Questions du sujet
1. 1-a) Un observateur situé en O observe une galaxie A relativement proche, qui s’éloigne de O à la vitesse $\vec{v}$ colinéaire à $\vec{OA} = \vec{r}$ (voir figure 1). Imaginons que cette galaxie émette des impulsions lumineuses très brèves, à intervalle régulier $T$. Quel est le temps $T’$ séparant l’arrivée en O de deux impulsions lumineuses consécutives ?1. 1-b) La galaxie A émet maintenant de la lumière monochromatique de longueur d’onde dans le vide $\lambda$. Quelle est la longueur d’onde dans le vide $\lambda’$ de l’onde électromagnétique collectée par l’observateur O ? Préciser la limite de validité du résultat obtenu.
1. 1-c) Les astrophysiciens définissent le décalage spectral vers le rouge (ou redshift) de A par $z = \frac{\lambda’-\lambda}{\lambda}$. Montrer que, dans le cadre des approximations précédentes, $z$ est directement relié à la vitesse de la galaxie.
1. 2-a) Quelle est la dimension de $H_0$ ?
1. 2-b) La détermination expérimentale de la constante de Hubble nécessite de mesurer simultanément le redshift $z$ d’une galaxie (donc sa vitesse) et sa distance. C’est cette dernière grandeur qui est la plus difficile à mesurer précisément, et qui rend imprécise la détermination de $H_0$. On prendra : $$H_0 = 70\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}$$ Calculer la valeur de $H_0$ dans l’unité adaptée du système international.}
1. 3) Montrer que la relation (1) est compatible avec le principe cosmologique, c’est-à-dire qu’on observerait la même loi d’expansion de l’Univers (équation 1) si on observait la galaxie A à partir d’une galaxie O’ quelconque, située en n’importe quel point de l’Univers.
1. 4) Exprimer le paramètre de Hubble $H(t)$ en fonction du paramètre d’échelle $a(t)$.
1. 5) Gravitation newtonienne Écrire les équations locales vérifiées par le champ gravitationnel $\vec{g}$ créé par une répartition de masse caractérisée par la densité volumique de masse $\rho(\vec{r})$.
1. 6) La galaxie A, de masse $m$, est soumise à l’interaction gravitationnelle des autres galaxies et amas de galaxies de l’Univers. Dans cette question on fera l’hypothèse que le référentiel centré sur la Voie lactée O, dont les axes pointent sur trois galaxies lointaines, est un référentiel galiléen. D’autre part la densité de masse de l’Univers, uniforme sur une grande plage de distances, sera supposée s’annuler à très grande distance de O. Déterminer l’accélération $\ddot{\vec{r}} = \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}$ de la galaxie A. En déduire l’expression de $\ddot{a}$ en fonction de $G$, $\rho$ et $a$.
1. 7) Comment évolue au cours du temps la masse $M_r$ de la partie de l’Univers intérieure à la sphère de centre O et de rayon $r(t)$ ? En déduire l’expression de la densité de masse de l’Univers $\rho(t)$ à l’instant $t$ en fonction de sa valeur à l’instant présent $t_0$, notée $\rho_0 = \rho(t_0)$, du paramètre d’échelle $a(t)$ et de $a_0$.}
1. 8) Montrer que la quantité $\dot{a}^2 – \frac{8\pi G}{3}\frac{\rho_0 a_0^3}{a}$ est une constante du mouvement, qu’on appellera $K$. Interpréter les deux termes de cette expression et la constante $K$ en termes énergétiques.
1. 9) En déduire que l’évolution du paramètre d’échelle $a(t)$ est décrite par l’équation différentielle du premier ordre : $$\frac{\dot{a}^2}{a^2} – \frac{8\pi G}{3}\rho_0\frac{a_0^3}{a^3} = \frac{a_0^2}{a^2}\left(H_0^2 – \frac{8\pi G}{3}\rho_0\right) \quad (3)$$ Cette équation d’évolution de $a(t)$ est appelée équation de Friedmann-Lemaître.
