Questions du sujet
1. Montrer que si u vérifie la condition (C3) alors u est de trace nulle.
2. Montrer que u^2 = ”^2 I_E, déterminer le spectre de u et préciser la dimension des sous-espaces propres de u.
3. Expliciter, à l’aide de vecteurs propres de u, une droite vectorielle D telle que u(D) \not\subset D, et en déduire que u est échangeur.
4. Calculer le carré de la matrice \begin{pmatrix} 0_n & B \\ 0_{p,n} & 0_p \end{pmatrix} de \mathcal{M}_{n+p}(\mathbb{C}). Montrer ensuite que M est la somme de deux matrices de carré nul.
5. On considère dans \mathcal{M}_{n+p}(\mathbb{C}) la matrice diagonale par blocs D := \begin{pmatrix} I_n & 0_{n,p} \\ 0_{p,n} & -I_p \end{pmatrix}. Montrer que D est inversible, calculer D^{-1} puis DMD^{-1}, et en déduire que M est semblable à -M.}
6. On suppose ici F et G tous deux non nuls. On se donne une base (f_1, …, f_n) de F et une base (g_1, …, g_p) de G. La famille \mathcal{B} = (f_1, …, f_n, g_1, …, g_p) est donc une base de E. Compte tenu des hypothèses, décrire la forme de la matrice de u dans \mathcal{B}.
7. Déduire des questions précédentes que u vérifie les conditions (C2) et (C3). On n’oubliera pas de considérer le cas où l’un des sous-espaces vectoriels F et G est nul.
8. Soit f un endomorphisme de E tel que f^2 = 0. Comparer \Ker f à \Im f et en déduire \\ \dim \Ker f \geq \frac{\dim E}{2}.
9. Démontrer que E = \Ker a \oplus \Ker b, et que \Ker a = \Im a et \Ker b = \Im b.
10. En déduire que u est échangeur.}
11. Montrer que la suite \left(\Ker(v^k)\right)_{k\in\mathbb{N}} est croissante pour l’inclusion.
12. Montrer qu’il existe un entier naturel p tel que \forall k \geq p,\; \Ker v^k = \Ker v^p. On pourra introduire la plus grande dimension possible pour un sous-espace vectoriel de la forme \Ker v^k pour k dans \mathbb{N}. Montrer qu’alors \Ker v^p = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \Ker v^k et que p peut être choisi parmi les entiers pairs.
13. Dans la suite de cette partie, on fixe un entier naturel pair p donné par la question 12 et l’on pose E^\mathbb{c}_\lambda(f) := \bigcup_{k\in\mathbb{N}} \Ker v^k = \Ker v^p. On notera que E^\mathbb{c}_\lambda(f) est un sous-espace vectoriel de E.\\ Montrer que E^\mathbb{c}_\lambda(f) = \Ker(v^{2p}) et en déduire \\ E = E^\mathbb{c}_\lambda(f) \oplus \Im(v^p). \\ Montrer en outre que les sous-espaces vectoriels E^\mathbb{c}_\lambda(f) et \Im(v^p) sont tous deux stables par f.
14. Montrer que \lambda n’est pas valeur propre de l’endomorphisme induit par f sur \Im(v^p). Montrer que si E^\mathbb{c}_\lambda(f) n’est pas nul alors \lambda est l’unique valeur propre de l’endomorphisme induit par f sur E^\mathbb{c}_\lambda(f).
15. On se donne ici un nombre complexe \mu différent de \lambda. On suppose que toute valeur propre de f différente de \lambda est égale à \mu. \\ Montrer que \Im(v^p) \subset E^\mathbb{c}_\mu(f), puis que E = E^\mathbb{c}_\lambda(f) \oplus E^\mathbb{c}_\mu(f). \\ On pourra s’intéresser au polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit par f sur \Im(v^p).}
16. Montrer que a et b commutent avec u^2.
17. On fixe maintenant un entier pair p tel que E^\mathbb{c}_0(u) = \Ker u^p, donné par la question 12.\\ Montrer que le sous-espace vectoriel G := \Im u^p est stable par a et b et que les endomorphismes induits a_G et b_G sont de carré nul.
