Questions du sujet
1. 1. Le Soleil est constitué en majorité d’hydrogène et d’hélium. L’intérieur du Soleil est si chaud que les atomes sont entièrement ionisés. Comment appelle-t-on cet état de la matière ?1. 2. La fusion nucléaire est un processus dans lequel deux noyaux légers se rapprochent suffisamment pour fusionner l’un avec l’autre. La répulsion électrostatique rendrait ce rapprochement impossible en l’absence d’un phénomène de physique quantique, qui leur permet de franchir la barrière de potentiel. De quel effet s’agit-il ?
1. 3. Nous étudions d’abord le cas simple, à une dimension, de l’état stationnaire d’énergie $E$ d’une particule quantique de masse $m$, qui rencontre une marche de potentiel. L’énergie potentielle vaut $0$ pour $x < 0$ et $V$ pour $x \ge 0$, avec $V > E$. On note $\psi(x)$ la partie spatiale de la fonction d’onde de la particule dans son état stationnaire. Déterminer l’expression de $\psi(x)/\psi(0)$ pour $x > 0$. On notera $t(x) = \psi(x)/\psi(0)$.
1. 4. On considère maintenant une barrière de potentiel de hauteur $V$ et de longueur $L$ : l’énergie potentielle est nulle pour $x < 0$ et $x > L$, et vaut $V$ pour $0 \le x \le L$, toujours avec $V > E$. On admet que si le coefficient de transmission de la barrière, qu’on notera $\Theta(E)$, est très faible, son expression est approximativement donnée par $\Theta(E) = |t(L)|^2$, où $t(x)$ est la fonction déterminée à la question précédente. Préciser, en fonction des données du problème, comment se traduit mathématiquement la condition $\Theta(E) \ll 1$. Rappeler la définition du coefficient de transmission pour ce processus. Expliquer, sans calcul, pourquoi l’expression proposée n’est qu’approximative.
1. 5. Nous allons appliquer ce résultat au cas où $x$ désigne la distance relative entre deux protons se déplaçant sur un même axe, et $V(x)$ l’énergie potentielle de leur interaction électrostatique. Rappeler l’expression de $V(x)$ et tracer l’allure de sa variation en fonction de $x$ pour $x > 0$. On notera $e$ la charge électrique élémentaire.}
1. 6. Les protons sont initialement à grande distance l’un de l’autre. $E$ est l’énergie cinétique de leur mouvement relatif, dont nous déterminerons l’expression plus loin. La fusion nucléaire a lieu lorsque les protons se trouvent au même point, soit $x = 0$. Exprimer la longueur $L$ de la barrière de potentiel qu’ils doivent franchir pour que la fusion ait lieu, en fonction de $E$ et des constantes fondamentales.
1. 7. Calculer le coefficient de transmission $\Theta(E)$ en le mettant sous la forme $\Theta(E) = \exp\left(-(E_G/E)^{1/2}\right)$. On donne l’intégrale \[ \int_0^1 \left(\frac{1}{u} – 1\right)^{1/2} \mathrm{d}u = \frac{\pi}{2}. \] Donner l’expression de $E_G$, dite énergie de Gamow, en fonction de la masse $m$ de la particule et des constantes fondamentales.
1. 8. Représenter la variation de $\Theta(E)$ en fonction de $E$.
1. 9. On note $v_1$ et $v_2$ les vitesses des protons, en valeur algébrique, sur l’axe $x$. On note $v_G$ la vitesse de leur barycentre et $v = v_1 – v_2$ leur vitesse relative. Exprimer la somme de leurs énergies cinétiques en fonction de $v_G$, $v$, et de la masse du proton $m_p$. Montrer que l’énergie cinétique $E$ associée au mouvement relatif est l’énergie d’une particule fictive de masse $\mu$ dont on donnera l’expression en fonction de $m_p$.
1. 10. Les deux protons considérés précédemment sont supposés appartenir à un gaz de protons que l’on modélise par un gaz parfait unidimensionnel à la température $T$. On note $P(v_1, v_2)\,\mathrm{d}v_1\,\mathrm{d}v_2$ la probabilité élémentaire pour deux protons d’avoir des vitesses $v_1$ et $v_2$ à $\mathrm{d}v_1$ et $\mathrm{d}v_2$ près. Expliciter la dépendance de $P(v_1, v_2)$ en fonction de $v_1$ et $v_2$. On ne cherchera pas à déterminer la constante de normalisation, et on notera $k_B$ la constante de Boltzmann.}
1. 11. On note $P^*(v_G, v)\,\mathrm{d}v_G\,\mathrm{d}v$ la probabilité élémentaire que la vitesse du centre de masse soit $v_G$ à $\mathrm{d}v_G$ près, et que la vitesse relative soit $v$ à $\mathrm{d}v$ près. Montrer que $P^*(v_G, v)$ peut se mettre sous la forme $P_G(v_G)P^*(v)$. Expliciter les expressions de $P_G(v_G)$ et de $P^*(v)$ aux constantes de normalisation près. Commenter la forme de $P^*(v)$.
