Mines Physique 2 MP 2025

Questions du sujet

1. Évaluer graphiquement les trois temps caractéristiques \( \tau_{1} < \tau_{2} < \tau_{3} \) qui apparaissent sur la courbe de la figure 1. Que peut-on conjecturer sur les origines respectives des variations de \( g \) sur chacune de ces échelles de temps ?

2. Rappeler la définition d’un référentiel galiléen, du référentiel de Copernic \( \mathscr{R}_{0} \) et du référentiel géocentrique \( \mathscr{R}_{g} \).

3. On considère que le référentiel \( \mathscr{R}_{0} \) est galiléen. Montrer que \( \mathscr{R}_{g} \) ne l’est pas.

4. Énoncer le théorème de Gauss gravitationnel, reliant notamment le champ de gravitation \( \overrightarrow{\mathcal{G}} \) et la constante de gravitation universelle \( G \). En déduire l’expression du champ \( \overrightarrow{\mathcal{G}}_{\mathbb{A}}(M) \) créé par un astre (A) pour \( AM > R_{\mathbb{A}} \), en fonction de \( G, m_{\mathbb{A}} \) et \( \overrightarrow{AM} \).

5.Donner la valeur approximative, en jours terrestres, de chacune des périodes \( T_{M}, T_{L}, T_{S} \). Déterminer la valeur numérique de \( \omega \) en radian par seconde.}

6.  En étudiant le mouvement de \( M \) dans le référentiel \( \mathscr{R}_{g} \), montrer que l’on peut exprimer \( \vec{g} \) sous la forme \( \vec{g} = \overrightarrow{\mathcal{G}}_{T}(M) + \vec{\gamma}_{0} + \vec{\gamma}_{1} \) où \( \vec{\gamma}_{0} \) s’exprime en fonction de \( \vec{\omega} \) et de \( \overrightarrow{TM} \) alors que \( \vec{\gamma}_{1} \) est simplement la différence entre \( \overrightarrow{\mathcal{G}}_{\mathbb{A}}(M) \) et \( \overrightarrow{\mathcal{G}}_{\mathbb{A}}(T) \).

7. Comment intervient le terme \( \vec{\gamma}_{0} \) dans la variation du champ de pesanteur locale ?

8. Déterminer l’expression de \( \delta g_{\mathbb{A}} \) en fonction de \( \vec{e}_{r} \) et de l’un des trois termes \( \overrightarrow{\mathcal{G}}_{\mathrm{T}}(M), \vec{\gamma}_{0} \) ou \( \vec{\gamma}_{1} \).

9.. Montrer que, dans cette approximation, \( \vec{\gamma}_{1} \) s’exprime sous la forme
\[ \vec{\gamma}_{1} = -\frac{G m_{\mathbb{A}}}{d_{\mathbb{A}}^{2}} \left( \overrightarrow{TM} + \mu \overrightarrow{TA} \right) \]
où l’on précisera l’expression de \( \mu \) en fonction de \( \overrightarrow{TM}, \overrightarrow{TA}, d_{\mathbb{A}}, R_{\mathrm{T}} \) et \( \Psi_{A} \). En déduire l’expression de \( \delta g_{\mathbb{A}} \) en fonction de \( G, m_{\mathbb{A}}, d_{\mathbb{A}}, R_{\mathrm{T}} \) et \( \Psi_{A} \).

10. Déterminer l’expression de \( |\delta g_{\mathbb{A}}| \) dans le cas particulier où \( \overrightarrow{TM} \) et \( \overrightarrow{TA} \) sont colinéaires et de même sens. Calculer alors, dans ce cas, les valeurs de \( |\delta g_{\mathbb{L}}| \) et \( |\delta g_{\mathbb{S}}| \), variations de \( g \) dues respectivement à la Lune et au Soleil ainsi que de leur rapport \( \kappa = |\delta g_{\mathbb{L}}| / |\delta g_{\mathbb{S}}| \). Commenter les valeurs obtenues.}

11. En prenant en compte les résultats des questions précédentes, écrire l’expression la plus simple possible de \( |\delta g| \) correspondant au modèle étudié en fonction notamment du temps \( t \). Après avoir tracé l’allure de la fonction \( t \mapsto |\delta g|(t) \) sur un mois, comparer ce résultat aux données expérimentales de la figure 1.

12. Déterminer les expressions de \( p_{\gamma} \) et \( p_{0} \) en fonction notamment de \( \lambda_{0} \) et \( T_{0} \), ainsi que leurs valeurs numériques. Commenter.

13. Dans cette vision classique, exprimer, en fonction de \( p_{0}, p_{\gamma}, m, g \) et \( \tau \), les distances \( d_{1, a} \) et \( d_{2, a} \) parcourues par chacune des particules dans la phase (a).

