Questions du sujet
1. 1) Dans un premier mod\`ele, on consid\`ere que la surface terrestre absorbe un flux solaire incident $I = 220\text{ W.m}^{-2}$, consid\’er\’e uniforme et ind\’ependant du temps. A l’\’equilibre, la Terre r\’e-\’emet l’int\’egralit\’e de l’\’energie re\c{c}ue par rayonnement vers le haut. En d\’eduire la temp\’erature d’\’equilibre de surface $T_0$ de la Terre dans ce mod\`ele. Faites une application num\’erique en vous aidant de l’annexe. Commentez le r\’esultat.1. 2) Un raffinement du mod\`ele consiste \`a inclure une atmosph\`ere infiniment fine situ\’ee \`a une hauteur $h$ au-dessus de la surface de la Terre. Cette atmosph\`ere est transparente au rayonnement solaire incident, mais elle est enti\`erement absorbante pour le rayonnement infrarouge \’emis par la Terre. Elle atteint une temp\’erature d’\’equilibre $T_a$, si bien qu’elle rayonne elle aussi un flux d’\’energie $sT_a^4$ vers le haut, mais aussi un flux $sT_a^4$ vers le bas. Calculez la temp\’erature $T_a$ d’\’equilibre de l’atmosph\`ere, ainsi que la nouvelle temp\’erature d’\’equilibre $T_0$ de surface de la Terre. Faites une application num\’erique en vous aidant de l’annexe. Commentez le r\’esultat obtenu. Comment s’appelle l’effet mis en \’evidence par ce mod\`ele simple ?
1. 3) Rappelez quels sont les deux constituants principaux de l’atmosph\`ere ainsi que leurs proportions. En d\’eduire une valeur approch\’ee de la masse molaire moyenne $M$ de l’air.
1. 4) On s’int\’eresse au mod\`ele isentropique, pour lequel l’entropie du gaz est suppos\’ee ind\’ependante de la coordonn\’ee verticale $z$. Ecrire tout d’abord l’\’equilibre hydrostatique d’une parcelle d’atmosph\`ere, puis calculer le profil de temp\’erature $T(z)$ associ\’e \`a ce mod\`ele, en fonction de la temp\’erature $T_0$ \`a la surface $z = 0$ de la Terre, de l’acc\’el\’eration $g$ de la pesanteur (suppos\’ee constante), de la capacit\’e calorifique molaire $C_p$ de l’air (suppos\’ee constante \’egalement), et de la masse molaire moyenne $M$ de l’air.
1. 5) Faites une application num\’erique pour le gradient de temp\’erature $\Gamma = \mathrm{d}T/\mathrm{d}z$ dans ce mod\`ele. On pourra consid\’erer l’air comme un gaz parfait diatomique.}
1. 6) Calculez la temp\’erature $T_f$ du syst\`eme \`a l’issue de cette transformation, en fonction de $P_i$, $P_f$, $T_i$, $R$ et $C_p$.
1. 7) Discutez le mouvement vertical ult\’erieur de la parcelle d’atmosph\`ere, selon que $T_f < T(z_i + \mathrm{d}z)$ ou $T_f > T(z_i+\mathrm{d}z)$. Quelle situation correspond \`a une atmosph\`ere stable ? \`a une atmosph\`ere instable ? On appelle ce ph\’enom\`ene l’instabilit\’e convective.
1. 8) Le cas o\`u $T_f = T(z_i + \mathrm{d}z)$ s’appelle le cas “marginalement stable”. Quel est le gradient de temp\’erature vertical $\Gamma = \mathrm{d}T/\mathrm{d}z$ de l’atmosph\`ere dans cette situation marginalement stable ? Commentez, en lien avec les questions 4) et 5).
1. 9) Apr\`es avoir estim\’e le gradient de temp\’erature dans les hautes et basses couches de ce mod\`ele d’atmosph\`ere, indiquez approximativement quelle partie de l’atmosph\`ere est stable, et laquelle est instable, suivant ce mod\`ele.