1. 10) Déterminer le paramètre d’échelle $a(t)$ d’un Univers vide, dont la densité de masse est nulle ($\rho_0 = 0$). On exprimera $a(t)$ en fonction de $t$ et de $H_0$, $a_0$ et $t_0$. Montrer qu’il existe un instant $t’$ tel que $a(t’) = 0$, et en donner une interprétation. Quel serait l’âge actuel $T_0$ (i.e. à l’instant présent $t_0$) d’un Univers vide (ou quasi vide) ? L’évaluer numériquement (en années).
1. 11) Montrer que pour une densité de masse $\rho_0$ supérieure à une certaine valeur, appelée densité de masse critique $\rho_c$ (à l’instant présent), l’Univers ne peut être toujours en expansion. Exprimer $\rho_c$ en fonction de $H_0$ et $G$, et l’évaluer numériquement (on prendra $G = 6,67 \times 10^{-11}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}$). Commenter l’ordre de grandeur du résultat obtenu (on rappelle que la masse du proton est $m_p = 1,67 \times 10^{-27}\text{ kg}$).
1. 12) Dans le cas où $\rho_0 = \rho_c$ (c’est-à-dire pour un Univers critique), déterminer comment évolue le paramètre d’échelle $a(t)$ en fonction du temps $t$. Quel serait alors l’âge de l’Univers ?}
1. 13) Des questions précédentes ressort clairement l’intérêt d’introduire des coordonnées réduites de temps $\tau = H_0 t$, de densité de masse $\Omega_0 = \frac{\rho_0}{\rho_c}$ (à l’instant présent $t_0$) et de paramètre d’échelle $x = \frac{a}{a_0}$. Écrire l’équation de Friedmann-Lemaître (3) en coordonnées réduites.
1. 14-a) On appelle Univers « ouvert » un Univers dont l’expansion se poursuit sans fin. Inversement, pour un Univers « fermé », le paramètre d’échelle $a(t)$ reste fini. Dans quel cas un Univers (homogène et non relativiste) est-il ouvert ou fermé ? Interpréter ce comportement en termes d’énergie mécanique de la galaxie A.
1. 14-b) Que devient un Univers fermé après qu’il ait atteint son maximum d’expansion ? En justifiant l’invariance de l’équation (3) par renversement du temps, indiquer comment l’évolution du paramètre d’échelle après le maximum d’expansion est reliée à celle du même paramètre avant le maximum d’expansion. En déduire que, pour un Univers fermé, il apparaît une nouvelle singularité dans le futur, c’est-à-dire qu’il existe un instant $t” > t_0$ tel que $a(t”) = 0$.
1. 14-c) Expliquer pourquoi, à l’exception du cas d’un Univers vide de masse, l’expansion de l’Univers est toujours ralentie.
1. 14-d) En utilisant la figure 3, décrire comment l’estimation de l’âge $T_0$ de l’Univers dépend de la connaissance de sa densité de masse $\rho_0$ et interpréter physiquement ce comportement.}
1. 15) L’Univers composé de matière baryonique et de matière noire, dont les densités de masse (à l’instant présent $t_0$) sont données par les relations (4) est-il ouvert ou fermé ?
1. 16) Montrer que, pour un Univers homogène décrit par une théorie non relativiste de la gravitation, l’équation de Friedmann-Lemaître (équation (3)) s’écrit encore : $$\frac{\dot{a}^2}{a^2} = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{K}{a^2} \quad (5)$$ où $\rho$ est la densité de masse à l’instant $t$, et $K$ la constante introduite à la question 8.
1. 17) En appliquant le premier principe de la thermodynamique à la partie de l’Univers intérieure à la sphère de rayon $r(t) = a(t)\chi$ et en admettant que cette partie de l’Univers a une évolution adiabatique, écrire l’équation différentielle reliant la densité d’énergie (interne) $u$ de l’Univers et sa pression $P$.
