Mines Physique 1 PC 2025

Questions du sujet

1. Donner la définition du nombre de Reynolds, $\mathcal{R}_{\mathrm{e}}$, associé à un écoulement de vitesse typique $v$, de dimension typique $L$, de masse volumique $\rho$ et de viscosité $\eta$. Préciser le rapport de deux termes de l’équation de Navier-Stokes (1) qu’il estime. Interpréter physiquement chacun de ces deux termes.

2. En se plaçant dans le plan $\mathscr{P}=\left(O, \vec{e}_{x}, \vec{e}_{z}\right)$, représenter qualitativement quelques lignes de courant du fluide autour de la boule pour les deux situations, $\mathcal{R}_{\mathrm{e}}$ très grand (préciser) et $\mathcal{R}_{\mathrm{e}}$ assez faible, et décrire dans chaque cas l’écoulement autour de la boule solide. Pour $\mathcal{R}_{\mathrm{e}} \ll 1$, on précisera sur le schéma le vecteur vitesse $\vec{v}(M)$ d’une particule de fluide localisée en un point $M \in \mathscr{P}$ voisin de la boule. Représenter aussi la distance $r$, l’angle $\theta$ et les vecteurs de base locaux $\vec{e}_{r}$ et $\vec{e}_{\theta}$ correspondants.

3. Pour des nombres de Reynolds supérieur à 1000, comment la force de traînée subie par une boule solide est-elle reliée à la vitesse de l’écoulement ? Pour évaluer la force de traînée, $\vec{F}=F_{z} \vec{e}_{z}$, subie par un solide se déplaçant à la vitesse $\vec{v}=v \vec{e}_{z}$ dans un fluide au repos, on introduit le coefficient de traînée $C_{z}$ défini par :
$$
C_{z}=\frac{\left|F_{z}\right|}{\frac{1}{2} \rho v^{2} S}
$$
où $S$ est la surface projetée du solide dans un plan perpendiculaire à la direction de son déplacement.

4. Déterminer l’expression du coefficient de traînée $C_{z}$ en fonction du nombre de Reynolds $\mathcal{R}_{\mathrm{e}}$.

5. Donner l’équation de Navier-Stokes simplifiée, correspondant au régime de l’écoulement considéré et vérifiée par le champ de vitesse du fluide $\vec{v}$ en un point $M$ situé à l’extérieur de la boule.}

6. Montrer que ce champ de vitesse vérifie bien la condition de non-glissement à la surface de la boule. Montrer qu’il vérifie également la condition aux limites loin de la boule.

7. Montrer que $\overrightarrow{\operatorname{rot}} \vec{v}=-\alpha \frac{v_{0} a \sin \theta}{r^{2}} \vec{e}_{\phi}$ expression dans laquelle on précisera la valeur de la constante positive $\alpha \in \mathbb{Q}$.

8. En déduire que la pression autour de la boule s’écrit sous la forme $P(M)=P_{\infty}-\beta \frac{\cos \theta}{r^{2}}$ dans laquelle on précisera l’expression de $\beta$ en fonction de $\eta, a$ et $v_{0}$.

9. Déterminer la résultante des forces de pression, notée $\vec{F}_{\mathrm{p}}$, sur la boule.

10. Déterminer la résultante des forces de cisaillement, notée $\vec{F}_{c}$, exercée par le fluide sur toute la boule.}

11. Déduire des deux résultats précédents la force de traînée exercée par le fluide sur la boule.

12. Déterminer, en fonction de $u_{i}$ et $\sigma$, la vitesse moyenne $u_{r}$ après collision avec la paroi. En déduire la vitesse de glissement $u_{g}$ des molécules de cette couche pendant la durée $\tau$.

13. Exprimer, en fonction de $u_{g}$, $\ell$ et $\left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{z=0}$, la vitesse $u_{i}=u(\ell)$ comme un développement de Taylor au premier ordre de $u(z)$ au voisinage de la paroi. En utilisant la condition aux limites (2) de Maxwell-Navier pour $v_{t}=u_{g}$, exprimer la longueur d’extrapolation $b$ (aussi appelée longueur de glissement) en fonction de $\ell$ et $\sigma$.

14. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par le champ de vitesse du fluide $u(z)$.

15. Déterminer dans ces conditions l’expression du champ de vitesse $u_{n g}(z)$ en fonction de $G$, $h$, et $\eta$. Déterminer le débit volumique $Q_{n g}$ en fonction de $G, h, w$ et $\eta$.}

16. Déterminer le champ de vitesse dans le fluide, $u_{g}(z)$, en fonction de $G, h, b$ et $\eta$. Exprimer le débit volumique $Q_{g}$ en fonction de $Q_{n g}$ et du taux de confinement $\xi=b / h$ du fluide. Commenter.

17. Déterminer l’expression de $\delta v$ en fonction de $T, M_{\mathrm{a}}, \mathcal{N}_{\mathrm{A}}$ et $k_{\mathrm{B}}$. Calculer sa valeur numérique dans des conditions usuelles.

18. Déterminer, en fonction des données, la variation de quantité de mouvement $\mathrm{d} \vec{P}_{\mathrm{A}}$ de la tranche A pendant la durée $\Delta t=\tau$, à travers la surface $S$.

19. Déterminer réciproquement la variation de quantité de mouvement $\mathrm{d} \vec{P}_{\mathrm{B}}$ de la tranche B pendant la même durée à travers la surface $S$. En déduire la force exercée par la tranche B (resp. A) sur la tranche A (resp. B) pendant $\Delta t$ à travers la surface $S$. On interprétera physiquement les deux termes (tangentiel et normal) présents dans ces forces.

20. En écrivant un développement limité à l’ordre 1 pour $u(z \pm \ell)$, déterminer la viscosité dynamique $\eta$ du fluide en fonction de la masse $m$ des molécules qui le compose, de leur densité particulaire $n$, de $\ell$ et de $\delta v$. Calculer la viscosité de l’air sachant que dans les conditions usuelles, $\ell \simeq 60 \mathrm{~nm}$ et $\delta v \simeq 500 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1}$. L’ordre de grandeur vous paraît-il correct ?}

21. Rappeler le lien entre $n, \ell$ et le diamètre $d$ des molécules du gaz. En déduire que dans le cadre de ce modèle, la viscosité est indépendante de la pression du gaz. Commenter ce résultat. Donner la dépendance de la viscosité du gaz en fonction de la température.

22. Des mesures de la viscosité de l’air, à différentes températures (élevées), ont donné la figure 5 ci-dessous. La dépendance en température du modèle précédent vous paraît-elle conforme à l’expérience ? On justifiera sa réponse.}