1. 10) Commentez alors l’allure qualitative du profil de temp\’erature du mod\`ele simplifi\’e d’atmosph\`ere standard utilis\’e en a\’eronautique et fourni en figure 2, en lien avec le profil du mod\`ele purement radiatif de la figure 1. Identifiez en particulier la troposph\`ere et la stratosph\`ere.}
1. 11) On consid\`ere cette parcelle d’atmosph\`ere \`a une altitude donn\’ee dans le profil de temp\’erature marginalement stable calcul\’e \`a la question 8). On suppose de plus que cette parcelle est initialement \`a la pression de vapeur saturante en vapeur d’eau. On imagine que cette parcelle subit un l\’eger d\’eplacement vers le haut, de fa\c{c}on quasi-statique et adiabatique (r\’eversible). Expliquez qualitativement pourquoi, sous certaines conditions, la parcelle peut n\’eanmoins continuer son mouvement ascendant alors m\^eme que l’atmosph\`ere environnante n’est pas instable vis-\`a-vis du crit\`ere d\’etermin\’e \`a la question 7). Que voit-on alors apparaitre dans le ciel ?
1. 12) Proposez une expression approch\’ee pour $\mathrm{d}x_v$ en fonction de $\mathrm{d}n_v$ et $n_a$ uniquement, lorsque la quantit\’e de vapeur en phase gazeuse varie. On utilisera cette expression approch\’ee dans ce qui suit.
1. 13) On \’etudie l’\’evolution de la parcelle au cours de son mouvement ascendant, toujours suppos\’e quasi-statique et sans transfert thermique avec l’atmosph\`ere environnante, dont le profil de temp\’erature est maintenant consid\’er\’e arbitraire. On consid\`ere toujours $n_v \ll n_a$, si bien que l’on peut continuer \`a d\’ecrire la phase gazeuse par la relation (1), dans laquelle on remplacera $n$ par $n_a$ (on n\’eglige donc la vapeur dans l’\’evaluation de la densit\’e, de la quantit\’e de mati\`ere et de la masse molaire de la parcelle). Dans cette relation, la variation d’entropie est donn\’ee par $\mathrm{d}S = \mathrm{d}H_{\mathrm{cond}}/T$, o\`u $\mathrm{d}H_{\mathrm{cond}} > 0$ est l’enthalpie lib\’er\’ee par la condensation. En combinant cette relation avec l’\’equilibre hydrostatique, montrez alors que : $$-\Delta_{\mathrm{vap}}H \frac{\mathrm{d}x_v}{\mathrm{d}z} = C_p \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}z} + Mg ,$$ o\`u $T$ et $x_v$ sont respectivement la temp\’erature et la fraction molaire de vapeur dans la phase gazeuse, lorsque la parcelle passe \`a l’altitude $z$. $\Delta_{\mathrm{vap}}H$ est l’enthalpie molaire de vaporisation de l’eau. Elle est consid\’er\’ee constante dans ce qui suit, de m\^eme que $C_p$ et $g$.
1. 14) Calculez alors le gradient de temp\’erature moyen $\Gamma_h = (T(h) – T(0))/h$ en fonction de $M$, $g$, $C_p$, $h$, $\Delta_{\mathrm{vap}}H$, et $x_v^{(i)}$. $\Gamma_h$ est appel\’e le “gradient de temp\’erature de l’atmosph\`ere humide”.
1. 15) Donnez la valeur num\’erique du gradient de temp\’erature de l’atmosph\`ere humide $\Gamma_h$, en consid\’erant l’atmosph\`ere comme un gaz parfait diatomique. On donne l’enthalpie de vaporisation de l’eau : $\Delta_{\mathrm{vap}}H = 4,1 \times 10^4\text{ J.mol}^{-1}$. Commentez le r\’esultat, en lien avec le profil du mod\`ele international d’atmosph\`ere standard fourni en figure 2.}
1. 16) On repr\’esente sur la figure 3 la circulation de Hadley, qui est le principal courant m\’eridional de l’atmosph\`ere au voisinage de l’\’equateur. Pourquoi la temp\’erature de surface est-elle sup\’erieure au voisinage de l’\’equateur ($T_1$), par rapport aux latitudes subtropicales ($T_0 < T_1$) ? Commentez alors la structure de cette circulation : direction des mouvements d'air, pr\'esence de pr\'ecipitations \'equatoriales, etc.