1. 12. On note $p(E)\,\mathrm{d}E$ la probabilité que l’énergie cinétique relative vaille $E$ à $\mathrm{d}E$ près. Par un changement de variables de $v$ à $E$, donner l’expression de $p(E)$ en fonction de $E$ à une constante multiplicative près.
1. 13. On note $\Gamma(E)\,\mathrm{d}E$ le nombre de réactions nucléaires de fusion par unité de temps, pour une énergie relative valant $E$ à $\mathrm{d}E$ près. On postule que $\Gamma(E)$ est proportionnel à $v\,p(E)\,\Theta(E)$. Comment interprétez-vous cette modélisation ?
1. 14. En utilisant les résultats obtenus précédemment, exprimer $\Gamma(E)$ en fonction de $E$. On écrira le résultat sous la forme $\Gamma(E) = K\exp(-\phi(E))$, où $K$ ne dépend pas de $E$, et on exprimera $\phi(E)$ en fonction de $E$, $E_G$ et $k_B T$.
1. 15. Étudier la variation de $\phi(E)$. Montrer que $\Gamma(E)$ possède un maximum pour une valeur de $E$ qu’on notera $E_0$ et qu’on exprimera en fonction de $E_G$ et $k_B T$.}
1. 16. Situer l’énergie $E_0$ par rapport à $E_G$ et $k_B T$ dans la limite où $E_G \gg k_B T$. Dans le cas de la fusion entre deux protons au cœur du Soleil, les valeurs numériques sont $E_G \simeq 500\text{ keV}$ et $k_B T \simeq 1{,}5\text{ keV}$. Déterminer l’ordre de grandeur de $E_0$.
1. 17. Déterminer l’expression littérale de $\phi(E_0)$ en fonction de $E_G$ et $k_B T$, puis calculer son ordre de grandeur avec les valeurs numériques données plus haut.
1. 18. Tracer l’allure de $\Gamma(E)$. Quelle est la particularité de la variation de $\Gamma(E)$ avec $E$ dans la limite où $E_G \gg k_B T$ ?
1. 19. Généraliser les résultats obtenus au cas de la fusion de deux noyaux de numéros atomiques $Z_1$ et $Z_2$, de masses $m_1$ et $m_2$ quelconques. Déterminer en particulier comment la valeur de $\mu$ et l’énergie de Gamow, $E_G$, sont modifiées.
1. 20. Le taux d’une réaction nucléaire de fusion est défini comme le nombre de réactions de fusion par unité de volume et de temps, divisé par le produit des densités volumiques des deux noyaux impliqués dans le processus de fusion. Ainsi défini, le taux de réaction est indépendant des densités, et ne dépend que de la température. Une modélisation en trois dimensions, plus réaliste que celle développée jusqu’alors, donne un taux de réaction de la forme $a_i T^{-2/3} \exp\left(-(b_i/T)^{1/3}\right)$, où $a_i$ et $b_i$ sont des constantes qui dépendent de la réaction de fusion étudiée. La table ci-après donne les valeurs de ces constantes pour diverses réactions. $b_i$ et $T$ sont en unités de $10^9\text{ K}$ (milliards de Kelvin), et les unités des coefficients $a_i$ sont telles que les taux de réaction soient en $\text{m}^3\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}$. On désigne le proton par $p$, le neutron (dont la masse est très proche de celle du proton) par $n$. Les symboles $\text{D}$, $^3\text{He}$ et $^4\text{He}$ désignent les noyaux des atomes correspondants ($\text{D} = \text{deutérium} = {}^2\text{H}$), $\gamma$ désigne le photon, $e^+$ le positon (électron chargé positivement) et $\nu_e$ le neutrino. \begin{center} \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline réaction & Valeur de $a_i$ & Valeur de $b_i$ ($10^9\text{K}$) \\ \hline $p+p \to \text{D}+e^++\nu_e$ & $a_1 = 4{,}08 \times 10^{-21}$ & $b_1 = 38{,}65$ \\ \hline $p+\text{D} \to {}^3\text{He}+\gamma$ & $a_2 = 1{,}81 \times 10^{-3}$ & $b_2 = 51{,}52$ \\ \hline ${}^3\text{He}+{}^3\text{He} \to {}^4\text{He}+p+p$ & $a_3 = 5{,}59 \times 10^4$ & $b_3 = 1828$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} Montrer que la modélisation développée précédemment permet de prédire certaines relations entre les quantités $b_1$, $b_2$ et $b_3$. Vérifier ces prédictions à l’aide d’applications numériques.}
1. 21. On note $Q$ l’énergie fournie par la source chaude au cours d’un cycle de cette machine ditherme, et $W$ le travail qu’on peut en extraire. Définir le rendement $\eta$ d’une telle machine.
