Questions du sujet
1. 1 — Quel calibre est le mieux adapté pour cette mesure (on justifiera ce choix) ? Quelle incertitude doit-on associer à la valeur affichée ? Commenter.1. 2 — En notant respectivement $R_A$ et $R_V$ les résistances internes de l’ampèremètre et du voltmètre, évaluer pour chacun de ces montages l’erreur systématique $\varepsilon_i = \frac{|R_i – R|}{R}$ où $R_i = \frac{U_i}{I_i}$ représente la résistance mesurée dans chacun des montages $i = 1$ ou $i = 2$. Représenter sur un même graphe les variations de cette erreur relative en fonction de $R$. Justifier que, dans cette expérience, seul l’un des deux montages est pertinent.
1. 3 — Estimer (avec un chiffre significatif) la résistance électrique du fil. Comparer (de manière chiffrée) la précision de cette seconde méthode de mesure à celle de la question 1. Comment procéder pour améliorer encore la qualité de cette seconde mesure ?
1. 4 — Déduire de la question précédente une estimation de la conductivité électrique du cuivre.
1. 5 — En écrivant le principe fondamental de la dynamique à cet électron, déterminer sa vitesse limite dans ce modèle. En déduire l’expression de la conductivité électrique $\gamma$ du matériau.}
1. 6 — Justifier la relation $\vec{p}_i(t + \mathrm{d}t) = \frac{\mathrm{d}t}{\theta} \vec{p}_{i,0}^{\,+} + \left(1 – \frac{\mathrm{d}t}{\theta}\right) \vec{p}_i(t) + \vec{f}_C \mathrm{d}t$
1. 7 — Déduire de l’équation précédente une relation entre $\frac{\mathrm{d}\vec{p}(t)}{\mathrm{d}t}$, $\vec{p}(t)$, $\vec{f}_C$ et $\theta$ dans la limite $\mathrm{d}t \to 0$. Commenter l’expression obtenue et relier $\theta$ à la durée $\tau$.
1. 8 — Par une approche semblable à celle de la question 6, établir l’équation différentielle vérifiée par $\Pi(t)$ pour $t > 0$. Intégrer cette équation pour obtenir l’expression de $\Pi(t)$ en fonction de $\tau$, puis calculer la moyenne temporelle de la durée entre deux collisions subies par un électron. En déduire une interprétation physique de la durée $\tau$.
1. 9 — À l’aide d’un bilan sur une section droite de métal située à l’abscisse $x$, montrer que le flux thermique $j_q$ par unité de surface s’écrit : $$j_q = \frac{1}{2} n v \left[ \mathcal{E}(T(x – v\tau)) – \mathcal{E}(T(x + v\tau)) \right]$$
1. 10 — En précisant les différentes hypothèses de votre calcul, exprimer $j_q$ en fonction de $v$, $\tau$, $n$, $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}$ et de la chaleur spécifique d’un électron $C_V = \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}T}$. En retrouvant la loi de FOURIER dans cette relation, déduire l’expression de la conductivité thermique $\lambda$ du gaz d’électrons.}
1. 11 — Dans le cadre du modèle du gaz parfait classique monodimensionnel exprimer finalement $\lambda$ en fonction de $n$, $T$, $k_B$, $\tau$ et de la masse $m$ de l’électron.
1. 12 — Exprimer le rapport $\frac{\lambda}{\gamma T}$ en fonction de $e$ et $k_B$ dans le modèle classique monodimensionnel étudié jusqu’à présent. Comment se généralise cette relation dans le cas tridimensionnel ? On justifiera sa réponse. Cette relation donne le coefficient de LORENZ dans le modèle classique de DRUDE.
1. 13 — Exprimer le coefficient de LORENZ $\kappa$ en fonction de $e$ et $k_B$ dans le modèle quantique proposé par SOMMERFELD. Cette relation constitue la loi de WIEDEMANN-FRANZ dans le modèle de DRUDE-SOMMERFELD.
1. 14 — Comparer les valeurs du coefficient de LORENZ dans les cas classique et quantique. Pour les métaux conducteurs l’énergie de FERMI des électrons est de l’ordre de l’électron-volt et on rappelle qu’à température ambiante $k_B T \simeq \frac{1}{40}\text{ eV}$. Que peut-on dire du modèle classique ?
1. 15 — Proposer une expérience permettant de déterminer la masse volumique $\rho$ du cuivre, puis une autre permettant de déterminer sa capacité thermique massique $c$.}
1. 16 — Établir l’équation différentielle vérifiée par $T(x,t)$ dans laquelle on fera apparaître le coefficient de diffusion thermique $D$ que l’on exprimera en fonction des paramètres du problème.
1. 17 — Déterminer deux équations différentielles vérifiées par $f(x)$ et $g(t)$. En déduire la forme générale de la fonction $T(x,t)$.
