Questions du sujet
1. Quel est, à votre avis, la nature du « triangle relativiste » évoqué par la relation (1) ? Représenter celui-ci. Quelle est l’unité usuelle, dans le système international, de l’impulsion \(p\) ? du produit \(p c\) ?}
2. On appelle **énergie de repos** d’une particule la valeur \(E_{0}\) de l’énergie de celle-ci lorsque son impulsion est nulle. Exprimer \(E_{0}\) pour un proton et calculer sa valeur numérique.}
3. On s’intéresse d’abord aux particules vérifiant la relation (1) dans le cas de la limite classique, lorsque \(E_{c} \ll E_{0}\). En vous limitant au premier ordre non nul, donner dans ce cas une expression de \(E_{c}\) en fonction de l’impulsion \(p\) et de la masse \(m\) de la particule. Quelle est alors la relation entre l’impulsion \(\vec{p}\) et la vitesse \(\vec{v}\) d’une particule ? Quelle vitesse maximale peut-on donner à un proton pour rester dans la limite classique telle que \(E_{c} / E_{0}<1 \%\) ? Même question pour un électron.} 4. En déduire l’expression générale de l’énergie totale \(E=f\left(E_{0}, v, c\right)\) d’une particule de masse \(m\).} 5. Un photon est une particule associée à une onde électromagnétique dans le vide et dont la vitesse est donc égale à \(c\). Que peut-on en déduire, pour sa masse, de la relation \(E=f\left(E_{0}, v, c\right)\) établie à la question précédente ? Déduire de (2) l’expression de l’énergie \(E\) d’un photon en fonction de la longueur d’onde \(\lambda\) puis de la fréquence \(\nu\) de l’onde. Faire l’application numérique dans les cas des ondes lumineuses des domaines bleu (\(\lambda \sim 400 \, \mathrm{nm}\)) puis rouge (\(\lambda \sim 600 \, \mathrm{nm}\)). On pourra exploiter le fait que \(h c \simeq 1,2 \, \mathrm{eV} \times \mu \mathrm{m}\) et on exprimera \(E\) en eV.} 6. On admet que l’énergie totale du système après émission est identique à celle de l’atome au repos avant l’émission. En déduire la relation \(E=m c^{2}(\sqrt{1+2 \eta}-1)\) et exprimer \(\eta\) en fonction de \(\Delta E, m\) et \(c\).} 7. Dans le cas de l’atome d’hydrogène, \(\Delta E\) est de l’ordre de quelques électrons-volts. En déduire qu’on peut négliger l’énergie de recul de l’atome et conclure quant à la relation entre \(\Delta E=E_{i}-E_{f}\) et l’énergie \(E\) du photon émis.} 8. La résolution de l’équation de SCHRÖDINGER (1922) dans le cas de l’atome d’hydrogène montre que les valeurs de l’énergie \(E_{n}\) de l’atome sont quantifiées en fonction du nombre quantique principal \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et de la grandeur \(H=27,2 \, \mathrm{eV}\) selon la relation : \(E_{n}=-H /\left(2 n^{2}\right)\). Cette expression est confirmée par l’étude des ondes lumineuses, de longueur d’onde \(\lambda\), émises par un ensemble d’atomes d’hydrogène qui rayonnent par désexcitation depuis un état initial quantifié par \(n_{i}\) vers l’état final quantifié par \(n_{f}<n_{i}\). Lorsque l’état final est \(n_{f}=1\), montrer qu’il existe une \(\lambda_{\max}\) telle que \(\lambda \leqslant \lambda_{\max}\) et donner une estimation de \(\lambda_{\max}\). Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d’émission ? Lorsque l’état final est \(n_{f}>2\), montrer qu’il existe une \(\lambda_{\min}\) que l’on estimera, telle que \(\lambda \geqslant \lambda_{\min}\). Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d’émission ?}
9. Les raies d’émission de l’hydrogène dans le domaine visible (les raies de BALMER) ont été étudiées à partir de 1853 par ÄNGSTRÖM ; à quelles valeurs de \(n_{f}\) correspondent-elles ?}
10. L’interféromètre comporte deux lames de verre \(L_{1}\) et \(L_{2}\), parallèles, de même épaisseur \(e\) et de même indice optique \(n\), inclinées d’un angle \(\pi / 4\) relativement à l’axe \((O, \vec{e}_{x})\) normal au miroir fixe. La lame \(L_{1}\) est munie d’une couche semi-réfléchissante sur une seule de ses faces ; laquelle ? Justifier, en vous appuyant sur un schéma.}
11. Après réglage des vis \(V_{1}\) et \(V_{2}\) les miroirs fixe et mobile sont rendus rigoureusement perpendiculaires ; l’axe optique \((O, \vec{e}_{z})\) de l’oculaire est alors confondu avec la normale au miroir mobile et l’opérateur observe, au moyen de cet oculaire réglé à l’infini, des franges d’interférence. Quelle est la forme de ces franges ? Peut-on encore les observer si l’oculaire est déréglé ?}
12. Tout en observant les franges, l’observateur peut actionner la vis micrométrique et déplacer le miroir mobile dans le plan \((O, \vec{e}_{x}, \vec{e}_{y})\), le long de l’axe \((O, \vec{e}_{z})\). Relier le nombre \(\Delta N\) de franges sombres qui défilent au centre du champ et le décalage \(\Delta z\) du miroir mobile.}