1. 17) Exprimez la diff\’erentielle de $G_{l,m}(T, P)$ en fonction de $V_{l,m}(T, P)$, $S_{l,m}(T, P)$, et des diff\’erentielles de $T$ et $P$. Exprimez de m\^eme la diff\’erentielle de $G_{v,m}(T, P)$ en fonction de $V_{v,m}(T, P)$, $S_{v,m}(T, P)$, et des diff\’erentielles de $T$ et $P$. En utilisant l’extensivit\’e de l’enthalpie libre $G$ du syst\`eme complet, donnez son expression en fonction de $G_{l,m}(T, P)$, $G_{v,m}(T, P)$, de la quantit\’e de mati\`ere en phase vapeur $n_v$ et de la quantit\’e de mati\`ere totale $n$.
1. 18) On consid\`ere la situation o\`u $T$ et $P$ sont impos\’ees par un thermostat et un r\’eservoir de pression. On admet que $G$ est un potentiel thermodynamique dans cette situation. Exprimez alors la condition d’\’equilibre liquide-vapeur en fonction de $G_{v,m}$ et $G_{l,m}$.
1. 19) On consid\`ere deux points sur la courbe de coexistence liquide-vapeur, de coordonn\’ees $(T, P_{\mathrm{sat}}(T))$ et $(T + \mathrm{d}T, P_{\mathrm{sat}}(T + \mathrm{d}T))$. Ecrire la condition d’\’equilibre liquide-vapeur aux deux points consid\’er\’es en fonctions des enthalpies libres molaires des deux phases. Soustraire ces deux conditions d’\’equilibre pour obtenir la relation de Clapeyron : $$\frac{\mathrm{d}P_{\mathrm{sat}}}{\mathrm{d}T} = \frac{\Delta_{\mathrm{vap}}H}{T(V_{v,m} – V_{l,m})}$$ En d\’eduire le sens de variation de la pression de vapeur saturante avec la temp\’erature.
1. 20) On n\’eglige le volume molaire de la phase liquide devant celui de la phase gazeuse, et on assimile la vapeur \`a un gaz parfait \`a la pression $P_{\mathrm{sat}}$. On consid\`ere de plus que $\Delta_{\mathrm{vap}}H$ est ind\’ependante de la temp\’erature. Montrez alors que la pression de vapeur saturante s’exprime sous la forme : $$\ln \left[ \frac{P_{\mathrm{sat}}(T)}{P_{\mathrm{sat}}(T_0)} \right] = \mathcal{C} \left( \frac{1}{T_0} – \frac{1}{T} \right) ,$$ o\`u $T_0$ est une temp\’erature de r\’ef\’erence arbitraire, et o\`u vous donnerez l’expression de $\mathcal{C}$.}
1. 21) On consid\`ere que l’eau existe dans l’oc\’ean et l’atmosph\`ere sous deux formes, $\text{H}_2\text{O}^{16}$ et $\text{H}_2\text{O}^{18}$, form\’ees respectivement avec les isotopes 16 et 18 de l’oxyg\`ene. Ces deux isotopes sont stables du point de vue de la radioactivit\’e. Les deux types de mol\’ecules d’eau se caract\’erisent par des enthalpies molaires de vaporisation diff\’erentes, et donc des pressions de vapeur saturante diff\’erentes. Expliquez comment la fraction de $\text{H}_2\text{O}^{18}$ dans les calottes glaciaires fournit un historique de la temp\’erature de l’atmosph\`ere terrestre.
1. 22) On consid\`ere tout d’abord un moteur ditherme cyclique en interaction avec un thermostat chaud de temp\’erature $T_c$ et un thermostat froid de temp\’erature $T_f$. D\’efinissez le rendement $\xi$ de ce moteur. Etablissez la valeur th\’eorique maximale $\xi_c$ de ce rendement (le rendement de Carnot), atteinte si les transformations associ\’ees au cycle sont r\’eversibles.
