Mines Maths 2 PSI 2012

Questions du sujet

1. Soient $t_1$ et $t_2$ appartenant à \mathcal{S}_n, \text{ démontrer que } t_1 + t_2 \in \mathcal{S}_n.$}

2. Montrer que \mathcal{Q}_t(x) : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R} atteint les valeurs $m(t)$ et $M(t)$.}

3. Démontrer que l’on a
\[
m(t) = \min_{x\in \mathbb{R}^n,x\neq 0} \mathcal{Q}_t(x) \text{ et } M(t) = \max_{x\in \mathbb{R}^n,x\neq 0} \mathcal{Q}_t(x).
\]
On pourra faire appel à une base de vecteurs propres de $t$ à cet effet.}

4. Montrer que $t \in \mathcal{S}_n^+$ (resp. $t\in \mathcal{S}_n^{+*}$) si et seulement si $\sigma(t) \subset \mathbb{R}^+$ (resp. $\sigma(t) \subset \mathbb{R}^{+*}$).}

5. Montrer qu’il existe une et une seule application linéaire $u$ telle que
\[
u(y) = f(\lambda)y,~ \forall \lambda \in \sigma (t),~ \forall y \in \ker(t – \lambda i)
\]
et que $u \in \mathcal{S}_n$.
On notera $u = f(t)$ l’endomorphisme symétrique ainsi défini, ce qui conduit à considérer $f$ comme une application de $\mathcal{S}_n$ dans lui-même.}

6. Soit $p$ la restriction à $J$ d’une fonction polynômiale à coefficients réels ; on note $p(t) = \sum_{j=0}^k \alpha_j t^j$, avec $\alpha_j \in \mathbb{R}$ pour tout $j$ vérifiant $0 \leq j \leq k$. Démontrer que l’endomorphisme symétrique $p(t)$ est égal à $\alpha_0 i + \sum_{j=1}^k \alpha_j t^j$, où
\[
t^j = \underbrace{t \circ t \circ \cdots \circ t}_{j \text{ fois}}.
\]
}

7. Y-a-t-il des fonctions $g : J \to \mathbb{R}$ telles que $g(t)$ ne soit pas égal à un polynôme de $t$ ?}

8. Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de $f(t)$ en fonction de ceux de $t$.}

9. Pour des fonctions $f$ et $g$ définies sur l’intervalle $J$, démontrer que
\[
(fg)(t) = f(t) \circ g(t).
\]
}

10. On considère $s\in \mathcal{S}_n^{+*}$ et la fonction $f$ définie sur …}

11. On considère $s\in \mathcal{S}_n^+$. Lorsque $f(t) = \sqrt{t}$ on note $\sqrt{s}$ l’endomorphisme $f(s)$. Montrer que l’endomorphisme $\sqrt{s}$ est bien défini et que $(\sqrt{s})^2 = s$. En admettant que toutes les valeurs propres de $s$ sont simples, combien y-a-t-il de solutions $c$ dans $\mathcal{S}_n^+$, puis dans $\mathcal{S}_n$, à l’équation $c^2 = s$ ?}

12. Démontrer que la relation $\geq$ définit une relation d’ordre dans $\mathcal{S}_n$, est-elle totale~?}

13. Soit $u\in \mathcal{S}_n$, démontrer que si $t_2 \geq t_1$, alors $u \circ t_2 \circ u \geq u \circ t_1 \circ u$.}

14. Démontrer que l’application $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ donnée par $f(t) = t^2$ ne définit pas un opérateur croissant.
On pourra considérer à cet effet les endomorphismes $t_1$ et $t_2$ de matrices respectives
\[
m_1 =
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\text{ et }
m_2 =
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\]
dans la base canonique.
}

15. Soient $t_1$ et $t_2 \in \mathcal{S}_n^{+*}$ tels que $t_2 \geq t_1$ ; en s’aidant de la question 13 avec $u = t_2^{-1/2}$, montrer que les valeurs propres de $u \circ t_1 \circ u$ sont inférieures ou égales à 1. En déduire que $u^{-1} \circ t_1^{-1} \circ u^{-1} \geq i$, puis que l’application $f : \mathbb{R}^{+*} \to \mathbb{R}$ donnée par $f(t) = -1/t$ définit un opérateur croissant.}

16. Soient $t_1$ et $t_2 \in \mathcal{S}_n^+$, tels que $t_2 \geq t_1$. Démontrer que les valeurs propres de $t_2^{1/2} – t_1^{1/2}$ sont positives. En déduire que l’application $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ donnée par $f(t) = \sqrt{t}$ définit un opérateur croissant.}

17. Démontrer que pour tout $a \in\, ]0, 1[\,$, la fonction $\varphi_a : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ définie par $\varphi_a(t) = t^a$ définit un opérateur croissant. Pour $u \in \mathbb{R}^+$, on note $f_u : \mathbb{R}^{+*} \to \mathbb{R}$ la fonction donnée par $f_u(t) = \frac{t}{t+u}$.}

18. Montrer que cette définition est indépendante du choix de la base $\mathcal{B}$.}

19. Montrer que la fonction $\varphi$ à valeurs dans $\mathcal{L}_n$ définie par $\varphi(u) = f_u(s)\, u^{a-1}$ est continue et intégrable sur $\,]0, +\infty[\,$. On pourra trouver utile de faire appel à une base orthonormée adaptée à $s$.}

20. Montrer que
\[
s^a = \frac{\sin a\pi}{\pi} \int_{0}^{+\infty} f_u(s)\, u^{a-1} \, du.
\]
}

21. En déduire que la fonction …}