Questions du sujet
1. On considère $g : [0, +\infty[ \to \R$ définie par $g(x) = e^{-x}$. Montrer que $g$ est une densité sur $[0, +\infty[$, que tous ses moments sont finis et calculer $m_n(g)$ pour $n \in \N$. 2. Montrer que tous les moments de la densité gaussienne $\varphi$ sont finis. 3. Que vaut $m_{2p+1}(\varphi)$ pour $p \in \N$ ? 4. Calculer $m_{2p}(\varphi)$ pour $p \in \N$. On exprimera le résultat sous forme compacte avec des factorielles là où c’est possible. 5. Donner un exemple de densité $f : \R \to \R$ dont le moment d’ordre 1 n’est pas fini.} 6. Justifier que, pour tout $x \in [0, 1]$, $n \in \N$, \[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = 1. \] 7. Montrer que, pour tout $x \in [0, 1]$, $n \in \N$, \[ \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = nx. \] 8. Montrer que, pour tout $x \in [0,1]$, $n \in \N$, \[ \sum_{k=0}^n k^2 \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = nx + n(n-1)x^2. \] 9. En déduire que, pour tout $x \in [0, 1]$, $n \in \N$, \[ \sum_{k=0}^n (k-nx)^2 \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \leq Cn, \] pour une constante $C > 0$ à préciser. 10. Montrer que, pour tout $x \in [0, 1]$, $n \in \N$, \[ |B_n(x) – f(x)| \leq \alpha + 2\|f\|_{\infty} \sum_{k \in Y} \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}, \] où on rappelle que $\|f\|_{\infty} = \sup_{0 \leq x \leq 1} |f(x)|$.} 11. En utilisant la définition de l’ensemble $Y$ et les questions précédentes, conclure qu’il existe $n$ suffisamment grand tel que \[ \|B_n – f\|_{\infty} \leq 2\alpha. \] 12. Montrer que, pour toute fonction polynomiale $P$, on a \[ \int_0^1 (f(x) – g(x)) P(x) dx = 0. \] 13. Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \int_0^1 (f(x)-g(x)) P_n(x) dx = \int_0^1 (f(x)-g(x))^2 dx. \] 14. Montrer alors que $f = g$ sur $[0, 1]$. 15. Justifier que $\hat{\varphi}$ est correctement définie et continue sur $\R$.} 16. Justifier que $\hat{\varphi}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ et que \[ \hat{\varphi}'(\xi) = \frac{i}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{it\xi} t e^{-\frac{t^2}{2}} dt. \] 17. Montrer que $\hat{\varphi}$ est solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre à préciser. 18. Montrer que $\hat{\varphi}(\xi) = e^{-\frac{\xi^2}{2}}$ pour tout $\xi \in \R$. Dans la suite et si besoin on admettra que ceci reste valable pour tout $\xi \in \C$. 19. Montrer que $f$ est bien une densité sur $[0, +\infty[$. On admettra que tous ses moments sont finis. 20. Montrer que \[ I_n = \Im \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{i(2\pi-in)u} e^{-\frac{1}{2}u^2} du \right), \] où $\Im(z)$ désigne la partie imaginaire du complexe $z$.} 21. À l’aide de la partie IV, en déduire que $I_n = 0$. 22. Pour $\lambda \in \R$, on pose \[ g_\lambda(x) = f(x) (1 + \lambda \sin(2\pi \ln x)). \] Déterminer une infinité non dénombrable de $\lambda$ pour lesquels $f$ et $g_\lambda$ sont deux densités sur $[0, +\infty[$, distinctes et $m_n(g_\lambda) = m_n(f)$ pour tout $n\in \N$.}FAQ
Une densité de probabilité est une fonction positive dont l’intégrale sur son domaine vaut 1. Savoir identifier et manipuler une densité sur un intervalle donné, comme l’exponentielle ou la gaussienne, est fondamental en sciences de l’ingénieur. Les sujets des concours Mines-Ponts exploitent souvent ces notions en transformant ou combinant différentes densités. Les corrigés expliquent en détail comment montrer qu’une fonction est une densité, et comment exploiter cette propriété pour calculer des moments ou résoudre des intégrales.
Les moments d’une densité (moments d’ordre n) donnent des informations sur la distribution de la variable aléatoire associée, comme la moyenne, la variance ou la symétrie. Leur calcul intervient régulièrement dans les épreuves du concours Mines-Ponts PSI, notamment pour caractériser les lois ou différencier des densités. Retrouve dans les corrigés toutes les astuces pour reconnaître et calculer ces moments sans perdre de temps le jour J.
L’approximation polynomiale sert à approcher une fonction complexe par des polynômes, ce qui simplifie les calculs, particulièrement pour les intégrales et les développements limités. Dans ce sujet Mines-Ponts PSI 2019, tu retrouves les polynômes de Bernstein, essentiels en analyse, pour prouver des propriétés de convergence ou d’égalité de fonctions. Si tu veux tous les détails ou des exemples rédigés pas à pas, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
La densité gaussienne, ou loi normale, intervient partout : statistiques, probabilités, mais aussi en analyse complexe et en transformée de Fourier. Savoir manipuler ses intégrales et reconnaître ses propriétés (comme la symétrie ou la décroissance rapide) est incontournable en concours comme Mines-Ponts PSI. Les corrigés t’expliquent avec rigueur toutes les astuces pour ne pas rester bloqué devant ce type d’exercice.
La transformée de Fourier est un outil puissant qui permet de passer d’une fonction à une autre représentation, souvent pour simplifier des calculs d’intégrales ou d’équations différentielles. Les sujets de maths PSI, comme celui du concours Mines-Ponts 2019, incluent fréquemment des exercices sur ce thème, car il synthétise analyse réelle et complexe. Si tu veux une méthode claire pour répondre à ces questions, n’hésite pas à accéder au dashboard personnalisé et au corrigé détaillé sur Prépa Booster.
Les sommes avec coefficients binomiaux, comme celles des polynômes de Bernstein, sont très courantes en permutations, probabilités et approximation. Retenir les formules classiques, comme la somme sur tout k, les moments ou les combinaisons avec puissances, te fera gagner du temps lors du sujet. Les exercices corrigés sur Prépa Booster t’apprennent à détecter les astuces pour transformer rapidement ces sommes en expressions simples.
Devant une question sur la convergence ou l’unicité, identifie d’abord s’il s’agit de convergence uniforme, simple ou dans L². L’épreuve Mines-Ponts adore les questions liant polynômes d’approximation, densités et unicité à partir de moments. Savoir mobiliser le théorème de Stone-Weierstrass ou les propriétés des intégrales est une vraie clé de la réussite. Pour t’entraîner, débloque les corrigés et toutes les ressources d’entraînement sur Prépa Booster.
Les sujets ciblent autant la maîtrise des outils fondamentaux (analyse, probabilités, calcul intégral) que l’ingéniosité face à des exercices ouverts ou interconnectés, comme des questions mêlant densités, Fourier et approximation. Ils récompensent la capacité à lier différentes parties du programme, c’est pourquoi l’entraînement avec des corrigés détaillés et progressifs est capital pour performer.