1. 18 — Justifier qu’il faut chercher la solution du problème sous la forme : $$T(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \exp(-\alpha_n t) [u_n \cos (k_n x) + w_n \sin (k_n x)]$$
1. 19 — Exprimer les coefficients $w_n$, puis les coefficients $k_n$ et $\alpha_n$ en fonction de $n$, $L$ et $D$.
1. 20 — Établir l’expression des coefficients $u_n$ et en déduire que : $$T(x,t) = \Gamma \left[ 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(\frac{n\pi\delta}{L}\right)}{\frac{n\pi\delta}{L}} \exp(-\alpha_n t) \cos (k_n x) \right]$$}
1. 21 — Déduire de l’expression obtenue à la question précédente, que l’expression approchée de $T(L,t)$, pour $t > 0$, est : $$T(L,t) \simeq \Gamma \zeta(t) \quad \text{avec} \quad \zeta(t) = \left[ 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \exp(-\alpha_n t) \right]$$
1. 22 — Exprimer une relation entre $\alpha_1$ et $t_{1/2}$.
1. 23 — Estimer la valeur de la conductivité thermique du cuivre.
1. 24 — Les valeurs obtenues aux questions 4 et 23 (on prendra $T \simeq 300\text{ K}$) sont-elles compatibles avec la loi de WIEDEMANN-FRANZ ?}
FAQ
Le sujet du concours Mines-Ponts MP 2020 couvre la mesure de résistances électriques, le traitement des incertitudes expérimentales, la modélisation du transport électrique et thermique dans les métaux (modèle de Drude et Drude-Sommerfeld), la relation de Wiedemann-Franz, la diffusion thermique, ainsi que l’exploitation d’équations différentielles en physique. Ces notions sont au cœur du programme de physique-chimie en MP et représentent des fondamentaux pour aborder les grands thèmes de la physique contemporaine.
Lorsqu’il s’agit de mesurer une tension ou une intensité, bien choisir le calibre est essentiel pour obtenir une mesure à la fois précise et fiable. Un calibre trop élevé peut conduire à une faible résolution (et donc une mesure trop grossière), alors qu’un calibre trop faible peut entraîner une saturation de l’appareil et une mesure hors plage. Il faut donc adapter le calibre afin que la valeur mesurée soit centrée dans la plage de l’appareil, et toujours tenir compte de l’incertitude affichée pour exploiter finement les résultats, une compétence testée au concours.
La conductivité électrique (γ) et la conductivité thermique (λ) sont liées dans les métaux par la loi de Wiedemann-Franz. Selon cette loi, le rapport λ/(γT) — appelé coefficient de Lorenz — est constant et dépend seulement des constantes fondamentales, telle que la charge de l’électron et la constante de Boltzmann. Cette relation découle de la façon dont les électrons contribuent à la conduction de la chaleur et de l’électricité, un aspect théorique fondamental exploré dans ce sujet et incontournable pour comprendre la physique de l’état solide.
Le sujet te faisait manipuler des mesures électriques (pont de Wheatstone, mesures d’intensité et de tension, etc.) pour en déduire la conductivité du cuivre via la résistance d’un fil. Pour la capacité thermique massique et la masse volumique, il s’agissait de proposer des expériences classiques, telles que la calorimétrie (chauffage-mélange) pour c, ou la mesure des dimensions et de la masse pour ρ. Ces démarches expérimentales sont typiques de ce qu’on attend d’un candidat de CPGE, alliant rigueur et sens physique.
L’équation de diffusion thermique, ou équation de la chaleur, modèle la propagation temporelle et spatiale de la température dans un solide suite à une perturbation thermique. On la retrouve partout : conduction de la chaleur, diffusion de particules, ou même propagation d’épidémies (modèles mathématiques analogues). Elle permet d’introduire des notions de relaxation, de régime permanent, et d’analyser le comportement d’un matériau face à une contrainte thermique, autant de situations rencontrées en sciences de l’ingénieur et en recherche fondamentale.
Le modèle de Drude-Sommerfeld introduit la statistique quantique de Fermi-Dirac dans la description du gaz d’électrons libre d’un métal, contrairement au modèle de Drude classique qui utilise la statistique de Maxwell-Boltzmann. Cela permet d’expliquer de manière cohérente la conductivité électrique et thermique des métaux, de rendre compte de la faible capacité thermique électronique, et surtout d’ajuster théoriquement le coefficient de Lorenz à ce qui est observé expérimentalement, une question souvent posée en oral ou à l’écrit.
Au-delà de la maîtrise du programme, tu es testé sur l’analyse critique des résultats expérimentaux, la rédaction claire, la capacité à modéliser des phénomènes réels, le maniement des incertitudes, et l’exploitation fine des hypothèses et des approximations. On attend de toi à la fois rigueur et initiative dans la démarche scientifique — des atouts clés aussi pour le TIPE ou les oraux. Pour t’entraîner efficacement et viser les meilleures écoles, n’hésite pas à débloquer les corrigés sur PrépaBooster, tu y trouveras des corrigés détaillés, des exercices corrigés, et un dashboard personnalisé pour suivre ta progression !