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Mines Maths 2 PSI 2011

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Énoncé de l’épreuve

💡 Si un sujet identique a été utilisé par le concours pour différentes filières, le sujet affiché ci-dessous peut-être celui d'une autre filière. Le contenu reste identique.

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Questions du sujet

1. On fixe $x_0>0$. Soit $\varphi(\cdot, x_0) : [0, T(x_0)[\rightarrow \mathbb{R}$ la solution maximale de $E(\lambda, x_0)$. Montrer que $\forall t\in[0,\,T(x_0)[,~\varphi(t, x_0)>\lambda(t)$. Préciser le sens de variation de la fonction $\varphi(\cdot, x_0)$ et montrer qu’elle admet une limite réelle ou égale à $+\infty$ en $T(x_0)$. 2. Dans cette question et la suivante on suppose que $T(x_0)<+\infty$. Montrer que si $\displaystyle\lim_{t\to T(x_0),~tT(y_0)$ et utiliser les questions 4), 3) et 1)).} 6. Soient $x_0>0$ et $\lambda_0$ la fonction nulle : $\forall t\geq 0$, $\lambda_0(t)=0$. Expliciter la solution maximale de $E(\lambda_0, x_0)$. Peut-il y avoir capture ?\\ On considère la fonction $\lambda_1 : [0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ définie par :\\ $\forall t\in[0,1],\, \lambda_1(t)=4\left(1-\sqrt{1-t}\right)$ ; $\forall t\geq 1,\, \lambda_1(t) = 4$. 7. Montrer qu’il existe un réel $a>0$ que l’on précisera, tel que la fonction $\varphi_0$ déterminée par\\ $\forall t\in[0,1],\; \varphi_0(t) = a – (a-2)\sqrt{1-t},$\\ définit la solution maximale de $E(\lambda_1, 2)$. Puis prouver que $T(2)=1$. 8. Jusqu’à la fin de cette partie 2 on considère une autre solution de $E(\lambda_1)$, $\varphi = \varphi(\cdot, x_0)$, telle que : $\varphi(0) = x_0 \in \mathbb{R}_+^* \setminus \lbrace 2 \rbrace$.\\ Pour chaque $t\in[0, \min(1, T(x_0))[$, donner une expression simple de $\dfrac{d}{dt}\left( \ln|\varphi(t)-\varphi_0(t)| \right)$ en fonction de $-\left(\varphi(t) – \lambda_1(t)\right)\sqrt{1-t}$. 9. Montrer que la fonction\\ $t\mapsto C(t) = \ln|\varphi(t)-\varphi_0(t)| – 2\dfrac{\sqrt{1-t}}{\varphi(t) – \varphi_0(t)}$\\ est bien définie sur $[0, \min(1, T(x_0))[$ et y est constante. (On pourra utiliser les questions 4 et 8). 10. On suppose que $x_0\in\,]0,2[$. Prouver que $C(0)$ est supérieur ou égal à $1+\ln2$. En supposant $T(x_0)<1$, calculer $C(T(x_0))$ et aboutir à une contradiction. En déduire que $T(x_0)=1$.} 11. Dans la question suivante on suppose $x_0 = \varphi(0) > 2$.\\ Montrer que $T(x_0)\geq 1$. Puis montrer, en considérant $C(t)$ quand $t\rightarrow 1$ par valeurs inférieures, que $T(x_0)$ ne peut pas être égal à $1$. Enfin montrer, en résolvant l’équation $E(\lambda_1)$ pour $t\geq 1$, que $T(x_0)$ ne peut pas être un nombre réel. Conclure. (On rappelle que $\forall t\geq 1,\, \lambda_1(t)=4$). 12. Soit $f\ :\ [0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $f(0) = 0$. On rappelle que la fonction $\lambda$ du problème $E(\lambda)$ vérifie ces deux hypothèses. On note $$M(f) = \sup_{0 < x < y; x, y \in \mathbb{R}_+^*} \dfrac{|f(y) - f(x)|}{\sqrt{y-x}} \in \mathbb{R}_+ \cup \{+\infty\}.