1. 18) En utilisant la relation de correspondance entre masse et énergie, donc entre densités de masse $\rho$ et d’énergie $u$, en déduire : $$\dot{\rho} + 3\frac{\dot{a}}{a}\left(\rho + \frac{P}{c^2}\right) = 0 \quad (6)$$
1. 19) Nous avons déjà exprimé comment se dilue la matière non relativiste au cours de l’expansion de l’Univers (voir question 7). Montrer que la conclusion de cette question permet de déterminer $\dot{\rho}_M$, c’est-à-dire la dépendance en temps de la densité de masse de la matière non relativiste (on pourra exprimer $\dot{\rho}_M$ en fonction de $\rho_M$, $a$ et $\dot{a}$).}
1. 20) En utilisant la relation (6), déterminer la valeur de la pression $P_M$.
1. 21) Relier la pression $P$ d’un gaz parfait monoatomique, non relativiste, à sa densité d’énergie interne $u$ (dans l’énergie interne de ce gaz, on prendra en compte l’énergie cinétique de ses constituants, mais pas leur énergie de masse), et comparer la relation obtenue pour le gaz parfait monoatomique à la relation (7).
1. 22) Déduire de l’équation d’état du rayonnement (équation (7)) la façon dont la densité d’énergie du rayonnement se dilue au cours de l’expansion, c’est-à-dire l’expression de $\rho_{em}$ (à l’instant $t$) en fonction du paramètre d’échelle $a(t)$ et des constantes $\rho_{em0}$ et $a_0$ (valeurs de $\rho_{em}$ et de $a$ à l’instant présent $t_0$).
1. 23) Écrire l’équation de Friedmann-Lemaître (équation (5)) pour un Univers contenant à l’instant présent $t_0$ les densités $\rho_{M0}$ et $\rho_{R0}$ de matière non relativiste et de matière relativiste (on exprimera cette équation en termes de la variable $a(t)$ et des constantes $\rho_{M0}$, $\rho_{R0}$, $a_0$, $K$ et $G$).
1. 24) En déduire que l’expansion d’un tel Univers est toujours ralentie.}
1. 25-a) Exprimer la distance $A_n A_{n+1}$ dans le référentiel lié à $A_n$ à l’instant $t$, en fonction du paramètre d’échelle $a(t)$ et de $\mathrm{d}\chi$.
1. 25-b) Sachant que la lumière se propage à la célérité $c$ dans tous les référentiels, relier $\mathrm{d}t$ à $\mathrm{d}\chi$.
1. 25-c) En déduire que : $$\chi_A = c\int_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}t}{a(t)} \quad (8)$$
1. 26-a) Considérons que la galaxie A émette des bouffées de rayonnement très courtes à intervalle régulier $\delta t_1$. Ainsi une première impulsion lumineuse est émise par A à l’instant $t_1$ et est reçue sur Terre (en O) à l’instant $t_2$ ; l’impulsion lumineuse suivante est émise par A à l’instant $t_1 + \delta t_1$ et nous parvient à l’instant $t_2 + \delta t_2$. On considérera que $\delta t_1$ et $\delta t_2$ sont très courts, c’est-à-dire que le paramètre d’échelle $a(t)$ n’a pas le temps de varier entre $t_1$ et $t_1 + \delta t_1$ ou entre $t_2$ et $t_2 + \delta t_2$. Déduire de l’équation (8) la relation entre $\delta t_1$ et $\delta t_2$.
1. 26-b) Considérons maintenant que la galaxie A émet une onde électromagnétique de longueur d’onde $\lambda$. Quelle est la longueur d’onde $\lambda’$ de ce rayonnement lorsqu’il est détecté sur Terre (en O) ?}
1. 26-c) Montrer que la longueur d’onde des photons émis par A se dilate d’un facteur égal à celui de l’Univers pendant leur temps de vol entre A et O.
