle est mise en mouvement. En particulier, la quantité de mouvement de la particule est-elle conservée au cours du temps ? Celle du champ électromagnétique ? Celle de l’ensemble \{charge + champ électromagnétique\} ?
1. 9. Donner l’équation à laquelle obéit le champ électromagnétique entre les deux parois. En déduire une équation différentielle vérifiée par $E_0(x)$. On note $k = \frac{\omega}{c}$ la norme du vecteur d’onde.
1. 10. En précisant les conditions aux limites en $x = 0$ et $x = L$ sur $E_0$ et en expliquant leur origine, déterminer l’expression de $E_0(x)$. Montrer que les conditions aux limites conduisent à une quantification de la pulsation et déterminer l’expression de cette pulsation $\omega_n$, $n \in \mathbb{N}^*$.}
1. 11. Pour un champ électrique dont l’expression serait $\vec{E}(M, t) = E_0(x)e^{i\omega t}\vec{e}_z$, montrer que la condition obtenue précédemment est la même. En déduire que pour une pulsation $\omega_n$ donnée respectant cette condition, il est possible d’avoir deux champs électriques solutions dont les polarisations sont rectilignes et perpendiculaires entre elles.
1. 12. Exprimer le nombre de modes $\mathcal{N}(\omega)$ pour lesquels la pulsation est inférieure à $\omega$ fixée.
1. 13. Déterminer l’expression du nombre de modes $\mathcal{D}(\omega)$ par unité de pulsation $\omega$. En déduire l’expression du nombre de modes $\mathcal{D}(\nu)$ par unité de fréquence $\nu$ \[ \mathcal{D}(\nu) = \frac{8\pi V}{c^3}\nu^2, \] où $V$ est le volume de la cavité.
1. 14. En utilisant le théorème d’équipartition de l’énergie appliqué au champ électromagnétique contenu dans la cavité en contact avec un thermostat de température fixée $T$, déterminer l’expression de la densité spectrale d’énergie électromagnétique moyenne $\overline{U}(\nu)$ dans la cavité, \[ \overline{U}(\nu) = A\nu^2 k_B T, \] où $A$ est un préfacteur, dépendant de $V$ et de $c$ notamment, à déterminer.
1. 15. Comparer la densité spectrale $\overline{U}(\nu)$ prévue par le modèle de Rayleigh-Jeans aux données de la figure 3. Expliquer pourquoi l’on parlait de « catastrophe ultraviolette » jusqu’au début du XX\textsuperscript{ème} siècle. Quelle hypothèse réalisée dans le raisonnement précédent pourrait être erronée ?}
1. 16. Exprimer la probabilité $P_n(\nu)$ qu’un mode électromagnétique de fréquence $\nu$ contienne $n$ photons. On notera $\mathcal{Z}(\beta, \nu)$ la fonction de normalisation de la probabilité $P_n(\nu)$ qui assure que $\sum_{n=0}^{+\infty} P_n(\nu) = 1$, avec $\beta = \frac{1}{k_B T}$. Cette fonction porte le nom de fonction de partition.
1. 17. En utilisant la condition de normalisation ci-dessus, déterminer l’expression de $\mathcal{Z}(\beta, \nu)$. En déduire que \[ P_n(\nu) = e^{-\beta n h \nu} (1 – e^{-\beta h \nu}). \]
1. 18. Établir l’expression du nombre moyen de photons, noté $\bar{n}(\nu)$, contenus dans le mode électromagnétique de fréquence $\nu$. On pourra poser $x = e^{-\beta h \nu}$ afin de faciliter les calculs.
1. 19. Montrer que la probabilité $P_n$ peut se réécrire sous la forme \[ P_n = \frac{1}{\bar{n} + 1}\left(\frac{\bar{n}}{\bar{n} + 1}\right)^n. \] Cette distribution de probabilité, appelée distribution de Bose-Einstein, est caractéristique des modes électromagnétiques du rayonnement de corps noir (aussi appelé rayonnement thermique).
1. 20. Calculer l’énergie moyenne $\overline{\mathcal{E}}(\nu)$ du mode électromagnétique de fréquence $\nu$. Montrer que la densité spectrale d’énergie moyenne associée $\overline{U}(\nu)$ s’écrit \[ \overline{U}(\nu) = \frac{8\pi\nu^2 V}{c^3}\frac{h\nu}{e^{\beta h \nu} – 1}. \]}
1. 21. En comparant deux énergies caractéristiques, déterminer les expressions asymptotiques de la densité spectrale d’énergie électromagnétique moyenne d’un mode dans la cavité dans les régimes basse et haute fréquences. Tracer sur un même graphique les allures obtenues pour la courbe représentative de $\overline{U}(\nu)$ en fonction de $\nu$ dans l’approche de Rayleigh-Jeans et dans celle de Planck. Expliquer en quoi les travaux de ce dernier ont permis de résoudre la « catastrophe ultraviolette » à laquelle conduit l’approche de Rayleigh-Jeans, et évoquée à la question 15.
