Questions du sujet
1. Vérifier que pour tout vecteur $X =
\begin{pmatrix}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}
\in M_{n,1}(\mathbb{R})$ on a :
$X^TAX = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} x_i x_j$.}
2. Montrer que si $A \in S^+_n(\mathbb{R})$, les valeurs propres de $A$ sont des réels positifs ou nuls.}
3. Montrer que pour tout $x \in [a ; b]$, l’application $t \mapsto \varphi(x, t)$ est continue sur $[c ; d]$.}
4. Montrer que $\psi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a ; b]$ ; préciser $\psi’$.}
5. En déduire :
$\forall x \in [a ; b],\quad \displaystyle \int_a^x \left( \int_c^d f(u,t) dt \right) du = \int_c^d \left( \int_a^x f(u,t) du \right) dt$. \\
On a donc, en particulier :
$\displaystyle \int_a^b \int_c^d f(u, t) dt du = \int_c^d \int_a^b f(u, t) du dt$ (c’est le théorème de Fubini).}
6. Démontrer que : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n(f) = \int_a^b \int_c^d f(u, t) du dt$.\\
Pour la suite, on admettra que ce dernier résultat reste valable pour toute application $f$ continue sur $[a ; b] \times [c ; d]$.}
7. Soit $H$ un espace préhilbertien réel, où le produit scalaire est noté $\langle\,|\,\rangle_H$. Montrer que l’application $K : H^2 \to \mathbb{R},\ (x, y) \mapsto \langle x | y \rangle_H$ est un NTP.}
8. Montrer que si $K$ vérifie la propriété (R), alors $K$ est un NTP.}
9. Montrer que si $\Omega = \{x_1, \ldots, x_n\}$ est un ensemble fini, et si $K$ est un NTP sur $\Omega$, alors $K$ vérifie la propriété (R).\\
\textit{Indication : on pourra diagonaliser la matrice $\operatorname{Cov}_K(x_1, \ldots, x_n)$.}}
10. On considère ici l’espace vectoriel $H$ des fonctions $f$ continues et de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur l’intervalle $[0 ; 1]$, telles que $f(0) = 0$ (on ne demande pas de vérifier qu’il s’agit bien d’un espace vectoriel). Pour $(f, g) \in H^2$ on pose :
$$\langle f | g \rangle_H = \int_0^1 f'(t)g'(t)\,dt$$
Montrer que l’on a bien défini ainsi un produit scalaire sur $H$.}
11. Soit le noyau
$$K : [0 ; 1] \times [0 ; 1] \to \mathbb{R},\ (x, y) \mapsto \min(x, y).$$
Montrer que $K$ vérifie la propriété (R).
\textit{Indication : pour tout $x \in [0 ; 1]$, on pourra poser $\varphi(x) = K_x$, où $K_x$ désigne l’application partielle $y \mapsto K(x, y)$.}
}
12. Montrer que si $K’$ est une autre application symétrique et continue de $I \times I$ dans $\mathbb{R}$ telle que $u_K = u_{K’}$, alors $K = K’$.}
13. Montrer que $u_K$ est un endomorphisme de $E$, puis que cet endomorphisme est une application continue de l’espace vectoriel normé $(E, \|\cdot\|_2)$ dans lui-même.}
14. Montrer que $u_K$ est un endomorphisme symétrique de l’espace préhilbertien $E$. En déduire que si $\lambda$ et $\mu$ sont deux valeurs propres distinctes de $u_K$ et si $f_\lambda$, $f_\mu$ en sont deux vecteurs propres associés, alors $f_\lambda$ et $f_\mu$ sont orthogonaux.}
15. On suppose désormais que $K$ est un NTP. Montrer que, pour toute $f \in E$, on a $\langle u_K(f)\,|\,f\rangle > 0$. Que peut-on en déduire pour les valeurs propres de $u_K$ ?\\
\textit{Indication : utiliser la question 6.}
}
16. On prend maintenant, $I = [0 ; 1]$, et on note $E$ l’espace vectoriel $E = C([0 ; 1], \mathbb{R})$ que l’on munit du produit scalaire : $\langle f|g\rangle = \int_I f(t)g(t)\,dt$, et l’on note $\|\cdot\|_2$ la norme associée.
Soit $f \in E$ donnée. On cherche ici à déterminer les applications $g$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[0 ; 1]$ qui satisfont au problème aux limites :
$$(P)~\left\{ \begin{array}{l}
g” = -f\\
g(0) = g'(1) = 0
\end{array}\right.$$
Montrer que le problème $(P)$ possède une solution unique $g$, donnée par $g = u_K(f)$ où $K$ est le NTP défini par $K : I \times I \to \mathbb{R},\ (x, t) \mapsto \min(x, t)$.}
17. Déterminer les valeurs propres de $u_K$ (on les exprimera sous forme d’une suite strictement décroissante $(\lambda_k)_{k \in \mathbb{N}}$). Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$ le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda_k$ est de dimension~$1$, et déterminer un vecteur propre unitaire $e_k$ qui l’engendre.
Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on note $F_n = \mathrm{Vect}(e_0, \ldots, e_n)$ et $p_n$ la projection orthogonale sur $F_n$.}
18. En admettant la relation :
$$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{\left(k+\frac{1}{2}\right)^4} = \frac{\pi^4}{6},$$
vérifier l’égalité
$$\int_0^1 \int_0^1 K(x, t)^2 dx\,dt = \sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k^2.$$}
19. Montrer que :
$$\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \|K_x – p_n(K_x)\|_2^2 dx = 0.$$}
20. En déduire, pour toute $f \in E$ :
$$\lim_{n \to +\infty} \left\| u_K(f) – \sum_{k=0}^{n} \lambda_k \langle e_k | f \rangle e_k \right\|_2 = 0.$$}
21. Montrer que la série de fonctions
$$\sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k \langle e_k|f\rangle e_k$$
est uniformément convergente sur $I$, puis que
$$u_K(f) = \sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k \langle e_k|f\rangle e_k.$$}
22. Démontrer que :
$$\forall (x, y) \in I^2, \quad K(x, y) = \sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k e_k(x) e_k(y)$$
\textit{Indication : poser $K_0(x, y) = \sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k e_k(x) e_k(y)$ et montrer que $u_K = u_{K_0}$.}
}
23. En déduire la formule de la trace :
$$\int_0^1 K(x, x)\,dx = \sum_{k=0}^{+\infty} \lambda_k$$
puis la valeur de
$$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{\left( k+\frac{1}{2}\right)^2 }.$$}