1. 23) Donnez les signes de $Q_1$, $Q_2$ et $W$ dans ce qui vous semble \^etre le r\’egime de fonctionnement normal du moteur. Ordonnez les temp\’eratures $T_c$, $T_f$, $T_1$ et $T_2$ dans ce r\’egime de fonctionnement, en justifiant tr\`es bri\`evement. On supposera cet ordre des temp\’eratures respect\’e dans la suite.
1. 24) Exprimez les transferts thermiques alg\’ebriques $Q_1$ et $Q_2$ re\c{c}us par le syst\`eme $\mathcal{F}$ pendant les \’etapes 1 et 3, en fonction de $R$, $T_1$, $T_2$, $T_c$, $T_f$ et $\tau$.
1. 25) D\’efinissez la puissance motrice $\mathcal{P}$ fournie par le moteur. Exprimez $\mathcal{P}$ en fonction de $R$, $T_1$, $T_2$, $T_f$ et $T_c$.}
1. 26) A l’aide du second principe de la thermodynamique, \’etablir une in\’egalit\’e entre $T_1$, $T_2$, $T_f$ et $T_c$. Pour simplifier les calculs, on admet que le rendement maximal est obtenu lorsque les transformations sont r\’eversibles pour le syst\`eme $\mathcal{F}$. On remplacera alors cette in\’egalit\’e par une \’egalit\’e dans ce qui suit.
1. 27) A l’aide des r\’eponses aux deux questions pr\’ec\’edentes, \’eliminez $T_2$ pour exprimer la puissance $\mathcal{P}$ sous la forme : $$\mathcal{P} = \frac{T_c}{2R} \times f(X, \eta),$$ o\`u l’on a introduit les param\`etres $X = T_1/T_c$ et $\eta = T_f/T_c$.
1. 28) A l’aide des r\’eponses aux questions pr\’ec\’edentes (en particulier la question 23), montrez que $X > 1/2$.
1. 29) En pratique, les moteurs r\’eels fonctionnent dans un r\’egime o\`u $T_1$ (et donc $T_2$) est choisie pour maximiser la puissance motrice d\’elivr\’ee, \`a $T_c$ et $T_f$ fix\’ees. Calculez la valeur $X_+$ de $X$ associ\’ee \`a ce maximum, en fonction de $\eta$. Donnez la valeur du maximum de puissance en fonction de $R$, $T_c$ et $\eta$.
1. 30) Donnez l’expression du rendement $\xi$ du moteur en fonction de $X$ et $\eta$. Montrez que le rendement du moteur \`a puissance maximale vaut $\xi(X_+) = 1 – \eta^{1/2}$. Comment cette expression du rendement se compare-t-elle au rendement de Carnot ?}
1. 31) La diff\’erence de valeur entre ces deux rendements signifie que certains processus apparaissant sur la figure 4 sont irr\’eversibles. Quels sont-ils ? On d\’efinit le taux de cr\’eation d’entropie $\dot{S}$ comme le rapport de l’entropie cr\’e\’ee par ces processus irr\’eversibles pendant un cycle divis\’ee par la dur\’ee d’un cycle. En appliquant le second principe de la thermodynamique \`a un syst\`eme judicieusement choisi, calculez $\dot{S}$ en fonction de $R$ et $\eta$ dans le r\’egime de fonctionnement \`a puissance maximale du moteur.
1. 32) En supposant que le syst\`eme fonctionne \`a puissance maximale, calculez approximativement l’\’energie c\’ed\’ee aux vents et courants atmosph\’eriques par unit\’e de temps.
1. 33) On admet que les courants atmosph\’eriques ainsi engendr\’es dissipent leur \’energie cin\’etique \`a un taux $\mathcal{D}$ (\’energie dissip\’ee par unit\’e de temps), de l’ordre de $\mathcal{D} \simeq 0,05 \times \mathcal{M} U^3/h$, o\`u $\mathcal{M}$ est la masse totale de la troposph\`ere et $U$ la vitesse typique des courants atmosph\’eriques. En d\’eduire un ordre de grandeur de $U$. Commentez.
1. 34) Donnez la relation entre le potentiel chimique $\mu_l(T)$ de l’eau liquide, suppos\’e ne d\’ependre que de la temp\’erature, et le potentiel $\mu_v[T, P_v = P_{\mathrm{sat}}(T)]$ de la vapeur d’eau \`a la pression de vapeur saturante ?