1. 22. L’énergie nécessaire pour arracher un électron de conduction dans le lithium vaut $W_0 = 2,4\text{ eV}$. Montrer en quoi l’hypothèse corpusculaire d’Einstein permet d’expliquer qu’aucun photo-courant n’est mesuré pour $\lambda = 546\text{ nm}$. On donne $hc \simeq 1,2\text{ eV}\cdot\mu\text{m}$.
1. 23. Expliquer qu’en l’absence de tension $u$ appliquée, on observe tout de même un photo-courant non-nul. Comment évolue la situation lorsqu’on applique une tension $u < 0$ ? Justifier alors l'appellation « potentiel d'arrêt » donnée à la tension $U_0$.
1. 24. En considérant que l’énergie du rayonnement incident est intégralement transmise aux électrons libres de la cathode, exprimer le potentiel d’arrêt $U_0$ en fonction de $e$, $h$, $\nu$ et du travail d’extraction $W_0$, et justifier l’observation $ii)$.
1. 25. La figure 4 (c) représente les mesures $U_0 = f(\nu)$ obtenues par Millikan lui-même, en relevant le potentiel d’arrêt en fonction des longueurs d’onde associées aux différentes raies du mercure. À partir de ces mesures, déterminer la valeur numérique à laquelle il est parvenu pour la constante de Planck $h$, et estimer l’incertitude $\Delta h$ associée.}
1. 26. Justifier que le courant $i$ augmente progressivement à mesure qu’on applique une tension $u > 0$ croissante et expliquer la limitation du courant à une valeur de saturation, notée $I_{\text{sat}}$.
1. 27. On appelle rendement quantique $\eta$ la probabilité qu’un photo-électron soit émis lorsqu’un photon frappe la cathode. Exprimer $I_{\text{sat}}$ en fonction de $\eta$ et justifier l’observation $iii)$. Reproduire l’allure de la courbe (b), figure 4, pour différentes valeurs de la puissance lumineuse $P$ à fréquence $\nu$ fixée, et proposer alors une méthode qui permettrait de déterminer $\eta$ pour la cathode en lithium utilisée ici.
1. 28. Pour caractériser les fluctuations du nombre de photons autour de la valeur moyenne $\bar{n}$, on utilise l’écart-type $\Delta n$ (défini dans le formulaire). Déterminer $\Delta n$ en fonction de $\bar{n}$.
1. 29. Représenter l’allure de la probabilité $P_n$ en fonction de $n$, en faisant apparaître qualitativement la moyenne $\bar{n}$ et l’écart-type $\Delta n$ sur le graphique.
1. 30. Exprimer le flux $\Phi$ en fonction de la puissance incidente $P$. Évaluer numériquement $\Phi$ pour une source laser de puissance $P = 1\text{ mW}$ et de longueur d’onde $\lambda = 400\text{ nm}$. En déduire une valeur numérique de la durée qui sépare l’émission de deux photons en moyenne pour une telle source.}
1. 31. En supposant que les photons sont émis indépendamment les uns des autres, et en négligeant les émissions multiples dans un intervalle de temps élémentaire $\delta\tau = \tau/N$ (avec $N$ le nombre de subdivisions de la durée $\tau$ et $N \gg \bar{n}$), justifier que la probabilité $P_n$ suit une loi binomiale dont l’expression est donnée par \[ P_n = \binom{N}{n} p^n (1-p)^{N-n}. \] On précisera la signification physique de $p$. Exprimer $p$ à l’aide du formulaire sachant que cette loi doit conduire à un nombre moyen $\bar{n}$ de photons émis.
1. 33. En utilisant le formulaire, donner également l’expression de l’écart-type $\Delta n$ dans la limite $N \gg \bar{n}$. Comparer au cas d’une source de rayonnement thermique (cf. question 28) et interpréter en termes de stabilité de la source.