18. En déduire que u est échangeur. On pourra utiliser, entre autres, le résultat final de la partie C.
19. Montrer que \Phi^2 commute avec u.
20. Montrer que \Phi^2 possède une unique valeur propre \lambda. En déduire que les valeurs propres de \Phi sont parmi \mu et -\mu, pour un certain nombre complexe non nul \mu.\\ On utilisera l’indécomposabilité de u ainsi que les résultats des questions 13 et 14.}
21. En déduire que u est échangeur. \\ On pourra appliquer le résultat final de la question 15.
22. En déduire plus généralement que, pour tout endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension finie, la condition (C3) implique la condition (C1).}
FAQ
La condition (C3) stipule que u est un échangeur, c’est-à-dire qu’il existe une décomposition E = F ⊕ G avec u(F) ⊂ G et u(G) ⊂ F. En choisissant des bases adaptées, la matrice de u est de la forme [0 B; C 0], où B et C sont des matrices rectangulaires. La trace de u est alors la somme des éléments diagonaux, qui sont tous nuls. Ainsi, tr(u) = 0.
Si u² = λ² I_E, alors les valeurs propres possibles de u sont λ et -λ. En effet, si μ est une valeur propre de u, alors μ² = λ², donc μ = λ ou μ = -λ. Les sous-espaces propres associés sont E_λ(u) et E_{-λ}(u). Leur dimension dépend de la multiplicité de ces valeurs propres dans le polynôme caractéristique de u.
Pour montrer que u est un échangeur, on peut exhiber une droite vectorielle D telle que u(D) n’est pas inclus dans D. Cela implique que u ne stabilise pas D, ce qui est une propriété clé des échangeurs. En choisissant D comme une droite engendrée par un vecteur propre de u, on peut vérifier que u(D) n’est pas colinéaire à D, confirmant ainsi que u échange les sous-espaces F et G.
Pour calculer le carré d’une matrice triangulaire par blocs de la forme M = [0_n B; 0_{p,n} 0_p], on utilise la multiplication par blocs. On obtient M² = [0_n 0; 0_{p,n} 0_p], ce qui montre que M est nilpotente d’indice 2. Cela permet de décomposer M en somme de deux matrices de carré nul, par exemple M = [0 B; 0 0] + [0 0; 0 0], mais cette décomposition est triviale. Une approche plus intéressante consiste à utiliser des matrices de rang 1.
Pour montrer que D = [I_n 0; 0 -I_p] est semblable à -D, on calcule DMD⁻¹ où M est une matrice donnée. On trouve que DMD⁻¹ = -M, ce qui prouve que M et -M sont semblables. Cela découle du fait que D est inversible et que D⁻¹ = D, car D² = I_{n+p}. Pour accéder à plus de détails, débloque les corrigés sur Prépa Booster.
Si E = F ⊕ G et que u(F) ⊂ G et u(G) ⊂ F, alors la matrice de u dans une base adaptée (f₁, …, f_n, g₁, …, g_p) est de la forme [0 B; C 0]. Les blocs B et C représentent les applications linéaires de F vers G et de G vers F, respectivement. Cette structure reflète l’échange des sous-espaces par u.
Pour vérifier (C2) et (C3), on montre d’abord que u² est un projecteur ou une homothétie, ce qui implique que u est diagonalisable ou nilpotent. Ensuite, on exhibe une décomposition E = F ⊕ G telle que u échange F et G. Si l’un des sous-espaces est nul, u est soit nul, soit un automorphisme, et on adapte la démonstration en conséquence.
Si f² = 0, alors Im(f) ⊂ Ker(f). Comme dim(Im(f)) = dim(E) – dim(Ker(f)), on a dim(Ker(f)) ≥ dim(E)/2. Cela découle du théorème du rang et du fait que Im(f) est inclus dans Ker(f), ce qui impose une dimension minimale au noyau.
Si u est un échangeur, on peut décomposer E en E = Ker(a) ⊕ Ker(b), où a et b sont des endomorphismes nilpotents. De plus, Ker(a) = Im(a) et Ker(b) = Im(b), car a et b sont de carré nul. Cette décomposition est stable par u et permet d’étudier les propriétés de u plus finement.