1. 26-d) Soient $E$ l’énergie d’un photon émis par A et $E’$ l’énergie du même photon détecté en O (à l’instant présent $t_0$). Exprimer le rapport $\frac{E’}{E}$ en fonction des valeurs du paramètre d’échelle aux instants $t_1$ et $t_0$.
1. 26-e) Relier ce résultat à la façon dont la densité d’énergie du rayonnement se dilue au cours de l’expansion de l’Univers (ce qui est le résultat de la question 22).
1. 26-f) Montrer que le décalage vers le rouge (redshift) $z = \frac{\lambda’-\lambda}{\lambda}$ mesuré pour la galaxie A est directement relié à $a(t_1)$ par la relation : $$1 + z = \frac{a_0}{a(t_1)} \quad (9)$$
1. 27-a) Exprimer $L$ en fonction de $N$, $\bar{E}$ et $\delta t_1$.}
1. 27-b) Calculer la puissance par unité de surface $p_s$ reçue en O, en fonction de $N$, $\bar{E}’$, $R$ et $\delta t_2$, puis en fonction de $L$, $\chi_A$, $a(t_1)$ et $a(t_2)$.
1. 27-c) Par analogie avec la loi en $d^{-2}$ dans un espace « normal » (sans expansion), les cosmologistes introduisent la distance de luminosité $d_L$ telle que $p_s = \frac{L}{4\pi d_L^2}$. Justifier que la mesure de la puissance par unité de surface reçue sur Terre du rayonnement émis par un astre A très lointain, de luminosité $L$ connue, est une mesure de sa distance de luminosité. Exprimer la distance de luminosité $d_L$ de A en fonction de $a_0$, $\chi_A$ et du redshift $z$ de A, et en déduire que les mesures simultanées de la distance de luminosité et du redshift de A permettent de déterminer à la fois les distances de A à O tant à l’instant présent $t_0$ qu’à l’instant $t_1$.
1. 28-a) Quelle est la dimension de la constante cosmologique $\Lambda$ introduite par Einstein ?
1. 28-b) Montrer que l’introduction de cette constante cosmologique peut s’interpréter comme celle d’une densité de masse supplémentaire $\rho_\Lambda$. Exprimer $\rho_\Lambda$ en fonction de $\Lambda$, $G$ et $c$.
1. 28-c) En déduire la densité d’énergie supplémentaire $u_\Lambda$ ainsi introduite.}
1. 29-a) Montrer que l’énergie noire ne se dilue pas lors de l’expansion de l’Univers.
1. 29-b) Quelle relation doivent vérifier $\Omega_\Lambda = \frac{\rho_\Lambda}{\rho_c}$, $\Omega_M$ et $\Omega_R$ pour rendre compte que l’expansion de l’Univers est accélérée à l’instant présent (soit $\ddot{a}_0 > 0$) ? En déduire le signe de $\Lambda$.
1. 29-c) Quelle est la pression $P_\Lambda$ du fluide énergie noire ?
1. 29-d) L’interaction entre l’énergie noire et la galaxie témoin A introduite à la question 6 est-elle attractive ou répulsive ?}
FAQ
Le redshift, ou décalage spectral vers le rouge, est un phénomène observé lorsque la lumière provenant d’une galaxie lointaine est décalée vers des longueurs d’onde plus grandes, c’est-à-dire vers le rouge du spectre. Cela s’explique par l’expansion de l’Univers : plus une galaxie s’éloigne rapidement de nous, plus son redshift est élevé. Cette mesure est essentielle car elle permet non seulement de déterminer la vitesse d’éloignement des galaxies, mais aussi d’accéder à des informations sur la dynamique et l’histoire de l’expansion de l’Univers.
La constante de Hubble relie la vitesse d’éloignement d’une galaxie à sa distance par la loi de Hubble : \( v = H_0 \times d \). Plus une galaxie est lointaine, plus elle s’éloigne rapidement de nous. Cette relation linéaire est une signature clé de l’expansion de l’Univers et un pilier de la cosmologie moderne. Savoir exploiter cette loi, c’est aussi l’occasion de montrer ta maîtrise des dimensions, des ordres de grandeur et des conversions d’unités.