1. 34. En développant $(1-p)^{N-n}$ dans la limite $N \to +\infty$, et en utilisant le résultat (12), montrer que la statistique d’émission de la source laser tend vers une distribution de Poisson, caractérisée par sa seule valeur moyenne $\bar{n}$ : \[ \lim_{N\to+\infty} P_n = \frac{\bar{n}^n}{n!} e^{-\bar{n}}. \]
1. 35. Sur le même graphique, représenter l’allure des lois de probabilité $P_n$ d’un mode thermique et d’une source laser de même fréquence $\nu$ telles que $\bar{n} = 10$.
1. 36. On suppose que lorsqu’un électron frappe une dynode, deux nouveaux électrons sont éjectés. Estimer numériquement la hauteur $u_{\max}$ d’un pic de tension occasionné par l’arrivée d’un photon, pour un photomultiplicateur contenant $k = 20$ dynodes. On donne $2^{20} \simeq 10^6$.}
1. 37. Le circuit diviseur de tension est composé de $k$ résistances identiques $R$ en série. Sachant que l’alimentation haute tension délivre une puissance continue de $2\text{ W}$, déterminer la valeur de $R$ pour assurer une différence de potentiel $\Delta U = 100\text{ V}$ entre deux dynodes successives. Estimer l’énergie cinétique que cela permet de communiquer aux électrons secondaires avant leur impact sur une dynode. Comparer cette énergie au travail d’extraction d’une dynode en phosphure de gallium : $W_{\text{GaP}} = 2,2\text{ eV}$.
1. 38. On définit $\Gamma$ le taux de comptage en sortie du photomultiplicateur comme le nombre moyen de photons détectés par unité de temps, exprimé en Hz. Donner $\Gamma$ en fonction de la puissance incidente $P$, du rendement quantique $\eta$ (défini à la question 27) et de l’énergie d’un photon de fréquence $\nu$.
1. 39. En exploitant la courbe de réponse spectrale $\frac{\Gamma}{P} = f(\lambda)$ représentée sur la figure 6, estimer numériquement $\eta$ pour un rayonnement incident de longueur d’onde $400\text{ nm}$, et pour le modèle de photomultiplicateur n°110.
1. 40. Au regard du signal correspondant à la détection d’un photon unique, expliquer pourquoi le domaine de linéarité du photomultiplicateur est limité par son temps de réponse fini. Estimer alors le taux de comptage maximum au-delà duquel la réponse du photomultiplicateur n’est plus linéaire. Comparer aux spécifications de la figure 6. En déduire la puissance lumineuse maximale $P_{\max}$ qui ne doit pas être dépassée pour demeurer dans le régime linéaire avec un rayonnement à $400\text{ nm}$. Commenter cette valeur.
1. 41. Calculer numériquement le compte moyen $\bar{n}$ et l’écart-type $\Delta n$ auxquels on s’attend pour une fenêtre de détection de durée $\tau = 0,1\text{ s}$ sachant que le rendement quantique du photomultiplicateur vaut $25\%$.}
1. 42. Proposer un protocole permettant de déterminer si le laser à argon présente bien une statistique d’émission poissonnienne.
1. 43. Exprimer le temps de cohérence $\tau_c$ de la lumière émise par la lampe, en fonction de ses caractéristiques spectrales. L’estimer numériquement.
1. 44. En admettant que le temps de cohérence d’une source polychromatique correspond au temps caractéristique de ses variations d’intensité, expliquer pourquoi il est très difficile de mettre en évidence les grandes fluctuations du nombre de photons prévues par la statistique de Bose-Einstein pour une telle lampe.
1. 45. L’expression de l’écart-type $\Delta n$ trouvée pour une source thermique à la question 28 suppose un rayonnement monochromatique. On peut montrer que pour une superposition de $N_m$ modes de fréquences différentes, l’écart-type devient \[ \Delta n = \sqrt{\bar{n} + \frac{\bar{n}^2}{N_m}}. \] Justifier que pour un rayonnement thermique ayant un spectre large, la distribution de Bose-Einstein initialement prévue tend vers une distribution de Poisson. Proposer un lien entre ce résultat et le constat réalisé à la question précédente (44). Comment pourrait-on obtenir une source de lumière qui présente une statistique de Bose-Einstein aux temps de détection accessibles expérimentalement ?}
FAQ
Le vecteur de Poynting représente le flux d’énergie électromagnétique à travers l’espace. Il joue un rôle fondamental pour comprendre le transfert d’énergie par les champs électriques et magnétiques, par exemple dans le cas d’un solénoïde ou dans les phénomènes d’ondes électromagnétiques en cavité. En concours, maîtriser cette notion te permet d’aborder sereinement les exercices sur les bilans d’énergie, la puissance transportée ou l’étude de l’interaction lumière-matière.