Si E = Ker(a) ⊕ Ker(b) et que Ker(a) = Im(a) et Ker(b) = Im(b), alors u échange Ker(a) et Ker(b) car u² = λ² I_E. Cela implique que u est un échangeur, car il permute les sous-espaces stables Ker(a) et Ker(b) tout en vérifiant u² = λ² I_E.
La suite (Ker(v^k)) est croissante car si x ∈ Ker(v^k), alors v^{k+1}(x) = v(v^k(x)) = 0, donc x ∈ Ker(v^{k+1}). Ainsi, Ker(v^k) ⊂ Ker(v^{k+1}) pour tout k. Cette propriété est fondamentale pour étudier la structure des endomorphismes nilpotents.
Comme la suite (Ker(v^k)) est croissante et que E est de dimension finie, la suite des dimensions de Ker(v^k) est majorée par dim(E). Elle est donc stationnaire à partir d’un certain rang p. Ainsi, pour tout k ≥ p, Ker(v^k) = Ker(v^p). De plus, comme la suite est croissante, on peut choisir p pair en considérant les itérés pairs de v.
On montre d’abord que E_c^λ(f) = Ker(v^{2p}), ce qui implique que E = E_c^λ(f) ⊕ Im(v^p) par le théorème du rang. Ensuite, on vérifie que ces sous-espaces sont stables par f, car f(E_c^λ(f)) ⊂ E_c^λ(f) et f(Im(v^p)) ⊂ Im(v^p). Cette décomposition permet d’étudier les propriétés spectrales de f.
Si λ était valeur propre de f restreint à Im(v^p), il existerait x ∈ Im(v^p) non nul tel que f(x) = λx. Mais comme x ∈ Im(v^p), il existe y tel que x = v^p(y). On aurait alors f(v^p(y)) = λv^p(y), ce qui contredit la définition de E_c^λ(f) si λ est une valeur propre de f. Ainsi, λ n’est pas valeur propre de f sur Im(v^p).
Si f a pour valeurs propres λ et μ, on montre d’abord que Im(v^p) ⊂ E_c^μ(f). Ensuite, comme E = E_c^λ(f) ⊕ Im(v^p), on en déduit que E = E_c^λ(f) ⊕ E_c^μ(f). Cela découle du fait que Im(v^p) est stable par f et que les sous-espaces caractéristiques sont en somme directe.
Si u est un échangeur, alors u² est un projecteur ou une homothétie. Comme a et b sont définis à partir de u, ils commutent naturellement avec u². En effet, a et b sont des polynômes en u, et u² est central dans l’algèbre engendrée par u.
G = Im(u^p) est stable par a et b car a et b sont des polynômes en u. Ainsi, pour tout x ∈ G, il existe y tel que x = u^p(y), et a(x) = a(u^p(y)) = u^p(a(y)) ∈ G, car a et u commutent. De même pour b.
En combinant les résultats précédents, on montre que u vérifie u² = λ² I_E et que E se décompose en sous-espaces stables échangés par u. Cela implique que u est un échangeur, car il permute ces sous-espaces tout en vérifiant les conditions (C2) et (C3).
Φ² commute avec u car Φ est un polynôme en u, et u² est central. Ainsi, Φ²(u) = (Φ(u))², et comme Φ(u) est un polynôme en u, il commute avec u. Cela découle des propriétés des polynômes d’endomorphismes et de la structure algébrique de u.
Si Φ² a une unique valeur propre λ, alors les valeurs propres de Φ sont parmi √λ et -√λ. En effet, si μ est une valeur propre de Φ, alors μ² est une valeur propre de Φ². Comme Φ² est indécomposable, Φ a exactement deux valeurs propres opposées.
En utilisant les résultats des questions 15 et 20, on montre que u vérifie les conditions (C2) et (C3). En particulier, la décomposition spectrale de Φ et la structure de u permettent de conclure que u est un échangeur, car il permute les sous-espaces caractéristiques associés à ses valeurs propres.
La condition (C3) implique (C1) car si u est un échangeur, alors u² est un projecteur ou une homothétie, ce qui correspond à la condition (C1). En effet, (C3) impose une structure algébrique forte sur u, qui entraîne nécessairement (C1).