14. Exprimer, toujours en fonction de \( p_{0}, p_{\gamma}, m, g \) et \( \tau \), les distances \( d_{1, b} \) et \( d_{2, b} \) parcourues par chacune des particules dans la phase (b). En déduire que les centres des paquets d’ondes occupent la même position l’instant \( t = 2 \tau \). On notera \( z_{0} \) cette position.

15. Déterminer l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur \( V(z) \) en prenant \( V(0) = 0 \). En déduire la relation entre \( p(z), m, g, z \) et l’énergie mécanique \( E \) d’une particule soumise uniquement à l’action de la pesanteur.}

16. Montrer que les fonctions \( \phi \) et \( \zeta \) vérifient deux équations différentielles indépendantes. En déduire que \( \psi \) peut finalement s’écrire sous la forme \( \psi(z, t) = \phi(z) e^{-i \frac{E}{\hbar} t} \), et justifier que \( E \) est une constante réelle.

17. Montrer que \( \sigma \) est solution de l’équation différentielle
\[ \frac{\hbar}{i} \sigma” + \sigma’^2 = 2 m [E – V(z)] \stackrel{\text{def}}{=} \hbar^{2} k^{2}(z) \]
En se limitant à l’ordre 1 en \( \hbar / i \) et en écrivant qu’un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles, établir le système d’équations différentielles vérifiées par \( \sigma_{0}(z) \) et \( \sigma_{1}(z) \), puis montrer que la fonction d’onde s’écrit alors sous la forme :
\[ \phi_{ \pm}(z) = \frac{\Phi_{0}}{\sqrt{k(z)}} \exp \left[ \pm i \int_{0}^{z} k(u) \mathrm{d} u \right] \]
où \( \Phi_{0} \) est une constante que l’on ne cherchera pas à déterminer. Préciser laquelle (\( \pm \)) de ces solutions est physiquement acceptable. Dans le cas particulier d’un potentiel uniforme \( V = V_{0} \), déterminer l’expression de \( \psi(z, t) \) et commenter cette dernière expression.

18. Déterminer l’expression de la longueur d’onde de de Broglie \( \lambda_{dB} \) associée à une particule de quantité de mouvement \( p \). Exprimer, en fonction de \( \frac{\mathrm{d} \lambda_{dB}}{\mathrm{d} z} \), la condition légitimant l’approximation d’ordre 1 pour \( \sigma \).

19. Déterminer, dans l’approximation \( \mathscr{A}_{0} \), les expressions \( k_{1a}, k_{1b}, k_{2a} \) et \( k_{2b} \) des grandeurs \( k_{1} \) et \( k_{2} \) en fonction de \( p_{0} \) et \( p_{\gamma} \) pour chacune des étapes (a) et (b). Déterminer les expressions de \( \varphi_{a}^{0} \) et \( \varphi_{b}^{0} \) déphasage entre les paquets lors de ces deux étapes. En déduire que \( \varphi^{0} \) s’exprime alors sous la forme \( \varphi^{0} = \mu g \) où l’on précisera l’expression de \( \mu \) en fonction de \( \tau \) et \( \lambda_{0} \), on déterminera également sa valeur numérique.

20. Montrer que \( s = s_{0} f(\varphi) \), où \( s_{0} \) est la valeur maximale du signal \( s \) et \( \varphi \mapsto f(\varphi) \) une fonction que l’on précisera.}

21. On désire pouvoir mesurer l’intensité de la pesanteur \( g \) avec une incertitude relative \( \delta g / g = 10^{-9} \). Déterminer la précision minimale avec laquelle on doit être capable de déterminer le déphasage \( \varphi \) pour obtenir la précision voulue sur la mesure de \( g \). Une variation du signal \( s \) est détectable uniquement si elle dépasse un seuil noté \( \Delta s \). À partir de l’étude du graphe de la fonction \( \varphi \mapsto f(\varphi) \) déterminer les valeurs de \( \varphi \) autour desquelles la mesure de \( g \) est la plus précise.

22. Montrer que \( \varphi_{a} = F(p_{0} + p_{\gamma}, d_{2, a}) – F(p_{0}, d_{1, a}) \) où \( F : (x, y) \mapsto K \left[ \left( x^{2} + \nu y \right)^{3/2} – x^{3} \right] \), on précisera les expressions de \( \nu \) et \( K \) en fonction notamment de \( m, g \) et \( \hbar \).

23. Évaluer le rapport \( m^{2} g d_{1, a} / p_{0}^{2} \). Conclure quant à la légitimité de l’approximation \( \mathscr{A}_{0} \).}