La quantité de mouvement du champ électromagnétique (souvent notée \(\vec{G}_{\text{em}}\)) est subtile mais essentielle : elle traduit la capacité du champ à transporter de la quantité de mouvement indépendamment de la matière. Dans des systèmes comme une cavité ou autour d’un solénoïde, un changement de champ peut transférer une quantité de mouvement à une particule. Comprendre ce partage entre particule et champ te permet, non seulement de traiter rigoureusement les bilans dans les énoncés, mais aussi d’aborder des phénomènes physiques comme l’effet photoélectrique ou la pression de radiation.
Le modèle de Rayleigh-Jeans prévoit une densité spectrale d’énergie qui croît indéfiniment lorsque la fréquence augmente, ce qui est physiquement irréaliste : c’est ce qu’on appelle la “catastrophe ultraviolette”. Ce paradoxe a marqué l’histoire de la physique et conduit à l’introduction de la quantification par Planck, qui résout le problème grâce au concept de photon. Cette question, classique des concours scientifiques, relie thermodynamique, electromagnétisme et physique quantique, et permet de bien comprendre la rupture que représente le début du XXᵉ siècle dans l’histoire des sciences. Si tu veux t’entraîner sur ce type de questions ou vérifier tes propres développements, pense à débloquer les corrigés sur PrépaBooster !
La statistique de Bose-Einstein s’applique aux photons issus d’un rayonnement thermique, où les grandes fluctuations sont la norme. En revanche, les lasers émettent des photons suivant une statistique de Poisson, ce qui traduit une bien meilleure stabilité. Quant à la loi binomiale, elle sert de passerelle entre les deux modèles selon le régime considéré. Cette distinction permet de comprendre les mesures, d’interpréter les expériences de fluctuation du nombre de photons et d’analyser le bruit de sources lumineuses – toutes notions fréquemment abordées dans les sujets de concours de physique en MP.
Les modes d’une cavité déterminent les fréquences auxquelles celle-ci peut résonner et influencer la densité d’états accessibles au champ électromagnétique. La quantification de ces modes est à la base du calcul des propriétés du rayonnement de corps noir et permet de passer du modèle classique à l’analyse quantique (discrétisation des énergies par Planck). Maîtriser ces concepts t’aidera à résoudre efficacement les questions liées aux conditions aux limites, à la quantification des fréquences et à la densité spectrale d’énergie. Pour affiner ta compréhension et t’entraîner, n’hésite pas à débloquer les exercices corrigés sur PrépaBooster.
L’effet photoélectrique est un excellent exemple de transition entre la physique classique et la physique quantique. L’étudiant doit mobiliser des connaissances sur la conservation de l’énergie, la quantification et le lien entre expérimentation et théorie pour aboutir à la relation d’Einstein et à la détermination de la constante de Planck. C’est un exercice type X-ENS qui valorise la rigueur, la méthode et la capacité à mettre en lien théorie et résultats expérimentaux tout en analysant les incertitudes. Pour travailler ces méthodes et comparer tes démarches, il te suffit de débloquer les corrigés sur PrépaBooster.
Le temps de cohérence caractérise la stabilité en phase d’une source lumineuse. Il influence la précision des mesures d’interférences et la capacité à observer les fluctuations du nombre de photons. En pratique, une source polychromatique a un temps de cohérence faible, ce qui rend les fluctuations de Bose-Einstein difficiles à observer directement. Ces notions sont au cœur des sujets abordant l’optique quantique moderne et la physique des lasers, thèmes incontournables du programme MP.
Le photomultiplicateur est souvent un exercice de synthèse en concours, mêlant physique des détecteurs, électricité (diviseur de tension, amplification), analyse énergétique et statistiques des comptes de photons. C’est l’occasion d’appliquer les lois d’amplification, de calculer des rendements quantiques, de discuter la linéarité du système et la saturation. S’entraîner sur ces exercices, en t’appuyant sur les corrigés disponibles sur PrépaBooster, te donnera une vision concrète des applications expérimentales de la physique enseignée en CPGE scientifique.
La clef, c’est de varier les types d’exercices : rédige des démonstrations rigoureuses, fais des schémas, réalise des bilans énergétiques ou de quantité de mouvement, et interroge-toi sur l’interprétation physique de chaque résultat. Entraîne-toi aussi sur la quantification des modes, la résolution d’équations différentielles et la manipulation des statistiques de photons. Pour t’aider à progresser plus efficacement et cibler tes faiblesses, tu peux d’ailleurs débloquer les corrigés, accéder à des exercices variés et disposer d’un dashboard de suivi personnalisé sur PrépaBooster.