1. 35) Exprimez la diff\’erentielle de l’enthalpie libre du syst\`eme en fonction de $\sigma$, $A$, $\mu_l$, $\mu_v$, $n_l$ et/ou leurs diff\’erentielles.}
1. 36) On suppose que la phase liquide consiste \`a tout instant en une gouttelette d’eau sph\’erique de rayon $r$ et de masse volumique constante $\rho_0 = 1000\text{ kg.m}^{-3}$. Exprimez la diff\’erentielle de l’enthalpie libre en fonction de $\mu_l$, $\mu_v$, $\rho_0$, $r$, $\sigma$, $M_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}$ et $\mathrm{d}r$, o\`u $M_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}$ est la masse molaire de l’eau.
1. 37) Int\’egrez cette relation pour obtenir l’enthalpie libre $G(r)$ (\`a une constante pr\`es, qui ne joue pas de r\^ole dans ce qui suit). Tracez l’allure de $G(r)$ pour $\mu_l$ et $\mu_v$ fix\’es. On distinguera les cas $\mu_l < \mu_v$ et $\mu_l > \mu_v$.
1. 38) Discutez l’\’evolution de la gouttelette suivant son rayon initial, en distinguant \`a nouveau les cas $\mu_l < \mu_v$ et $\mu_l > \mu_v$. Quand cela est pertinent, on identifiera une valeur remarquable $r_c$ de $r$, dont on donnera l’expression en fonction des m\^emes param\`etres qu’\`a la question 36). On d\’efinira \’egalement une “\’energie d’activation” pour l’apparition de la phase liquide, lorsque l’on part uniquement d’un m\’elange gazeux air-vapeur d’eau, dont on donnera l’expression en fonction de ces m\^emes param\`etres.
1. 39) On mod\’elise la phase gazeuse comme un m\’elange de gaz parfaits. A l’aide de l’expression du potentiel chimique donn\’ee en annexe, que l’on appliquera \`a la vapeur d’eau, exprimez le rayon critique au-del\`a duquel une gouttelette cro\^ıt spontan\’ement en fonction de la “sursaturation” $\chi = P_v/P_{\mathrm{sat}}(T) > 1$ et de $M_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}$, $\sigma$, $\rho_0$, $R$ et $T$.
1. 40) A partir de vos connaissances sur la loi d’Arrh\’enius, ou sur le facteur de Boltzmann, proposez une expression pour la d\’ependance de la vitesse d’apparition des gouttelettes dans l’atmosph\`ere en fonction de la sursaturation $\chi$ (cette expression sera obtenue \`a une constante multiplicative pr\`es). Commentez cette d\’ependance en $\chi$.}
1. 41) On fait l’hypoth\`ese que seule l’interface liquide-gaz intervient dans le terme de tension de surface, et donc que l’interface solide-liquide n’engendre aucun terme de tension de surface. Exprimez la diff\’erentielle de l’enthalpie libre en fonction de $\mu_l$, $\mu_v$, $\rho_0$, $r$, $\sigma$, $M_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}$, $\theta$ et $\mathrm{d}r$.
1. 42) Comme \`a la question 38), identifiez une valeur remarquable de $r$. Exprimez l’\’energie d’activation associ\’ee en fonction de $\sigma$, $M_{\mathrm{H}_2\mathrm{O}}$, $\rho_0$, $\mu_l$, $\mu_v$ et $\theta$.
1. 43) Expliquez alors pourquoi la pr\’esence de particules en suspension dans l’atmosph\`ere favorise l’apparition de nuages.}
FAQ
Quels sont les concepts principaux abordés dans le sujet de physique MP X-ENS 2021 ?
Ce sujet couvre principalement la physique de l’atmosphère, notamment les bilans radiatifs, l’effet de serre, la thermodynamique de l’air et des changements de phase, la convection et la stabilité de l’atmosphère, ainsi que des aspects de thermodynamique appliqués aux moteurs. Tu y retrouveras la loi de Stefan-Boltzmann, l’équilibre hydrostatique, les gradients de température (secs et humides), la condition de stabilité convective, le cycle de Carnot et la formation des nuages.