Le principe cosmologique affirme que l’Univers est homogène et isotrope à grande échelle : il n’y a pas de centre privilégié, et les propriétés de l’Univers sont les mêmes dans toutes les directions et tous les endroits. Ce postulat simplifie énormément l’étude de la cosmologie et justifie l’utilisation de modèles mathématiques comme les équations de Friedmann-Lemaître pour décrire l’évolution de l’Univers.
Le paramètre d’échelle \( a(t) \) décrit comment évolue la taille caractéristique de l’Univers en fonction du temps. Quand \( a(t) \) augmente, l’Univers s’étend ; lorsque \( a(t) \) évolue rapidement, cela trahit une expansion rapide. C’est la clé pour relier les distances entre galaxies, les mesures de redshift, et les scénarios cosmologiques. Manipuler \( a(t) \), c’est comprendre l’histoire même du cosmos !
La densité critique est la valeur de densité de masse pour laquelle l’Univers est « juste à la frontière » entre expansion infinie (Univers ouvert) et recollapsus futur (Univers fermé). Si la densité de l’Univers est supérieure à la densité critique, l’expansion s’arrête et l’Univers finit par se contracter. Si elle est inférieure, l’expansion ne s’arrête jamais. Cette notion se retrouve dans l’équation de Friedmann-Lemaître et permet de classer les différents scénarios cosmiques.
La pression intervient dans l’équation d’évolution de l’Univers via la relation d’état des différents composants (matière, rayonnement, énergie noire…). Dans le cas du rayonnement, la pression n’est plus négligeable face à l’énergie de masse, contrairement à la matière non relativiste. Cette pression influence alors la manière dont l’Univers s’étend ou ralentit son expansion. Savoir écrire et exploiter ces liens fait partie des compétences attendues à ce niveau.
L’équation de Friedmann-Lemaître est l’équation différentielle fondamentale qui gouverne l’évolution du paramètre d’échelle, donc de l’Univers. Elle relie l’expansion de l’Univers à sa densité de masse, à la constante de Hubble, à la courbure spatiale (via une constante \( K \)) et éventuellement à la constante cosmologique. Toute la cosmologie moderne repose sur la maîtrise de cette équation qui synthétise les lois de la gravitation à l’échelle de l’Univers.
La constante cosmologique (Λ) introduite par Einstein agit comme une densité d’énergie du vide, appelée énergie noire. Cette énergie n’est liée à aucune particule connue et provoque une accélération de l’expansion de l’Univers, contrairement à la matière ou au rayonnement qui la ralentissent. Elle est donc cruciale pour expliquer les observations récentes sur l’accélération de l’expansion cosmique.
Le sujet mobilise l’ensemble des compétences clés attendues en CPGE : interpréter des observations astronomiques (redshift, distance de luminosité…), manipuler les équations fondamentales (équation de Friedmann, loi de Hubble…), raisonner sur les ordres de grandeur, maîtriser la rédaction d’une démonstration rigoureuse et claire… Réussir ce type d’épreuve nécessite non seulement la compréhension théorique, mais aussi la capacité à structurer un raisonnement écrit limpide et argumenté. L’intérêt de débloquer les corrigés sur PrépaBooster, c’est d’accéder à des solutions détaillées, des conseils de rédaction et un suivi personnalisé pour compléter ton entraînement sur des exercices similaires !
Les coordonnées réduites, telles que τ = H0t (temps réduit), Ω0 = ρ0/ρc (paramètre de densité) et x = a/a0 (paramètre d’échelle réduit), servent à rendre les équations sans dimension et donc plus universelles. Elles simplifient aussi les calculs numériques et l’analyse qualitative des solutions possibles de l’équation de Friedmann. C’est une astuce incontournable pour visualiser rapidement l’influence des paramètres physiques sur le destin cosmique.