13. Exprimer, au moyen d’un schéma approprié, la différence de marche observée à l’infini dans une direction donnée, en fonction de l’écart séparant les deux miroirs. Le déplacement maximal de la vis micrométrique à partir du contact optique est noté \(\Delta z_{\max}\). Déterminer, après ce déplacement, l’angle \(\Delta \theta\) qui sépare le centre de la figure de la première frange de même nature.}
14. Dans le cas d’une des raies de l’hydrogène atomique, on observe le défilement de \(N=3156\) franges pour un décalage \(\Delta z=1035 \pm 2 \, \mu \mathrm{m}\). S’agit-il de la raie \(H_{\alpha}\) ou \(H_{\beta}\) ? Avec quelle précision relative mesure-t-on sa longueur d’onde \(\lambda_{0}\) ? Que vaut alors \(\Delta \theta\) ? Commenter.}
15. Dans le cas où la source est rigoureusement monochromatique, de longueur d’onde \(\lambda_{0}\), exprimer l’intensité \(I(\delta)\) en fonction de \(I_{0}, \lambda_{0}\) et \(\delta\). Définir et calculer le facteur de contraste \(C\) des franges.}
16. Pour certaines sources bichromatiques les deux radiations émises sont de même intensité ; c’est le cas des lampes à vapeur de sodium, étudiées notamment par Michelson dans les conditions décrites en III.A. Expliciter l’intensité \(I\) observée en fonction de \(I_{0}\), de la différence de marche \(\delta\), de \(\lambda_{0}\) et de \(\Delta \lambda\). Exprimer le facteur de contraste \(C\) des franges et montrer comment il permet la mesure de \(\lambda_{0} / \Delta \lambda\).}
17. D’autres sources, comme celles émettant la raie \(H_{\alpha}\) de l’hydrogène, peuvent être écrites comme bichromatiques mais les intensités \(I_{1}\) et \(I_{2}<I_{1}\) émises aux longueurs d’onde \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\) sont différentes. Pour quelle(s) valeur(s) de \(\delta\) le facteur de contraste des franges est-il minimal ? Quelle est cette valeur minimale ? Dans le cas de la raie double \(H_{\alpha}\), l’écart \(\Delta \lambda\) est de l’ordre de \(1,4 \times 10^{-11} \, \mathrm{m}\). Est-il possible de le mettre en évidence avec le montage proposé ci-dessus ?}
18. Quel est le rôle du circuit à circulation d’eau qui entoure le tube central ? Sur le spectre proposé en figure 4, quelle est l’unité de la graduation donnée en abscisse ? Quelle est, à votre avis, l’origine du fond continu (essentiellement dans le proche ultraviolet) marqué en trait pointillé gris ?}
19. Quelle propriété du spectre d’émission de la molécule hydroxyle HO est ici mise à profit ? Les raies d’émission du deutérium sont-elles, par rapport à celle de l’hydrogène ordinaire, décalées vers le bleu ou vers le rouge ? De quelle résolution spectrale (en nanomètre) faut-il disposer pour séparer les raies de l’hydrogène et celles du deutérium ? À partir d’une lecture de la courbe de la figure 4, faire l’application numérique dans le cas de la raie \(H_{\beta}\).}
20. L’état associé à cette fonction d’onde est-il stationnaire ? Dans quel sens le mouvement de la particule décrite par cette onde a-t-il lieu ? Exprimer les vitesses de phase \(v_{\varphi}\) et de groupe \(v_{g}\) en fonction de \(E\), de \(p(E)\) et de sa dérivée.} 21. Exprimer \(p(E)\) et \(v_{g}(E)\) dans le cas d’une particule vérifiant l’équation de SCHRÖDINGER dans un domaine où \(V\) est constant. En déduire le caractère relativiste ou non du modèle associé à l’équation de SCHRÖDINGER.}
22. Répondre aux mêmes questions dans le cas d’une particule vérifiant l’équation de KLEIN-GORDON (5).}
23. Quelle est la nature de l’onde dans le domaine \(x \in[0, a]\) ? Quelles relations permettent de calculer \(\underline{R}\) et \(\underline{T}\) ? On ne demande pas de les exprimer ici ! Quel phénomène physique peut-on mettre ainsi en évidence ? Quelle est l’interprétation physique de \(|\underline{T}|^{2}\) ?}
24. Quelle est la nature de l’onde dans le domaine \(x \in[0, a]\) ? On notera qu’en introduisant \(\varepsilon=E-V_{0}\), on a \(q^{2}=\frac{\left(\varepsilon-m c^{2}\right)\left(\varepsilon+m c^{2}\right)}{c^{2}}>0\). Les mêmes relations que dans l’étude de la barrière de potentiel dans le cadre de l’équation de SCHRÖDINGER conduisent, pour l’onde de KLEIN-GORDON, à la relation (que l’on admettra) : \[ |\underline{T}|^{2}=\frac{1}{|\cos \varphi-\mathrm{i} \alpha \sin \varphi|^{2}} \quad \text{avec} \quad \alpha=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\right) \quad \text{et} \quad \varphi=\frac{q a}{\hbar}. \] Déterminer la valeur maximale de \(|\underline{T}|^{2}\). Commenter.}
FAQ
L’impulsion relativiste tient compte des effets de la relativité restreinte, notamment la limitation de la vitesse à celle de la lumière. À faible vitesse, elle se confond avec l’impulsion classique (p = m·v), mais à des vitesses proches de c, la relativité impose des corrections importantes. Cette distinction devient essentielle dès qu’on travaille sur des particules ayant un rapport Ec/E0 non négligeable, comme c’est souvent le cas en physique des particules ou en astrophysique.