Qu’est-ce que le gradient de température adiabatique, et pourquoi est-il fondamental en atmosphère ?
Le gradient de température adiabatique représente la variation de la température avec l’altitude lorsqu’une parcelle d’air monte sans échange de chaleur avec son environnement. C’est la base pour comprendre la stabilité de l’atmosphère. S’il est trop grand, l’air devient instable et favorise la convection, conduisant à la formation de courants ascendants et de nuages. Connaître les modèles de gradients secs et humides est crucial pour l’analyse des phénomènes météorologiques.
Comment l’effet de serre est-il modélisé en physique, et quels sont ses impacts sur la température terrestre ?
En physique, l’effet de serre est souvent modélisé avec une couche d’atmosphère absorbant totalement le rayonnement infrarouge émis par le sol, tout en restant transparente au rayonnement solaire. Ce mécanisme, même dans sa version la plus simple, permet de montrer pourquoi la température de surface réelle est bien supérieure à celle qu’on calculerait pour une Terre nue. Ce modèle éclaire aussi la compréhension des changements climatiques. Pour maîtriser ces subtilités et t’entraîner sur des exercices corrigés, pense à débloquer les corrigés sur PrépaBooster !
Pourquoi la formation des nuages dépend-elle de la thermodynamique et de la sursaturation de la vapeur d’eau ?
La naissance d’une gouttelette dans l’atmosphère dépend du dépassement d’un seuil de sursaturation de la vapeur d’eau. Le passage de la phase gazeuse à la phase liquide est en effet freiné par une barrière d’énergie liée à la tension de surface. C’est toute la subtilité de l’application des lois de la thermodynamique des transitions de phase en atmosphère. La présence d’aérosols ou de poussières joue aussi un rôle en facilitant la nucléation des gouttelettes.
Quelles sont les applications concrètes de la thermodynamique étudiée dans ce sujet, notamment au travers des moteurs cycliques ?
La thermodynamique appliquée aux moteurs dans ce sujet permet de comprendre les limites théoriques du rendement, en particulier à travers le cycle de Carnot. Ce type de modèle s’applique aussi bien à des machines réelles (moteurs thermiques, réfrigérateurs…) qu’aux phénomènes naturels comme la circulation atmosphérique. Par exemple, l’analogie avec les cellules de Hadley te donne une perspective sur les grandes structures du climat terrestre.
Pourquoi la stabilité de l’atmosphère est-elle une notion cruciale pour la météorologie et la sécurité aéronautique ?
La stabilité atmosphérique permet de prévoir le développement de turbulences, l’apparition de nuages, et les risques de phénomènes violents (orages, ascendance rapide, etc.). En aviation, comprendre le gradient adiabatique (sec et humide) est indispensable pour anticiper les profils de température et la structuration des différentes couches (troposphère, stratosphère). Ce sont des notions fondamentales pour préparer aux concours et pour toute carrière scientifique ou technique liée à la météo ou à l’aéronautique.
À quoi sert la relation de Clapeyron dans ce sujet, et comment l’utiliser en contexte atmosphérique ?
La relation de Clapeyron te donne l’évolution de la pression de vapeur saturante de l’eau en fonction de la température. Elle est essentielle pour comprendre comment la vapeur d’eau se condense ou s’évapore dans l’atmosphère, l’apparition du brouillard, la formation des nuages, et l’évolution du climat. C’est aussi un outil classique des exercices de thermodynamique à maîtriser pour te démarquer le jour du concours !
Comment se présentent les épreuves de physique du concours X-ENS pour la filière MP ?
Les épreuves sont en général constituées d’un problème de physique fondamentale appliquée à un domaine concret, découpé en sous-questions progressives. Elles mobilisent souvent plusieurs parties du programme : mécanique, thermodynamique, optique, électromagnétisme ou encore physique moderne. L’objectif est d’évaluer autant ta compréhension des notions transversales que ta capacité à résoudre un problème complexe sur plusieurs heures. L’accès au corrigé détaillé et aux exercices similaires via PrépaBooster peut t’aider à progresser encore plus efficacement.