$$ Soient $t, s\in[0,1]$ tels que $0 \leq s < t$. Déterminer une fonction $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ telle que : $$\dfrac{|\lambda_1(1-s) - \lambda_1(1-t)|}{\sqrt{t-s}} = \dfrac{F(s/t)}{1+\sqrt{s/t}}.$$ En déduire que $M(\lambda_1) = 4$. (On rappelle que $\lambda_1$ a été introduite juste avant la Question 7). 13. Dorénavant et jusqu'à la fin du problème, on suppose que la fonction $\lambda$ intervenant dans l’équation différentielle $E(\lambda)$ vérifie $M(\lambda) < 4$. On se propose alors de montrer qu’il n’y a pas de capture, c’est-à-dire que pour tout $x_0 > 0$, $T(x_0) = +\infty$.\\ On raisonne par l’absurde, pour aboutir à une contradiction. Soit donc $x_0 > 0$ tel que la solution maximale, notée $t\mapsto x(t)$, de $E(\lambda, x_0)$ ait un temps de vie $T(x_0)<+\infty$ (fini).\\ Montrer que $M(\lambda)$ est strictement positif. (On pourra utiliser la question 6).\\ Soit un réel $r>0$. On désigne par $\overline{\lambda}_r$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par $\forall t\in \mathbb{R}_+,~\overline{\lambda}_r(t) = \frac{1}{r}\lambda(r^2 t)$.\\ On admettra que $M(\overline{\lambda}_r) = M(\lambda)$. 14. Montrer qu’il existe $r\in\mathbb{R}_+^*$, que l’on précisera, tel que la solution maximale $\overline{x}$ de $E(\overline{\lambda}_r, \frac{1}{r}x_0)$ a un temps de vie égal à $1$ et peut être prolongée par continuité en $1$ en posant $\overline{x}(1) = \lambda(1)$. (On pourra montrer que $\overline{x}$ est de la forme $t\mapsto \frac{1}{r}x(bt)$ où $b$ est une constante à préciser). 15. Quitte à remplacer $(\lambda, x_0)$ par $(\overline{\lambda}_r, \frac{1}{r}x_0)$, on peut donc supposer que la solution maximale $t\mapsto x(t)$ de $E(\lambda, x_0)$ a un temps de vie $T(x_0)=1$ et peut être prolongée par continuité en $1$ en posant $x(1) = \lambda(1)$.\\ Montrer que $\forall t\in[0,1],\;x(t) – \lambda(t) \leq M(\lambda)\sqrt{1-t}$,\\ et en déduire que $\forall t\in[0,1],\;x(1)-x(t)\geq \dfrac{4}{M(\lambda)}\sqrt{1-t}$.} 16. Montrer alors que $\forall t\in[0,1],\;x(t)-\lambda(t)\leq\left(M(\lambda)-\dfrac{4}{M(\lambda)}\right)\sqrt{1-t}$. (On utilisera la deuxième inégalité de la question précédente et la définition de $M(\lambda)$). 17. Soit $\mu$ un réel $>0$ tel que $\forall t\in[0,1],\;x(t)-\lambda(t)\leq\mu\sqrt{1-t}$. Montrer alors que $\forall t\in[0,1],\;x(t)-\lambda(t)\leq\left(M(\lambda)-\dfrac{4}{\mu}\right)\sqrt{1-t}$. Conclure que $M(\lambda) – \dfrac{4}{\mu}$ est strictement positif.\\ On rappelle que $M(\lambda)<4$. 18. Déduire de ce qui précède l'existence d'une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ de réels strictement positifs vérifiant : $u_0 = M(\lambda),~\forall n \in \mathbb{N},~u_{n+1} = M(\lambda) - \frac{4}{u_n}$. Etudier la convergence de cette suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et aboutir à une contradiction. En déduire que pour tout réel $x_0 > 0$, $T(x_0) = +\infty$.}