L’énergie de repos, notée E0, est l’énergie intrinsèque d’une particule lorsqu’elle est immobile dans un référentiel donné. Elle est égale à m·c² et constitue une base majeure de la physique moderne depuis Einstein. Cette énergie s’observe notamment lors de réactions nucléaires ou lors d’annihilation de particules, où E0 se transforme en d’autres formes d’énergie (photons, chaleur, etc.).
La limite classique correspond au cas où l’énergie cinétique Ec est très inférieure à l’énergie de repos E0 (typiquement, Ec/E0 < 1%). C’est dans ce régime que les lois de la mécanique classique restent valables et que les corrections relativistes peuvent être négligées. Cela permet souvent de simplifier les calculs sans perdre en précision lorsqu’on décrit, par exemple, des phénomènes à l’échelle macroscopique ou des vitesses non relativistes.
Le photon est le quantum d’énergie de l’onde électromagnétique et se déplace toujours à la vitesse de la lumière dans le vide. Selon la relation E² = (mc²)² + (pc)², si on place sa masse m au repos à zéro, on retrouve l’expression de l’énergie du photon : E = pc. Cette propriété est vérifiée expérimentalement et marque la frontière entre particules massives et particules de masse nulle. Profite de l’accès aux corrigés pour approfondir ces liens avec les notions de dualité onde-corpuscule.
L’énergie du photon dépend de sa fréquence : E = h·ν = hc/λ, où h est la constante de Planck, ν la fréquence et λ la longueur d’onde. Plus la longueur d’onde est courte, plus l’énergie du photon est grande. Cette relation permet de relier les domaines de l’optique, de la physique quantique et de la physique des particules. Pour voir comment l’appliquer à des exemples concrets (bleu/rouge), débloque les corrigés sur PrépaBooster.
Les raies spectrales de l’hydrogène — dont la série de Balmer dans le visible — résultent des transitions électroniques entre niveaux d’énergie. Elles sont fondamentales car elles permettent d’étudier la structure atomique, de valider les modèles quantiques et de sonder la composition d’astres lointains. Ces raies jouent aussi un rôle clé dans la spectroscopie et l’astrophysique observationnelle.
Un interféromètre permet de mesurer avec une très grande précision les différences de marche entre deux ondes lumineuses. Grâce à l’observation des franges d’interférence, il devient possible de déterminer des longueurs d’onde, des indices optiques, et même de séparer des raies très proches issues d’une même source, comme celles du sodium ou de l’hydrogène. Comprendre son principe, c’est t’assurer de maîtriser un outil à la portée impressionnante en spectroscopie !
L’équation de Schrödinger est non-relativiste et s’applique aux particules classiques (vitesse très inférieure à la lumière), tandis que l’équation de Klein-Gordon est relativiste et permet de traiter des particules à grande vitesse ou n’ayant pas forcément de masse, comme le photon. Chacune décrit des régimes physiques distincts et leur confrontation permet d’étudier en profondeur la frontière entre mécanique classique, mécanique quantique et relativité restreinte.
Le facteur de contraste mesure la netteté des franges : plus il est élevé, plus les franges sont marquées et faciles à observer. Il dépend de la cohérence des ondes, de la régularité de la source et — en cas de sources bichromatiques — il permet aussi d’accéder à des informations spectrales fines comme la séparation exacte de deux longueurs d’onde proches. Pour savoir comment on exploite ce facteur en épreuve, pense à débloquer l’accès au dashboard PrépaBooster !
Pour progresser, l’idéal est de travailler sur de vrais sujets et leurs corrigés détaillés, en t’aidant des corrigés de PrépaBooster. Cela te permet d’identifier les points de méthodes, de consolider les notions clefs (relativité, quantique, optique, spectroscopie…), et de t’exercer à la rédaction et à la rigueur exigées dans ces concours. N’oublie pas d’utiliser le dashboard pour cibler tes révisions et suivre tes progrès !