1. 22. Déterminer l’expression du travail maximum $W_{\max}$ qu’on peut extraire de la machine pendant un cycle en fonction de $Q$, $T_1$ et $T_2$, et l’expression du rendement maximal correspondant, qu’on notera $\eta_0$.
1. 23. Nous considérons une machine dans laquelle l’énergie est produite par une source solide à la température $T_1$. Cette énergie est transmise à un fluide caloporteur de température $T_3$, avec $T_3 < T_1$, qui circule en contact avec la source solide. On suppose $T_1$ et $T_3$ uniformes et indépendantes du temps. On note $Q$ l'énergie fournie par la source solide au fluide caloporteur pendant la durée $\tau$ d'un cycle. Donner l'expression de $Q$ en fonction de $\tau$, $T_1$ et $T_3$ et de la conductance thermique $G_{\text{th}}$ de l'interface, supposée fixée.
1. 24. Le fluide caloporteur constitue la source chaude d’une machine thermique ditherme dont la source froide est à la température $T_2$. Il restitue à cette machine thermique l’énergie $Q$ fournie par la source solide. On suppose par ailleurs que cette machine thermique fonctionne à son rendement maximal. En déduire la dépendance du travail $W$ qu’elle fournit en fonction de $\tau$, $T_3$, $T_1$, $T_2$ et $G_{\text{th}}$.
1. 25. Tracer l’allure de la variation de la puissance extraite en fonction de $T_3$ pour $T_1$ et $T_2$ fixés.}
1. 26. Tracer l’allure de la variation du rendement $\eta$ en fonction de $T_3$ pour $T_1$ et $T_2$ fixés. Que vaut la puissance extraite lorsque le rendement est maximal ? Commenter ce résultat.
1. 27. Déterminer la valeur de $T_3$ qui maximise la puissance extraite de la machine thermique pour $T_1$ et $T_2$ fixés. On exprimera cette valeur optimale de $T_3$ en fonction de $T_1$ et $T_2$.
1. 28. On note $\eta_1$ la valeur du rendement correspondant à cette valeur de $T_3$. Exprimer $\eta_1$ en fonction de $T_1$ et $T_2$.
1. 29. Exprimer $\eta_1$ en fonction de $\eta_0$, déterminé à la question 22, et représenter sa variation. Comment cette expression se simplifie-t-elle dans la limite où $\eta_0 \ll 1$ ?
1. 30. On revient au cas général d’une machine thermique cyclique ditherme dont les sources chaude et froide ont les températures respectives $T_1$ et $T_2$. On note toujours $Q$ l’énergie fournie par la source chaude pendant la durée $\tau$ d’un cycle. On suppose maintenant qu’une entropie $S_c = \Sigma/\tau$ est créée au cours du cycle, où $\Sigma$ est un coefficient indépendant de $\tau$. Commenter cette modélisation. Quel est le signe de $\Sigma$ ?}
1. 31. Déterminer le travail $W$ fourni pendant un cycle en fonction de $Q$, $T_1$, $T_2$, $\Sigma$ et $\tau$.
1. 32. Montrer que pour $Q$ fixé, la puissance est maximale pour une valeur de $\tau$ qu’on déterminera, et qu’on notera $\tau_2$.
1. 33. Calculer le rendement de la machine thermique lorsque la puissance est maximale. On le notera $\eta_2$.
1. 34. Comparer les valeurs des rendements à puissance maximale prédites par ces deux modèles. Dans quelle limite ces prédictions coïncident-elles ? Cette limite correspond-elle à une irréversibilité forte ou faible ?