FAQ

Quelles notions de mathématiques faut-il maîtriser pour réussir le sujet Mines-Ponts PSI 2011 ?

Le sujet Mines-Ponts PSI 2011 fait intervenir des notions fondamentales d’analyse, en particulier sur les équations différentielles ordinaires et la théorie des solutions maximales. Tu dois également être à l’aise avec les méthodes de comparaison de solutions, la notion de temps de vie d’une solution, la continuité et la régularité des fonctions. D’autres thèmes abordés incluent les fonctions suprêmes et la manipulation de suites récurrentes, ainsi que la compréhension fine de l’influence d’un paramètre sur la solution d’un problème différentiel.

Comment aborder efficacement un problème d’équation différentielle lors des concours Mines-Ponts ?

Pour aborder efficacement ce type de problème au concours Mines-Ponts, il faut d’abord bien analyser l’énoncé et repérer la nature de l’équation. Mets en place les conditions initiales avec rigueur, puis cherche à comprendre les propriétés de la solution : monotonicité, bornes, comportements aux extrémités. Les méthodes qualitatives, telles que les comparaisons entre solutions ou les raisonnements par l’absurde sur l’existence du temps de vie maximal, sont souvent centrales. Entraîne-toi également à manipuler les changements d’échelle et à écrire proprement tes raisonnements, car la présentation compte dans la notation.

Qu’est-ce qu’une solution maximale d’une équation différentielle, et pourquoi est-elle essentielle dans ce sujet ?

Une solution maximale est la solution définie sur le plus grand intervalle possible à partir des données initiales, avant qu’un phénomène de « capture » ou d’explosion n’apparaisse. Dans ce sujet, elle est essentielle car on cherche à décrire précisément jusqu’où une solution existe, à savoir son temps de vie. Cela permet d’étudier finement les phénomènes de continuité, de prolongement possible des solutions et de déterminer les cas où la solution explose ou reste dans des bornes finies. Ces notions sont cruciales pour faire la différence lors du concours.

Pourquoi la notion de « temps de vie » ou d’explosion d’une solution est-elle si importante en analyse ?

Le temps de vie (ou temps d’explosion) d’une solution d’équation différentielle indique jusqu’où la solution reste bien définie et contrôlable. Au-delà, la solution peut diverger ou ne plus être prolongeable de manière raisonnable. Savoir déterminer ce temps de vie, ou prouver l’impossibilité d’une explosion dans une situation donnée, est un outil indispensable pour comprendre le comportement d’un système et argumenter sur la validité mathématique d’un modèle. C’est aussi un classique des sujets de concours.

Que signifient les raisonnements par l’absurde et les méthodes de comparaison de solutions dans ce contexte ?

Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que la propriété voulue n’est pas vraie puis à montrer que cela conduit à une contradiction. C’est un levier puissant en mathématiques, notamment ici pour prouver l’unicité ou l’impossibilité de certains comportements de solutions. Les méthodes de comparaison, elles, consistent à montrer, via des propriétés d’ordre ou de majoration, qu’une solution reste inférieure ou supérieure à une autre. Cela permet de borner les comportements, d’éviter les explosions prématurées ou de prouver l’existence de solutions globales.

Pourquoi la fonction suprême $M(\\lambda)$ intervient-elle dans l’étude des solutions ?

La fonction $M(\\lambda)$ joue le rôle de constante de majoration : elle permet d’encadrer la croissance ou la différence entre deux valeurs d’une fonction donnée, ici la fonction $\\lambda$ du problème. Son intervention permet de donner des bornes explicites ou des conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence ou non de phénomènes de capture des solutions. Elle intervient aussi dans le pilotage d’inégalités sur les solutions, qui ouvrent la voie à des raisonnements « par récurrence » ou sur les suites définies par récurrence, comme tu peux le voir dans la dernière partie du sujet.

Comment préparer efficacement l’épreuve de mathématiques PSI Mines-Ponts ?

Travaille sur des annales corrigées, en particulier celles des dernières années, pour te familiariser avec le format et les thèmes qui reviennent souvent comme les équations différentielles, les suites, les inégalités et les méthodes qualitatives. Révise activement les théorèmes clés de l’analyse, entraine-toi sur la manipulation rigoureuse des hypothèses, et perfectionne ton écriture mathématique. Prends aussi le temps de corriger tes erreurs pour progresser. En débloquant les corrigés sur Prépa Booster, tu accèdes aux solutions détaillées, à des exercices d’entrainement ciblés et à un suivi personnalisé pour optimiser ta préparation.