1. 35. Dans le cadre du premier modèle, déterminer l’expression de l’entropie créée au cours d’un cycle en fonction de $Q$, $G_{\text{th}}$, $\tau$ et $T_1$. Montrer qu’elle est proportionnelle à $1/\tau$ dans une limite qu’on précisera. Commenter ce résultat.}
1. 36. Le coût d’une centrale thermique provient d’une part du combustible produisant l’énergie, d’autre part de la construction de la centrale et de son fonctionnement. On considère une situation où l’un de ces deux coûts est très supérieur à l’autre. D’un point de vue économique, dans quel cas a-t-on intérêt à optimiser le rendement, et dans quel cas a-t-on intérêt à maximiser la puissance ?
1. 37. Le réacteur Sizewell B est le plus grand réacteur nucléaire à eau pressurisée construit au Royaume-Uni, qui couvre environ 3\% des besoins d’électricité du pays. Les températures des sources chaudes et froides pour ce réacteur sont $T_1 = 581\text{ K}$ et $T_2 = 288\text{ K}$. Son rendement est $\eta = 0{,}36$. Commenter cette valeur à la lumière des résultats obtenus dans ce problème.}
FAQ
Un plasma est un gaz ionisé dans lequel les électrons sont arrachés aux atomes, ce qui donne une grande liberté aux particules chargées. C’est l’état de la matière au cœur du Soleil, où la température est tellement élevée que ni les atomes d’hydrogène ni ceux d’hélium ne peuvent conserver leurs électrons. Retrouve dans le corrigé comment cette notion intervient dans des situations concrètes.
L’effet tunnel est un phénomène purement quantique qui permet à une particule de traverser une barrière de potentiel, même si son énergie est inférieure à la hauteur de la barrière. Dans le Soleil, il permet aux protons de ‘fusionner’ malgré leur répulsion électrostatique. Ce point est fondamental pour comprendre la production d’énergie stellaire, comme tu pourras le voir en détail dans nos corrigés et explications pas à pas.
Le coefficient de transmission, noté Θ(E), quantifie la probabilité qu’une particule franchisse une barrière de potentiel par effet tunnel. En astrophysique, l’évaluation de cette probabilité explique pourquoi la fusion de deux protons nécessite des conditions extrêmes, et pourquoi la température centrale du Soleil est ce qu’elle est. Nos corrigés te montrent comment l’exprimer et l’interpréter en fonction des paramètres physiques du problème.
L’énergie de Gamow, E_G, correspond à l’énergie caractéristique qui gouverne la probabilité de franchissement de la barrière coulombienne entre deux noyaux. Elle permet de prédire l’énergie optimale pour qu’une réaction de fusion ait le plus de chances de se produire. Comprendre cette notion est essentiel pour analyser les réactions nucléaires dans les étoiles, notamment celles qui interviennent dans les concours X-ENS. Découvre le détail des calculs dans le corrigé PrépaBooster.
La distribution de Maxwell-Boltzmann permet de déterminer la probabilité qu’une paire de protons possède une certaine énergie relative, ce qui est indispensable pour estimer la fraction de paires susceptibles de franchir la barrière de potentiel par effet tunnel. Cette réflexion est au cœur de la modélisation de la fusion stellaire et fait partie des axes classiques des sujets de concours. Dans le corrigé détaillé, tu trouveras comment effectuer ces changements de variables et exploiter au mieux cette distribution.
On distingue souvent le rendement de Carnot (rendement maximal théorique d’une machine réversible entre deux réservoirs à températures différentes), et l’optimisation pratique de la puissance (qui prend en compte les pertes et irréversibilités réelles). Le sujet X-ENS 2023 te fait travailler sur ces deux aspects : d’abord théorique, puis avec un modèle réaliste de source chaude connectée par une conductance thermique. Pour maîtriser ces notions, accède à nos corrigés développés et interactifs sur PrépaBooster.
Les réactions nucléaires dans le Soleil sont affectées par des effets quantiques, statistiques et par la structure réelle des noyaux. Les modèles idéaux (par exemple la fusion de deux protons) sont complétés par des applications numériques, des constants spécifiques à chaque réaction et des approximations comme les coefficients de transmission faibles. C’est tout l’intérêt d’analyser les facteurs limitants et d’utiliser les constantes de la table du sujet pour interpréter les ordres de grandeur rencontrés en concours.
Le sujet croise plusieurs thématiques classiques : physique quantique (effet tunnel), thermodynamique (machines, rendement, puissance), physique nucléaire et modélisations statistiques. C’est typique des sujets X-ENS, qui privilégient l’approfondissement des notions fondamentales, la transversalité et la capacité à raisonner sur des modèles réalistes. Pour t’entraîner efficacement et progresser, débloque les corrigés et exercices associés sur PrépaBooster !